ESERCIZI sulle CURVE, parte 2 1. Determinare una parametrizzazione della curva semplice e regolare avente per sostegno l’intersezione della sfera x

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ESERCIZI sulle CURVE, parte 2

1. Determinare una parametrizzazione della curva semplice e regolare avente per sostegno l’intersezione della sfera x

²

+ y

²

+ z

²

= 2y con il piano y = z + 1 nella regione x 0 e percorsa in modo tale che il vettore T tangente alla curva nel punto P = (1, 1, 0) verifichi T · j > 0.

2. Determinare una parametrizzazione della curva semplice e regolare avente per sostegno l’intersezione del cilindro 4x

²

+y

²

= 2y con il piano z = x+1 nella regione y 1, orientata in modo tale che il vettore T tangente alla curva nel punto P = (0, 2, 1) verifichi T ·k > 0.

3. Data la curva '(t) = (t

²

, t

³

, t

²

) con t 2 [0, 1], stabilire se `e regolare, semplice, chiusa e calcolarne la lunghezza.

4. Calcolare la lunghezza della curva semplice e regolare a tratti avente per sostegno la frontiera dell’insieme D = {(x, y) 2 R

²

| x

²

+ y

²

 2, x

²

 y, x 0 }.

5. Data la curva '(t) = (sin t, cos t, t

²

), t 2 [ ⇡, ⇡], stabilire se `e regolare, biregolare, sem- plice e chiusa. Determinarne versore tangente, normale, binormale e piano osculatore nel punto '(0).

6. Determinare versore tangente, normale e binormale, curvatura e torsione della curva semplice e regolare avente per sostegno l’intersezione del parabolide z = x

²

+ y

²

con il piano z = 2x nel punto P = (1, 1, 2).

7. Data la curva '(t) = (cos

³

t, sin

³

t), t 2 [0, 2⇡] (astroide), determinarne versore tangente e normale orientato, curvatura orientata ed equazione della circonferenza osculatrice in '(

^⇡₄

).

8. Data la curva di equazione cartesiana y = x

²

(1 x

²

), x 2 [ 1, 1], nel puntl O = (0, 0) determinarne versore tangente e normale, curvatura ed equazione della circonferenza oscu- latrice. Disegnare il sostegno della curva e la circonferenza osculatrice.

9. Data la curva di equazione polare ⇢(✓) = sin(2✓), ✓ 2 [0,

^⇡₂

ESERCIZI sulle CURVE, parte 2 1. Determinare una parametrizzazione della curva semplice e regolare avente per sostegno l’intersezione della sfera x

ESERCIZI sulle CURVE, parte 2

1. Determinare una parametrizzazione della curva semplice e regolare avente per sostegno l’intersezione della sfera x

+ y

+ z

= 2y con il piano y = z + 1 nella regione x 0 e percorsa in modo tale che il vettore T tangente alla curva nel punto P = (1, 1, 0) verifichi T · j > 0.

2. Determinare una parametrizzazione della curva semplice e regolare avente per sostegno l’intersezione del cilindro 4x

+y

= 2y con il piano z = x+1 nella regione y 1, orientata in modo tale che il vettore T tangente alla curva nel punto P = (0, 2, 1) verifichi T ·k > 0.

3. Data la curva '(t) = (t

, t

, t

) con t 2 [0, 1], stabilire se `e regolare, semplice, chiusa e calcolarne la lunghezza.

4. Calcolare la lunghezza della curva semplice e regolare a tratti avente per sostegno la frontiera dell’insieme D = {(x, y) 2 R

| x

+ y

 2, x

 y, x 0 }.

5. Data la curva '(t) = (sin t, cos t, t

), t 2 [ ⇡, ⇡], stabilire se `e regolare, biregolare, sem- plice e chiusa. Determinarne versore tangente, normale, binormale e piano osculatore nel punto '(0).

6. Determinare versore tangente, normale e binormale, curvatura e torsione della curva semplice e regolare avente per sostegno l’intersezione del parabolide z = x

+ y

con il piano z = 2x nel punto P = (1, 1, 2).

7. Data la curva '(t) = (cos

t, sin

t), t 2 [0, 2⇡] (astroide), determinarne versore tangente e normale orientato, curvatura orientata ed equazione della circonferenza osculatrice in '(

).

8. Data la curva di equazione cartesiana y = x

(1 x

), x 2 [ 1, 1], nel puntl O = (0, 0) determinarne versore tangente e normale, curvatura ed equazione della circonferenza oscu- latrice. Disegnare il sostegno della curva e la circonferenza osculatrice.

9. Data la curva di equazione polare ⇢(✓) = sin(2✓), ✓ 2 [0,

], determinarne versore tan- gente, normale, curvatura ed equazione della circonferenza osculatrice nel punto (

,

).

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