Esercizi di Meccanica Razionale - Parte III
1. Un sistemarigido e costituito da due aste AB e BC, di lunghezza risp ettivamente
L ed l e di masse M ed m, saldate ad angolo retto nell'estremo comune B. Il
sistemaelib ero di ruotarenelpiano verticale O (x;y) attornoalpuntoA chee sso
e che coincide con l'origine (vedi gura). Una molla di costante elastica k > 0
collegailpuntoC conlasuaproiezione Hsull'asse x. Scrivereleequazionidelmoto
utilizzando le Equazioni Cardinali della Dinamica. Determinare quindi la reazione
vincolarenellacon gurazioneincuil'astaABedisp ostalungol'assey,conl'estremo
B in basso, supp onendo che le condizioni iniziali corrisp ondano alla con gurazione
con l'astadisp ostalungo l'asse xcon B a destradi A e velo cita nulla.
B
x y
H k>0 O=A
C l,m L,M
2.
EdatonellospazioilsistemadiriferimentocartesianoortogonaleO (x;y;z)conl'asse
zverticale ascendente. UnpuntomaterialeP dimassamscorresenzaattritosuuna
guida circolare verticale di centro O e raggio R, priva di massa e che ruota, a sua
volta,attornoall'assez con velo citaangolare costante!. Determinareil numero di
gradi di lib erta delsistema escrivere leequazioni delmotoutilizzando le equazione
di Lagrange.
3.
E dato il camp o di forze F = x
^
j y
^
i.
E un camp o conservativo?
E un camp o
centrale? Fornireuna dimostrazionedella risp osta.
4. Il sistemamaterialein guraecostituitoda un'astaAB di massame lunghezza 2L
edaunpuntomaterialeP dimassaM. Ilsistemasimuovesuunpianoverticale,nel
quale e stato intro dotto il sistema di riferimento cartesiano O (x;z), con z vericale
ascendente. Il punto P scorre senza attrito sull'asse z, mentre l'asta e lib era di
ruotare attorno al suo estremo A che e sso e che coincide con l'origine degli assi.
In ne,unamolladi costanteelasticak>0collegal'estremoB dell'astaconilpunto
P. Si chiede:
(a) Determinare il numero di gradi di lib erta e scegliere leco ordinate lagrangiane
opp ortune;
(b) scriverel'energia cinetica delsistema;
(d) scriverele equazioni di Lagrange;
(e) studiaretuttiip ossibilimotineiqualil'angoloformatodall'astaconlaverticale
e costante.
5. Un cerchio di raggio Remassa m si muovenel piano orizzontale O (x;y). Il centro
del cerchio, C,e vincolato a scorrere senza attritosu una guida rettilinea passante
p er l'origineOe che ruotaattornoad Ocon velo cita angolarecostante! (il cerchio
e rigido risp etto alla guida). Una molla di costante elastica k >0 unisce inoltre il
centroCconl'origineO . Dop oavercalcolatol'energiacineticael'energiap otenziale
delsistema,scrivereerisolvereleequazioni di Lagrange. Si supp ongacheall'istante
t=0 laguida sia disp ostalungo l'asse x. In ne,calcolare lareazione vincolare nel
C
O x
y
puntoC.
6. Un'asta omogenea AB di massa m e lunghezza l e vincolata a ruotare nel piano
verticale O (x;y) attorno all'estremo A che, a sua volta, e lib ero di scorrere senza
attrito sull'asse x. Due molle di ugual costante elastica k > 0 collegano l'estremo
A con l'origine O e l'estremo B e con il punto N,proiezione di B sull'asse x (vedi
gura). Posto
= mg
k l
;
si chiede di
determinare lecon gurazionidi equilibrio estudiarne lastabilitaalvariaredel
parametro ;
determinarelefrequenzedellepiccoleoscillazioni attornoallap osizione diequi-
librio stabile nelcaso particolare =1.
7. Un sistema rigidoe costituito da un contornocircolare di diametro 2R,centro C e
massa M=2 e daun'asta diametrale AB,pure di massa M=2. Il sistemae lib ero di
ruotare nelpianoverticale O (x;y) attornoal punto Ache e ssoe che coincide con
l'origine(vedi gura). Unamolladicostanteelasticak>0collegailpuntoB conla
suaproiezione H sull'assex. Inoltre,unpuntomaterialeP,di massam,evincolato
a scorreresenza attritosulcontornocircolare. Si chiede di:
B
x y
H
k>0 R
O=A
P C
R
determinare il numero di gradi di lib erta del sistema e scegliere le co ordinate
lagrangiane;
scriverel'energia cinetica e l'energiap otenziale delsistema;
scriverele equazioni delmotoutilizzando leequazioni di Lagrange.
