Prova scritta di Meccanica Razionale – 30.08.2016
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FILA 1
Esercizio 1. Nel piano cartesiano Oxy si consideri la lamina rettangolare omogenea ABCD, in cui `e stato praticato un foro rettangolare OHKI (vedi figura). Sapendo che la massa della lamina forata `e m, HK = 2L e H b OB = π/6, si chiede:
1. determinare le coordinate del baricentro della lamina forata (punti 1);
2. calcolare i momenti d’inerzia I
x, I
y, I
zdella lamina forata rispetto ad Oxyz (punti 8);
3. calcolare il momento d’inerzia I
rdella lamina forata rispetto alla retta r passante per i punti O ed H (punti 3).
O x
y
A B
D K C
H I
π 6
Esercizio 2. In un piano verticale Oxy, si consideri un disco omogeneo, di massa m e raggio r, vincolato a rotolare senza strisciare all’interno di una circonferenza fissa, di centro O e raggio R. Oltre alle forze peso, sul disco agiscono una coppia di momento ~ M = −αmgr~ı × ~, (α > 0) ed una molla ideale, di costante elastica k = αmg
R , che collega il centro del disco con il punto A.
Introdotto il parametro lagrangiano θ = A b OC, si chiede:
O x
y
A
G
C
θ
1. determinare la velocit` a angolare del disco (punti 2);
2. scrivere l’espressione della funzione potenziale delle forze attive agenti sul disco (punti 4);
3. determinare le configurazioni di equilibrio del disco in funzione di α (punti 3);
4. studiare la stabilit`a delle configurazioni di equilibrio del disco (punti 2);
5. calcolare la reazione vincolare esterna all’equilibrio (punti 2);
6. scrivere l’espressione dell’energia cinetica del disco (punti 3);
7. sapendo che per t = 0 l’atto di moto del disco `e nullo e θ = 0, calcolare la velocit` a del centro del disco quando θ = 3π/2 e α = 1 (punti 4).
Avvertenze:
• Durata della prova: 120 minuti.
• Non `e consentita la consultazione di testi e appunti.
• Ammissione alla prova orale con punti 16.
