T / T = 0.1 W i BCext

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PADOVA

Corsi di Laurea in Ingegneria Settore Informazione- Canale 4 II appello di Fisica Generale 1 – 25 Giugno 2018

Cognome ________________________ Nome ________________________ Matricola ____________

Problema 1

Un punto materiale di massa m = 300g è appoggiato su un piano scabro (coefficiente di attrito dinamico µ = 0.4) inclinato con l'orizzontale di

θ

= 30˚. Il sistema è tenuto fermo nella situazione mostrata in figura: il corpo si trova ad una altezza h = 30cm ed è fissato ad una molla ideale di massa nulla, costante elastica k = 80N/m e lunghezza a riposo nulla; le estremità della molla sono fissate su rotaie che le permettono di scorrere con attrito trascurabile lungo il piano e lungo la base del piano inclinato. All'istante t = 0 il sistema è lasciato libero di muoversi. Determinare, osservando che la molla si mantiene sempre normale al piano orizzontale:

1) il modulo della forza di reazione vincolare su m all’istante iniziale R

2) l'accelerazione iniziale di m a

3) il lavoro fatto dall’attrito dall’istante t = 0 all’istante in cui m tocca terra Watt

4) la velocità di m quando tocca terra v

Problema 2

Un contenitore adiabatico è chiuso da un pistone orizzontale adiabatico inizialmente fisso. Il suo volume è diviso, da un setto orizzontale fisso, in due parti eguali ciascuna di volume V_A = 30 litri. In uno dei comparti è stato praticato il vuoto, mentre il secondo contiene n = 2 moli di gas perfetto monoatomico alla temperatura T_A = 300K. Il gas subisce le seguenti trasformazioni:

AB il setto si rompe e il gas occupa tutto il volume del contenitore

BC si sblocca il pistone e il gas viene ricompresso molto lentamente nel volume iniziale CD il gas viene fatto rapidamente espandere fino ad occupare tutto il volume del

contenitore in condizioni di pressione esterna costante p_e = 0.5 atm e successivamente attendendo il ristabilirsi dell’equilibrio termodinamico Calcolare:

1) il lavoro fatto dall’agente esterno che comprime

il gas nella trasformazione BC W_BC^ext

2) la temperatura del gas nello stato D T_D

Problema 3

Una macchina termica, reversibile, di rendimento

η

= 0.25, viene utilizzata per trasferire calore, prelevandolo da un serbatoio di calore a temperatura TS, a n = 130 moli di un gas ideale biatomico in un contenitore rigido e adiabatico di volume V = 3000 litri. Una valvola di sicurezza è calibrata per sfiatare il gas se la sua pressione aumenta di

Δ

p = 10⁴ N/m², rispetto alla situazione iniziale. Calcolare :

1) il massimo calore trasferibile al gas prima che entri in azione la valvola Q_gas

2) il calore assorbito dalla macchina al serbatoio Qa

3) la temperatura del serbatoio sapendo che la temperatura del gas aumenta

di

!T / T

_i

= 0.1

TS

Problema 4

Un corpo di densità

ρ

viene lasciato cadere da una altezza h in un fluido di densità

ρ

' = 1/3

ρ

, in cui è completamente immerso. Alla fine del percorso h la velocità è v = 10 m/s e si sa che il lavoro fatto dalla forza di attrito viscoso è la frazione f = 20% dell'energia totale iniziale posseduta dal corpo.

Determinare:

1) L'altezza da cui è stato lasciato cadere il corpo h

Problema 1

Un punto materiale di massa m = 300g è appoggiato su un piano scabro (coefficiente di attrito dinamico µ = 0.4) inclinato con l'orizzontale di

θ

= 30˚. Il sistema è tenuto fermo nella situazione mostrata in figura: il corpo si trova ad una altezza h = 30cm ed è fissato ad una molla ideale di massa nulla, costante elastica k = 80N/m e lunghezza a riposo nulla; le estremità della molla sono fissate su rotaie che le permettono di scorrere con attrito trascurabile lungo il piano e lungo la base del piano inclinato. All'istante t = 0 il sistema è lasciato libero di muoversi. Determinare, osservando che la molla si mantiene sempre normale al piano orizzontale:

1) il modulo della forza di reazione vincolare su m all’istante iniziale R

2) l'accelerazione iniziale di m a

3) il lavoro fatto dall’attrito dall’istante t = 0 all’istante in cui m tocca terra W_att

4) la velocità di m quando tocca terra v

Soluzione

1-2) Le equazioni del moto nell’istante in cui il corpo viene lasciato libero sono mg sin

!

+ kh sen

!

"

µ

N= ma

N" mg cos

!

" kh cos

!

= 0

#$

% Dalla seconda equazione si ricava

N = mg cos

!

+ kh cos

!

= 22.33N per cui la forza di reazione vincolare su m è

R= N²+ F_d² = N²+

µ

²N² = N 1+

µ

² = 25.13N e dalla prima equazione

a= !g sin

"

!kh sen

"

!

µ

N

m = !13.84m/s² 3) Il corpo percorre la distanza

d= h

sen

!