8. Ilsistemamaterialein guraecostituitodaun'astaAB di massaM elunghezza 2L
e da unpuntomateriale P di massam, lib ero di scorreresenza attritolungol'asta.
Il sistema simuove su un piano verticale, nel quale e stato intro dottoil sistema di
riferimentocartesiano O (x;z),con z vericale ascendente. L'astaelib era di ruotare
attorno al suo estremo A che e sso e che coincide con l'origine degli assi. In ne,
una molladi costanteelastica k>0 collega l'estremoAdell'asta con ilpuntoP. Si
chiede:
(a) Determinare il numero di gradi di lib erta e scegliere leco ordinate lagrangiane
opp ortune;
(b) scriverel'energia cinetica delsistema;
(d) scriverele equazioni di Lagrange;
(e) studiaretuttiip ossibilimotineiqualil'angoloformatodall'astaconlaverticale
e costante.
9. Un disco materiale p esante di raggio R e massa m si muove nel piano verticale
O (x;y), lib ero di ruotare attorno al punto Q = (0;0) che e sso e che si trova a
distanzaR=2dalcentrodeldisco C. Oltreallaforzap eso,suldisco agisceunamolla
di costante elastica k >0 che collega il punto N del b ordo del disco e sullo stesso
diametrodi Qcon il puntoM =(R;0). Si chiede:
C Q
R
x y
M
k>0
N
(a) determinare il numerodi gradidi lib erta e sceglierele co ordinatelagrangiane;
(b) scriverele equazioni delmotoutilizzando leequazioni di Lagrange;
(c) determinare lecon gurazioni di equilibrio estudiarne lastabilita;
(d) determinarelereazionivincolariin funzionedelle co ordinatelagrangianescelte,
nell'ip otesi che all'istante iniziale il punto N si trovi sull'asse x, x > 0, con
velo cita nulla.
10. Un corp o rigidoecostituito da un quadrato ABCD di lato L e massa M e da due
semicerchiD CeCB dimassam,comein gura. Individuare,inbaseallesimmetrie
ortogonalealpianodella gura;calcolarequindil'elementoI
33
dellamatriced'inerzia
in tale sistemadi riferimento.
A
B C
D O
11. Un'asta AB di massa m e lunghezza l e vincolata a ruotare in un piano verticale
attorno all'estremo A, che e sso. Una molla di costante elastica k > 0 collega
l'estremo B con la proiezione di B sulla retta orizzontale passante p er A. Scrivere
le equazioni del moto, utilizzando le equazioni di Lagrange. Determinare quindi le
con gurazioni di equilibrio e, supp osto k=mg=(4l ),calcolare lareazione vincolare
in O nella con gurazionedi equilibrio stabile.
k > 0
x y
A O =
B l, m
12. UnpuntomaterialeP dimassamevincolatoamuoversisulla parab oladi equazione
y= [x c(t)]
2
p osta sul piano verticale O (x;y). Il vertice della parab ola e p osto sull'asse x con
ascissac(t),dovec(t)eunafunzione notadeltemp o. SulpuntoP agisceinoltre una
molla di costanteelasticak>0 che collegaP con lasua proiezione sull'asse y.
Si chiede:
(a) determinare il numero di gradi di lib erta del sistema e scegliere le co ordinate
lagrangiane;
(b) scriverel'energia cinetica e l'energiap otenziale;
(c) scriverele equazioni di Lagrange;
x y
P k > 0
c (t)
(d) determinare sotto quali condizioni sulla funzione c(t) sono p ossibili moti di
equilibrio relativo (cioe motinei quali lap osizione di P sulla parab ola rimane
costante).
