QUADRATICHE DEL PIANO ATTRAVERSO LETRASFORMAZIONI S TUDIO DEI PUNTI SINGOLARI DELLE CURVEALGEBRICHE

UNIVERSITÀDEGLI STUDIDI MILANO

FACOLTÀDI SCIENZE MATEMATICHE, FISICHEE NATURALI

CORSODI LAUREAIN MATEMATICA

A. A. 2005/2006

S ^{TUDIO DEI PUNTI SINGOLARI DELLE CURVE}

ALGEBRICHE ATTRAVERSO LE

TRASFORMAZIONI QUADRATICHE DEL PIANO

Tesi di

Stefano Salvotelli (matr. 640241)

Relatore: Prof. Alberto Alzati

I NTRODUZIONE

Lo scopo di questa tesi è mostrare che, data una qualunque curva algebrica piana irriducibile e ridotta nel piano proiettivo complesso, per mezzo di una trasformazione birazionale (def. a pag.37), essa può essere trasformata in un’altra dotata soltanto di punti multipli ordinari (Teorema di Noether). Questo teorema, dato che, come sarà provato, tali curve hanno lo stesso genere (def. a pag.39) (Proposizione vii), ci permetterà di individuare una strategia per il calcolo del genere di una generica curva algebrica piana irriducibile e ridotta.

Per raggiungere tale obiettivo, inizialmente introdurremo le trasformazioni quadratiche del piano studiandone le principali proprietà e definendo i loro elementi fondamentali, cioè tre punti e le tre rette che li uniscono a coppie, e la relativa rete omaloidica di coniche. Riserveremo particolare attenzione alle trasformazioni quadratiche in relazione ai punti fondamentali e a come questi vengono “scoppiati” in rette (pag.V).

Dopo questa premessa, illustreremo come una generica curva algebrica piana irriducibile e ridotta, , in P ( )²  , viene trasformata tramite una trasformazione quadratica, avente un punto fondamentale, P, coincidente con un punto singolare della curva.

In particolare, studieremo le tangenti principali in P, le coniche osculatrici a  in tale punto e la loro influenza sulla trasformazione di . Con tale tecnica analizzeremo in dettaglio ogni punto singolare di , compresi quelli appartenenti agli intorni successivi (def. a pag.VII) del punto P (Capitolo I).

In seguito considereremo con particolare attenzione il modo in cui una tale trasformazione quadratica trasforma un nodo ordinario, una cuspide di prima

specie, un tacnodo e un rostro, fornendo trattazioni teoriche accurate ed esempi per ognuno di questi casi (Capitolo II, paragrafi 1,2,3).

Poi illustreremo come questa trattazione possa essere generalizzata a tutti i punti singolari di una curva (Capitolo II, paragrafo 4).

L’obiettivo seguente sarà dimostrare che, tramite un numero finito di opportune trasformazioni quadratiche, ogni punto singolare di una curva  dà luogo ad un numero finito di punti multipli ordinari (def. a pag. 38) per la curva trasformata

. Per raggiungere tale obiettivo studieremo come la molteplicità di intersezione di due curve in un punto viene modificata quando su entrambe le curve agisce una stessa trasformazione quadratica. Un altro elemento chiave, per raggiungere il nostro scopo, sarà dimostrare che la polare prima di un punto generico rispetto a  passa per tutti i punti multipli di , distinti o infinitamente vicini tra loro, con molteplicità ridotta di uno rispetto a quella che tali punti presentano per  (Capitolo II, paragrafo 5).

Prima di concludere la tesi avremo ancora necessità di provare l’invarianza della tipologia di un punto singolare generico rispetto a una trasformazione quadratica generica (Capitolo II, paragrafo 6).

Infine introdurremo e dimostreremo il teorema di Noether: per mezzo di una trasformazione birazionale ogni curva piana può essere trasformata in un’altra dotata soltanto di punti multipli ordinari.

Tale teorema realizza lo scopo della tesi di cui si era parlato all’inizio. Infatti Dimostreremo che il genere di una curva  è invariante rispetto alla trasformazione birazionale citata nel teorema di Noether. Di conseguenza renderemo possibile l’applicazione concreta della formula con la quale si definisce il genere di una curva (Capitolo II, paragrafi 7,8).