^{= 0.6m} lungo il piano inclinato. Il lavore dell’attrito è quindi

W_att

= ! µN dx

0

"

d

^{= !} µ mg cos# + ky cos# ( )

^dx

0

"

d

dove la deformazione della molla è

y= h ! x sen

"

per cui

W_att

= ! µ mg cos" + k h ! x sen" _#$ ( ) ^cos" _%&dx

0

'

d

⁼

= ! µmg cos" dx

0

'

d

^! µkh cos" dx

0

'

d

⁺ µkx sen" cos" dx

0

'

d

⁼

= !µmgd cos" ! µkhd cos" + µk

d²

2 sen" cos" = !3.11J

4) Applicando il bilancio energetico

W_att

= 1

2

mv²

! 1

2

kh²

+ mgh

"

#$ %

&'

per cui la velocità finale è

v= 2

m W_att+1

2kh²+ mgh

!"# $

%& =3.03m/s

Problema 2

Un contenitore adiabatico è chiuso da un pistone orizzontale adiabatico inizialmente fisso. Il suo volume è diviso, da un setto orizzontale fisso, in due parti eguali ciascuna di volume V_A = 30 litri. In uno dei comparti è stato praticato il vuoto, mentre il secondo contiene n = 2 moli di gas perfetto monoatomico alla temperatura T_A = 300K. Il gas subisce le seguenti trasformazioni:

AB il setto si rompe e il gas occupa tutto il volume del contenitore

BC si sblocca il pistone e il gas viene ricompresso molto lentamente nel volume sottostante

CD il gas viene fatto rapidamente espandere fino ad occupare tutto il volume del contenitore in condizioni di pressione esterna costante p_e = 0.5 atm e successivamente attendendo il ristabilirsi dell’equilibrio termodinamico Calcolare:

1) il lavoro fatto dall’agente esterno che comprime

il gas nella trasformazione BC W_BC^ext

2) la temperatura del gas nello stato D T_D

Soluzione

Le trasformazioni sono AB espansione libera BC adiabatica reversibile CD adiabatica irreversibile

1) La trasformazione AB è isoterma, TB = TA, e il volume raddoppia, VB = 2VA . Utilizzando le equazioni di Poisson per la trasformazione BC e osservando che VC = VA

T_BV_B^{! "1}

= T

_CV_C^{! "1}

# T

_C

= T

_A V_B V_C

$

%&

' ()

! "1

= T

_A

2

^{! "1}

= 476K

e il lavoro fatto dall’esterno è

W_BC^ext

= !W

_BC^gas

= !"U

_BC

= nc

_v

(

T_C

! T

_B

) = 4393 J

2) Il lavoro fatto dalle forze esterne in CD è, osservando che V_D = 2V_A

W_CD^ext

= ! p

_e

(

V_D

! V

_C

) ^{= ! p}

e

( 2V

_A

! V

_A

) ^{= ! p}

eV_A

= !1520J

Applicando il primo principi ala trasformazione CD

W_CD^gas

+ !U

_CD

= 0 " #W

_CD^ext

+ nc

_v

(

T_D

# T

_C

) ^{= 0}

si ricava

T_D= T_C+W_CD^ext

nc_v = 415K

Problema 3

Una macchina termica, reversibile, di rendimento

η

= 0.25, viene utilizzata per trasferire calore, prelevandolo da un serbatoio di calore a temperatura TS, a n = 130 moli di un gas ideale biatomico in un contenitore rigido e adiabatico di volume V = 3000 litri. Una valvola di sicurezza è calibrata per sfiatare il gas se la sua pressione aumenta di

Δ

p = 10⁴ N/m², rispetto alla situazione iniziale. Calcolare :

1) il massimo calore trasferibile al gas prima che entri in azione la valvola Q_gas

2) il calore assorbito dalla macchina al serbatoio Qa

3) la temperatura del serbatoio sapendo che la temperatura del gas aumenta di

!T / T

_i

= 0.1

T_S

Soluzione

1) La trasformazione avviene a volume costante per cui valvola entra in azione se la temperatura del gas diventa

pV

= nRT ! "pV = nR"T ! "T =

V

"p

nR Il calore massimo scambiato con la macchina è quindi

Q_gas

= nc

_v

!T = nc

_vV

!p

nR

=

V

!p

" # 1 = 75 kJ

2) Il calore Qgas viene ceduto alla macchina, per cui il suo rendimento è

!

= 1+Q_c

Q_a = 1"Q_gas Q_a e quindi il calore assorbito dalla macchina

Q_a

=

Q_gas

1 ! " = 100 kJ

3) la macchina è reversibile, per cui la variazione di entropia dell’universo è nulla

!

S_u = nc_vlnT_f T_i "Q_a

T_S = 0 per cui

T_S = Q_a nc_vlnT_f

T_i

= Q_a

nc_vlnT_i+

!

T T_i

= Q_a

nc_vln 1+

!

T T_i

"

#$

%

&'

= 388 K

Problema 4

Un corpo di densità

ρ

viene lasciato cadere da una altezza h in un fluido di densità

ρ

' = 1/3

ρ

, in cui è completamente immerso. Alla fine del percorso h la velocità è v = 10 m/s e si sa che il lavoro fatto dalla forza di attrito viscoso è la frazione f = 20% dell'energia totale iniziale posseduta dal corpo.

Determinare:

1) L'altezza da cui è stato lasciato cadere il corpo h Soluzione

Durante il moto agiscono la forza peso, l’attrito viscoso e la forza di Archimede. Applichiamo il bilancio energetico

W_Arch+ W_Att = 1

2mv²! mgh dove

W_Arch = ! "

#

Vgh= !

#

3Vgh W_Att = ! fmgh = ! f

#

Vgh

$

%&

'&

per cui

!

"

3Vgh+ ! f

"

Vgh=1

2

"

Vv²!

"

Vgh dove densità e volume si cancellano per cui,

!1

3gh+ ! fgh =1

2v²! gh la distanza percorsa è

!1

3gh+ ! fgh = !gh = v² 2g 1! f !1

2

"

#$ %

&'

= 10.92 m