13. Si considerino due p endoli sici costituiti risp ettivamente da un cerchio di centro
C, massa m e raggio R e da un'asta AB di massa m e lunghezza 2R. Il punto di
sosp ensione Q del cerchio e situato ad una distanza pari ad R=2 dal centro C; si
indichi invece con d la distanza tra il punto di sosp ensione dell'asta, K, ed il suo
punto medio M. Si indichi in ne con l'angolo che, risp ettivamente, il diametro
contenenteilpuntoQdel cerchioe l'astaformanocon laverticale. Perquale valore
dididuep endoli sonoequivalenti(cioeobb edisconoalle stesseequazionidelmoto)?
A
B C
Q
φ
K
φ M
R R
d
14. Un'asta materiale AB di massaM e lunghezza 2L ha gli estremiA e B vincolati a
scorrere sudue rette parallele, appartenenti alpiano verticale O (x;y),di equazione
risp ettivamente y =0 ed y =L. Sull'estremo B dell'asta agisce inoltre una molla,
di costante elastica k >0, che richiama l'asta verso il puntoH = (0;L). Sull'asta
scorre inoltre,senza attrito,un punto materiale P di massam.
Si chiede:
(a) determinare il numero di gradi di lib erta del sistema e scegliere le co ordinate
lagrangiane;
x y
P k > 0 A
H B 2L
O L
L
(b) scriverel'energia cinetica e l'energiap otenziale;
(c) scriverele equazioni di Lagrange;
(d) studiare il motodel sistema.
15. Un contornomateriale p esantesemicircolare AB di massa M e raggioRelib ero di
ruotare in un piano verticale attorno al vertice A, che e sso. Sul diametro AB e
lib ero di scorrere (con vincolo liscio) un punto P di massa m. Sul punto P agisce
inoltre una molladi costanteelasticak>0che locollega alpuntoH,proiezione di
P sull'asse orizzontale passantep erA (vedi gura).
x z
k > 0 O=A
B H
P
Si chiede:
(a) determinare il numero di gradi di lib erta del sistema e scegliere le co ordinate
lagrangiane;
(b) determinare lap osizione delcentro di massadel contornosemicircolare;
(c) scriverel'energia p otenziale;
(d) determinare lecon gurazioni di equilibrio estudiarne lastabilita.
16. Unpuntomateriale P di massam scendelungounaguidaliscia curvilineaAB sotto
l'e etto della gravita'. Il punto B e' situato ad un'altezza h risp etto ad una retta
di riferimento orizzontale, che costituisce l'asse x, mentre nel punto A la guida ha
tangenteorizzontale. IlpuntoP partedaBconvelo cita'inizialenulla,edaltermine
dellasuacorsalungolaguida(nelpuntoA)colpisceundiscomaterialep esantepieno
di massa M e raggio R, vincolato a ruotare nello stesso piano verticale attorno al
Il contatto tra il punto P ed il disco avviene sul punto del b ordo diametralmente
opp osto ad O ,ed inoltre si supp one chedop o l'urtoil punto P siafermo.
x z
O
x z
O
C C
P
A P
B B
A
Si chiededi scrivereleequazioni del motodeldisco dop ol'impattocolpuntoP e di
calcolare lareazionevincolare in O in funzione delle co ordinatelagrangianescelte.
17. Unalamina materiale p esante quadrataABCDdi lato L e massaM ep osta in un
piano verticale ed e lib era di scorrere con il lato AD lungo una guida orizzontale
(vedi gura), che scegliamo quale asse x. Lungo la diagonale AC della lamina e
praticata una scanalatura, nella quale scorre un punto P di massa m. Oltre alla
forza di gravita, sul sistema agiscono due molle, di ugual costante elasticak > 0 e
che collegano il vertice A della lamina con l'origine Oed il puntoP con il puntoQ
p ostosulla guidaorizzontale a distanza 2Rda O . Si chiede:
x z
O
C P B
A D
k>0 Q
k>0
L M
m
Determinare il numero di gradi di lib erta del sistema e scegliere le co ordinate
lagrangiane;
scriverel'energia p otenziale delsistema;
determinare lecon gurazioni di equilibrio estudiarne lastabilita;
trovarelereazioni vincolari nelle con gurazioni di equilibrio stabile;
scriverel'energia cinetica delsistema;
equilibrio stabile
scriverele equazioni di Lagrange;
determinare sottoquali condizionisonop ossibili motineiqualilap osizione del
puntoP lungolascanalaturarimanecostanteedeterminaretalimoti(compresa
ladistanza costantePA ).
