1. Il tensore T agisce sulla base ortonormale {e 1 , e 2 , e 3 } nel modo seguente

Universit` a di Pavia Facolt` a di Ingegneria Esame di Meccanica Razionale

Appello del 4 settembre 2003 Soluzioni

1. Il tensore T agisce sulla base ortonormale {e 1 , e 2 , e 3 } nel modo seguente







T e ₁ = e ² T e ₂ = −e ¹ + e ³ T e ₃ = 2e ¹ .

Trovare la rappresentazione di T sulla base {e i ⊗ e j }.

La matrice associata a T rispetto alla base {e i ⊗ e j } ha elementi L ij := e i · T e j

e la rappresentazione associata di T `e

T =

3

X

i,j=1

L ij e _i ⊗ e j .

Dal testo ricaviamo

L 11 = L ³¹ = L ²² = L ²³ = L ³³ = 0 e

L 21 = L 32 = 1 , L 12 = −1 , and L 13 = 2 e dunque la rappresentazione cercata `e

T = (e ² ⊗ e ¹ − e ¹ ⊗ e ² ) + e ³ ⊗ e ² + 2e ¹ ⊗ e ³ .

2. In un piano verticale, un disco omogeneo di massa 3m e raggio R pu` o rotolare senza strisciare su una guida orizzontale ed ha il centro C attratto con forza elastica di costante 2k verso un punto O posto alla stessa quota di C e a distanza 4R dalla retta verticale r. Il piano in cui il disco pu` o muoversi ruota con velocit` a angolare costante ω = α q

k

m e _y attorno ad r. Trovare tutti e soli i valori α tali che esistano posizioni di equilibrio stabile per il sistema, rispetto ad un osservatore rotante con il piano.

Se poniamo O − C = xe x , l’energia potenziale diventa V = kx ² − k

2m I ω α ² ,

1

O C

r ω

e

e

dove il primo addendo si riferisce all’energia elastica, il secondo all’energia as- sociata alle forze centrifughe. La quantit` a I ω che figura nell’espressione di V `e il momento di inerzia del disco rispetto all’asse di rotazione r. Per calcolarlo basta applicare il teorema di Huygens-Steiner,

I ω = 3m

4 R ² + 3m(4R − x) ²

dove il primo addendo `e il momento centrale di inerzia rispetto all’asse parallelo ad r. Le eventuali posizioni di equilibrio sono le radici di V <sup>0</sup> = 0, cio`e

x = 12α ² R 3α ² − 2

e la stabilit` a si studia attraverso il segno della derivata seconda, V ⁰⁰ = 2 − 3α ² > 0

che impone la restrizione α ∈ (− q

2

3 ). Gli estremi dell’intervallo sono esclusi in quanto non esiste alcuna configurazione di equilibrio in quel caso.

3. Un sistema meccanico ha energia cinetica T . Quando l’equazione ^dT _dt = W

` e corretta?

Quando W `e la potenza delle forze esterne al sistema.

Quando W `e la potenza di tutte le forze agenti sul sistema.

Quando W `e la potenza delle forze reattive.

Quando W `e la potenza delle forze interne al sistema.

Quando W `e la potenza delle forze attive agenti sul sistema.

Il teorema dell’energia cinetica afferma che la derivata dell’energia cinetica rispetto al tempo `e pari alla potenza di tutte le forze agenti sul sistema. Per una discussione pi` u approfondita di questo punto si pu` o consultare l’esercizio di Esercizi e complementi.

4. Un filo omogeneo AB di lunghezza πR ` e appoggiato su un semidisco di raggio R, privo di attrito, che ruota attorno al suo asse di simmetria r con velocit` a

2

angolare costante ω = q

k

2 m e _y . Gli estremi A e B del filo sono attratti da due molle di costante elastica k e lunghezza a riposo nulla verso due punti O e Q del piano rotante distanti γR da A e B, rispettivamente. Se la densit` a di massa del filo ` e 4 ^m _R e la gravit` a ` e trascurabile, trovare il minimo valore di γ compatibile con l’equilibrio del filo rispetto al semidisco.

r ω

O Q

B A

Indichiamo con ϑ l’angolo formato con la direzione orizzontale dal raggio del generico punto del filo. Nel sistema rotante, la sola forza attiva distribuita lungo il filo `e la forza centrifuga; trattandosi di una forza conservativa e non essendoci attrito con il supporto la tensione τ si ottiene grazie alla formula τ = v + c, dove c `e una costante e v `e l’energia potenziale specifica della forza centrifuga pari a v = − <sup>1</sup> 2 %ω <sup>2</sup> d <sup>2</sup> , dove % `e la densit` a di massa del filo in P e d = R cos ϑ.

Pertanto, usando i dati del problema

τ = c − kR cos ² ϑ .

Per determinare la costante c imponiamo che la tensione in Q, dove ϑ = 0 sia pari alla forza elastica concentrata in Q, τ (0) = γkR. Sostituendo ϑ = 0 nell’espressione di τ ricaviamo

c = kR(γ + 1) per cui

τ = kR[γ + 1 − cos ² ϑ] .

La reazione vincolare specifica lungo la normale principale del filo `e Φ n = −(f n + τ

R ) ,

come si ricava dalle equazioni di equilibrio indefinite di equilibrio per i fili. Il filo `e a contatto con il supporto finch´e Φ n ≤ 0, cio`e finch´e `e f n + _R ^τ ≥ 0. Poich´e la componente della forza attiva specifica si riduce alla componente della forza centrifuga pari a f n = −2k cos ² ϑ, abbiamo come condizione di contatto

kR[γ + 1 − 3 cos ² ϑ] ≥ 0 ∀ϑ ∈ [0, π] , che `e verificata per

γ ≥ 2 .

3