1/3
IL REGIME SINUSOIDALE
Molti dispositivi elettrici ed elettronici sono alimentati da tensioni sinusoidali.
Il segnale sinusoidale è un segnale periodico (una tensione o una corrente) che varia nel tempo seguendo l’andamento di una sinusoide. In figura 1 sono evidenziati il periodo T e l’ampiezza picco-picco.
Figura 1 Una tensione sinusoidale.
La funzione che rappresenta una tensione sinusoidale si scrive:
𝑣(𝑡) = 𝑉𝑝𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑)
Dove Vp è la tensione di picco ampiezza o valore massimo (nel caso di figura 1 è 20V), ω è la pulsazione (nel caso di figura 1 è 314rad/sec) e φ è lo sfasamento (fase) rispetto all’origine degli assi (nel caso di figura è 0.55rad~31°). Altre caratteristiche di un segnale sinusoidale sono il periodo T (nel caso di figura 0,02sec) e la frequenza f (nel caso di figura 50Hz). Pulsazione, frequenza e periodo sono legati dalle seguenti relazioni:
𝑓 = 1
𝑇𝜔 = 2𝜋𝑓 = 2𝜋 𝑇 1
Il periodo è il tempo impiegato per effettuare un’oscillazione completa. In questo tempo il segnale assume tutti i valori da –Vp a Vp.
Si definisce il valore medio dato da:
𝑉𝑚 = 1
𝑇∫ |𝑣(𝑡)|𝑑𝑡
𝑇
0
Nel caso di un segnale sinusoidale:
𝑉𝑚= 1
𝑇∫ |𝑉𝑝𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡)|𝑑𝑡 =
𝑇 0
1 Il periodo di una funzione sinusoidale è 2π. Il segnale effettua un’oscillazione completa in un tempo T quindi 𝜔𝑇
2/3
= 2
𝑇[∫ 𝑉𝑝𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡)𝑑𝑡
𝑇 2 0
] =
=2𝑉𝑝
𝑇 [−𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡)
𝜔 |
𝑇 2 0
] =2𝑉𝑝
𝑇𝜔[−𝑐𝑜𝑠 (𝜔𝑇
2) + 𝑐𝑜𝑠0] =
=2𝑉𝑝
𝑇𝜔[−𝑐𝑜𝑠 (𝜔𝑇
2) + 1] = Ma 𝜔 =2𝜋
𝑇 sostituendo si trova:
= 2𝑉𝑝 𝑇2𝜋
𝑇
[−𝑐𝑜𝑠 (2𝜋 𝑇
𝑇
2) + 1] =2𝑉𝑝
2𝜋 [−𝑐𝑜𝑠𝜋 + 1] =2𝑉𝑝
2𝜋 ∙ 2 =2𝑉𝑝
𝜋 ≅ 0.636𝑉𝑝 Si definisce il valore efficace dato da:
𝑉 = √1
𝑇∫ 𝑣2(𝑡)
𝑇 0
𝑑𝑡 = √1
𝑇∫ 𝑉𝑝2𝑠𝑖𝑛2(𝜔𝑡)𝑑𝑡
𝑇 0
= 𝑉𝑝√1
𝑇∫ 𝑠𝑖𝑛2(𝜔𝑡)𝑑𝑡
𝑇 0
(1) Calcoliamo:
∫ 𝑠𝑖𝑛2(𝜔𝑡)𝑑𝑡 = Per parti:
𝑢 = 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡)𝑣 = −𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡) 𝑑𝑢 = ω𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡)𝑑𝑡𝑑𝑣 = 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡)𝑑𝑡 𝜔
= −𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡)𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡)
𝜔 − ∫ (−𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡)
𝜔 ω𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡)) 𝑑𝑡 =
= −𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡)𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡)
𝜔 + ∫ 𝑐𝑜𝑠2(𝜔𝑡)𝑑𝑡 = Ricordando che 𝑐𝑜𝑠2(𝜔𝑡) = 1 − 𝑠𝑖𝑛2(𝜔𝑡):
= −𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡)𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡)
𝜔 + ∫(1 − 𝑠𝑖𝑛2(𝜔𝑡))𝑑𝑡 =
= −𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡)𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡)
𝜔 + ∫ 𝑑𝑡 − ∫ 𝑠𝑖𝑛2(𝜔𝑡) 𝑑𝑡 =
= −𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡)𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡)
𝜔 + 𝑡 − ∫ 𝑠𝑖𝑛2(𝜔𝑡) 𝑑𝑡 Consideriamo l’equazione:
3/3
∫ 𝑠𝑖𝑛2(𝜔𝑡)𝑑𝑡 = −𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡)𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡)
𝜔 + 𝑡 − ∫ 𝑠𝑖𝑛2(𝜔𝑡) 𝑑𝑡 E risolviamola rispetto a ∫ 𝑠𝑖𝑛2(𝜔𝑡) 𝑑𝑡
2 ∫ 𝑠𝑖𝑛2(𝜔𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑡 −𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡)𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡) 𝜔
∫ 𝑠𝑖𝑛2(𝜔𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑡
2−𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡)𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡) 2𝜔 Quindi:
∫ 𝑠𝑖𝑛2(𝜔𝑡)𝑑𝑡 =
𝑇 0
𝑡
2−𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡)𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡)
2𝜔 |
𝑇 0
=
= 𝑇
2−𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑇)𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑇) 2𝜔
Ricordando che 𝜔 =2𝜋
𝑇 si trova:
𝑇
2−𝑠𝑖𝑛 (2𝜋
𝑇 𝑇) 𝑐𝑜𝑠 ( 2𝜋
𝑇 𝑇) 22𝜋
𝑇
=𝑇
2− 𝑠𝑖𝑛(2𝜋)𝑐𝑜𝑠(2𝜋) 4𝜋
𝑇
=𝑇 2 Sostituendo nella (1):
𝑉 = 𝑉𝑝√1 𝑇
𝑇 2= 𝑉𝑝
√2≅ 0.707𝑉𝑝
Per definizione il valore efficace si basa sull’effetto Joule che produce la tensione applicata ad un conduttore. In altre parole il valore efficace di una corrente alternata è l’intensità della corrente continua che, attraversando lo stesso conduttore, dissiperebbe per effetto Joule la stessa potenza della corrente alternata. In genere ci si riferisce sempre ai valori efficaci in elettrotecnica. Nelle nostre case ci viene fornita una tensione di 230V. Il valore massimo è 230
0.707𝑉 ≅ 325𝑉. Gli strumenti di misura indicano il valore efficace.
Per risolvere un circuito in regime sinusoidale si usano sempre i principi di Kirchhoff, la legge di Ohm, i teoremi di Thevenin e Norton, ecc. Ma con particolari accorgimenti.
È laborioso svolgere i calcoli con funzioni trigonometriche. La matematica, come al solito, ci semplifica la vita, in questo caso con il metodo simbolico: invece di seni e coseni usiamo i numeri complessi. Associamo ad ogni segnale sinusoidale un numero complesso2:
𝑣(𝑡) = 𝑉𝑝𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑) → 𝑉̅ = 𝑎 + 𝑗𝑏 𝑣(𝑡) = 𝑉𝑝𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑) → 𝑉̅ = 𝑉𝑝𝑐𝑜𝑠𝜑 + 𝑗𝑉𝑝𝑠𝑖𝑛𝜑 Questo file può essere scaricato gratuitamente. Se pubblicato citare la fonte.
Matilde Consales
2 La corrispondenza è biunivoca.