18. Calcolare tutti gli elementi della matrice d'inerzia del corp o rigido piano in gura,
nelsistemadiriferimentoO (x;y;z)indicatoin gura(conl'assez p erp endicolareal
piano della gurastessa),ecostituito da:
(a) due lamine circolari piene di raggio R, centri C
1
= (0;L) e C
3
= (10R;L) e
massa m;
(b) una lamina circolarepiena di raggio2R,centroC
2
=(5R;L)e massa M;
(c) dueasteABeCDdilunghezza2Remassam,edoveA=(R;L)eC=(7R;L).
una lamina circolarepiena di raggior ,centroC =(0;0)e massaM
1
;
un contornocircolaredi raggioR>r ,centroC=(0;0)emassa M
2
;
otto raggi, di lunghezza L = R r e massa m; quattrodi essi sono disp osti
lungo gli assiequattrolungo lebisettirici deiquadranti (vedi gura).
Calcolare tuttigli elementi della matricad'inerzia.
R
r
L
20. Calcolare tutti gli elementi della matrice d'inerzia del corp o rigido piano in gura,
nelsistemadiriferimentoO (x;y;z)indicatoin gura(conl'assez p erp endicolareal
piano della gurastessa),ecostituito da:
(a) una lamina circolarepiena di raggio2R,centroC
2
=(0;0)emassa M;
(b) due lamine circolari pienedi raggio R,centri C
1 e C
3
e massa m;
(c) due aste AB e CDdi lunghezza 2R emassa m.
IpuntiC
1 ,C
3
,A,B,CeDsitrovanotuttisullarettabisettricedelIeI I Iquadrante;
C
1 eC
3
sonop ostiadistanza5Rdall'origine,AeDadistanza4ReBeCadistanza
2R.
21. Un'astamaterialep esanteABdimassaM elunghezzaLsimuovenelpianoverticale
O (x;z), con gli estremi A e B vincolati a scorrere senza attrito risp ettivamente
sull'asse z e sull'asse x. Unamolla di costanteelastica k>0 agisce sull'estremo A
dell'asta, collegandolo con il punto H(0;L)p osto sull'asse z sopral'asta. Sull'asta
stessa, scorre senza attrito il punto materiale P di massa m. Una seconda molla,
x z
O
P
B A
k>0
k>0 H
anch'essa di costanteelastica k>0,agisce sul punto P, collegandolo con l'estremo
A dell'asta. Si chiede:
Determinare il numero di gradi di lib erta del sistema e scegliere le co ordinate
lagrangiane;
scriverel'energia cinetica delsistema;
scriverel'energia p otenziale delsistema;
determinare lecon gurazioni di equilibrio estudiarne lastabilita;
determinare lereazioni vincolarinelle con gurazionidi equilibrio stabile;
calcolare la frequenza delle piccole oscillazioni attorno alle con gurazioni di
equilibrio stabile.
22. Una lamina materiale p esante quadrata ABCD di massa M e lato L e lib era di
ruotare in un pianoverticale attornoal verticeA, chee sso. Oltre alla forzap eso,
sulla lamina agisce una molla di costante elastica k > 0 che collega il vertice C,
opp osto ad A, con il punto sso H, situato sulla orizzontale p er A ed a distanza
L p
2da esso(vedi gura).
x z
k > 0 A
B
H
L
C D
M
Si chiede:
(a) determinare il numero di gradi di lib erta del sistema e scegliere le co ordinate
lagrangiane;
(b) scriverel'energia cinetica e l'energiap otenziale;
(c) scriverele equazioni di Lagrange;
e con il vertice C alla stessa quotadi A, si determini il valore della reazione
vincolarein Aalmomentoin cuiilvertice C sitrovasulla verticale p erA aldi
sottodi esso.
23. Due punti materiali P
1 e P
2
di ugual massa m si muovono in un piano verticale
O (x;y). P
2
evincolato a scorrere senza attritosull'asse x, mentre P
1
e vincolato a
scorrere, sempre senza attrito, sulla circonferenza di centro l'origine e raggio R. I
due puntisono collegatida una molladi costanteelasticak>0.
Si chiede:
(a) determinare il numero di gradi di lib erta del sistema e scegliere le co ordinate
lagrangiane;
(b) scriverel'energia p otenziale delsistema;
(c) scriverel'energia cinetica delsistema;
(d) determinare lecon gurazioni di equilibrio;
(e) calcolare lereazioni vincolari in tuttela con gurazionidi equilibrio;
(f) discutere lastabilita delle con gurazionidi equilibrio trovate;
(g) trovarelefrequenzedellepiccoleoscillazioni attornoalle con gurazionidiequi-
librio stabile;.
24. Un sistema materiale piano e' costituito punto P di massa m e da un'asta AB di
lunghezza 2lchesimuovonosuunpianoorizzontale. IlpuntoP scorresenzaattrito
su una guida orizzontale mentre l'astaAB e'lib era di ruotare attornoal suopunto
medio O , che e' sso sulla guida. L'asta e' non omogenea, con AO di massa M
ed O B di massa m. Due molle di costanti elastiche k
1 e k
2
(p ositive) collegano gli
estremi Aa B dell'astacon il punto P. Si chiede di:
(a) determinare ilnumerodi gradi dilib erta' e sceglierele co ordinatelagrangiane;
(b) scriverel'energia cinetica delsistema;
(c) scriverel'energia p otenziale delsistema;
(d) determinare lep osizioni di equilibrio;
(e) calcolare lereazioni vincolari in tuttele con gurazioni di equilibrio;
(g) calcolare le frequenze delle piccole oscillazioni attorno alle con gurazioni di
equilibrio stabile;
(h) scriverele equazioni di Lagrange;
(i) veri care il teorema di conservazione dell'energia usando le equazioni di La-
grange;
(j) risolvere leequazioni di Lagrange nelcaso particolarek
1
=k
2 .
25. UnalaminaquadrataABCDdilato2Lemassa2mhaillatoABvincolatoascorrere
senza attritosu una guida orizzontale. Sul puntomedio K del lato (verticale) AD
e applicata una molla, di costante elastica k > 0, che richiama la lamina verso il
punto Q di un asse verticale alla stessa quota di K. Sulla lamina e praticata una
scanalatura orizzontale KH, con H il punto medio del lato BC, nella quale scorre
un punto materiale P di massa m, a sua volta soggettoall'azione di una molla di
costante elastica k > 0 (uguale a quella dell'altra molla) che richiama il punto P
verso il punto medio della scanalatura O
1
. Nella scanalaturae inoltre presente un
mezzoviscosodi costantedi viscosita .
Si chiede:
lagrangiane;
(b) scriverel'energia cinetica delsistema;
(c) scriverel'energia p otenziale delsistema;
(d) determinare la comp onente non conservativa delle forze generalizzate di La-
grange;
(e) scriverele equazioni di Lagrange;
(f) studiare il motodel sistema risolvendo le equazioni di Lagrange nel caso non
viscoso, =0.
26. Un cerchioomogeneodi massa M,centro C eraggioRsimuove nelpiano verticale
O xz, con z verticale ascendente ed e' lib ero di ruotare attorno al punto sso O
del b ordo. Sia Q un punto appartenente al diametro p erp endicolare al diametro
passantep er Oe p ostoa distanza da C,con 0R. Un p endolo matematico
e'costituitodaunpuntoP dimassamedaunasbarrettaprivadimassaQP. Scelte
come co ordinate lagrangiane gli angoli e che risp ettivamente il diametro O C e
lasbarretta QP formanocon laverticale, si chiede di:
(a) scriverel'energia cinetica delsistema;
(b) scriverel'energia p otenziale delsistema;
(c) determinare lep osizioni di equilibrio;
(d) studiare lastabilita'delle p osizioni di equilibrio trovate;
(e) calcolare la frequenza delle piccole oscillazioni attorno alle con gurazioni di
equilibrio stabile.
27. Un sistema materiale p esantee costituito da due aste omogenee AB e CD ,di lun-
ghezza risp ettivamente 2L ed l e masse, risp ettivamente, M ed m, che simuovono
in unpianoverticale. IlcentrodimassaK dell'asta ABevincolatoascorreresenza
attrito su una retta verticale e l'asta e lib era di ruotare attorno a K. L'asta CD
ha l'estremo C coincidente con K e l'estremo D vincolato a scorrere senza attrito
su una rettaorizzontale. Duemolle di ugual costanteelastica k unisconol'estremo
A con la sua proiezione A
1
sulla retta orizzontale e l'estremo D con il punto O di
intersezione tra leduerette.
Si chiede:
