Punti singolari

SOMMARIO

ARGOMENTIDIBASE I

NOTAZIONIECONVENZIONI I

PUNTISINGOLARI II

CURVEPOLARI IV

TRASFORMAZIONIQUADRATICHE V

INTORNISUCCESSIVIDIUNPUNTO VII

CAPITOLO I: TRASFORMAZIONEDELLECURVEALGEBRICHE 1

CAPITOLO II: SCIOGLIMENTODELLESINGOLARITÀ 12

II.1 NODIORDINARI 12

II.2 CUSPIDIDIPRIMASPECIE 14

II.3 NODIECUSPIDIDISECONDASPECIE 17

II.4 GENERALIZZAZIONEATUTTIIPUNTISINGOLARI 23

II.5 SCIOGLIMENTODIUNPUNTOSINGOLARE 24

II.6 INVARIANZADIUNPUNTOSINGOLARERISPETTOAUNA

TRASFORMAZIONEQUADRATICAGENERICA 30

II.7 TEOREMADI NOETHER 37

II.8 GENEREDELLECURVEALGEBRICHE 39

BIBLIOGRAFIA 42

Ringraziamenti 43

A ^{RGOMENTI DI BASE}

Notazioni e convenzioni

Col termine “curva” intenderemo sempre una curva algebrica piana proiettiva.

Le curve algebriche piane considerate in questa tesi sono supposte irriducibili e ridotte.

Tutte le curve sono pensate appartenenti al piano proiettivo complesso P ( )²  , allo scopo di semplificare l’analisi delle curve, essendo _ algebricamente chiuso.

La notazione “: f (x : y : z) 0 ” significa “ di equazione f (x : y : z) 0 ”.

Col simbolo ^(P) indicheremo il fascio di rette passanti per il punto P.

Tutti i calcoli necessari per lo sviluppo degli esempi sono stati eseguiti con l’ausilio del software Derive^™ 6.

Punti singolari

Def.: Un punto P di una curva  si dice singolare per  se ogni retta passante per P ha molteplicità di intersezione 2 con  in P.

Def.: Se tutte le rette del fascio ^(P), a parte un numero finito, hanno molteplicità di intersezione esattamente 2 (risp. 3, n) con la curva  in P il punto si dice doppio (risp. triplo, ^n-plo).

Classifichiamo i punti doppi:

NODIORDINARI

Se le due tangenti principali alla curva  nel punto P sono distinte, qualunque sia il comportamento delle due curve osculatrici ai due rami di  che concorrono in P, ovvero qualunque sia la molteplicità di intersezione tra le tangenti principali a  in P, chiamiamo P nodo ordinario per .

Se invece le due tangenti principali coincidono è necessaria una classificazione più approfondita:

CUSPIDIDIPRIMASPECIE

Se la molteplicità di intersezione tra  e l’unica tangente principale in P è 3 si dice che P è una cuspide di prima specie per .

Se la molteplicità di intersezione tra  e l’unica tangente è 4 bisogna classificare vari casi:

NODIDISECONDASPECIE (TACNODI)

Se esistono due parabole osculatrici a  in P distinte, chiamiamo P nodo di seconda specie o tacnodo.

CUSPIDIDISECONDASPECIE (ROSTRI)

Se esiste un’unica parabola osculatrice e questa ha molteplicità di intersezione 5 con  in P, si dice che P è una cuspide di seconda specie o rostro.

NODIECUSPIDIDISPECIESUPERIORE

Proseguendo con questa analisi dei punti doppi si ottengono in modo naturale le definizioni di nodi e cuspidi di specie superiore.

Curve polari

Data una curva  di ordine n di e di equazione f (x : y : z) 0 e dato un punto

P p P

P (x : y : z ) , non appartenente alla curva, si dice curva polare prima del punto P rispetto alla curva  la curva di equazione

P P P

f f f

x y z 0

x y z

  

  

   .

Se la curva  ha un punto M di molteplicità r (2), esso sarà di molteplicità almeno r 1 per la polare prima di un qualsiasi punto P (non appartenente a ) rispetto a .

Trasformazioni quadratiche

Def.: Diciamo che due piani ^ e  sono in corrispondenza quadratica se fra i loro punti esiste una corrispondenza algebrica genericamente biunivoca, ^, tale che, se un punto P su ^ descrive una retta, il suo punto immagine P

su ^ descrive una conica.

Dire che ^P(x : y : z )   , punto generico sul piano , è immagine attraverso una corrispondenza biunivoca ^ di P (x : y : z) , punto generico sul piano ^, significa che la trasformazione quadratica ^ ha equazioni

1

2 3

x (x : y : z) y (x : y : z) z (x : y : z)

  

   

   



con i(x : y : z) polinomi omogenei, con ^{i 1, 2,3} . Analogamente

[0.i]

1 1

2 3

x f (x : y : z ) : y f (x : y : z ) z f (x : y : z )



  

 

   

  

    



con f (x : y : z )i    polinomi omogenei, con ^{i 1, 2,3} .

Sfruttiamo ora la definizione di trasformazione quadratica per capire le caratteristiche di ^.

Se sul piano ^ il punto P percorre una retta generica [0.ii] ^{h : x}     ^{y z 0}

il luogo descritto dal suo punto immagine P su  è una curva

[0.iii] H : f (x : y : z ) 1     f (x : y : z )2     f (x : y : z ) 03     . Ora sfruttiamo il fatto che, per definizione di trasformazione quadratica, la curva

H deve essere una conica, quindi i polinomi omogenei f (x : y : z )i    devono essere di secondo grado.

Inoltre, dato P (x : y : z) , le coordinate del punto ^P(x : y : z )   , trasformato di P attraverso ^, sono soluzione del sistema [0.i] rappresentante ^1. Ma, siccome stiamo lavorando nel piano proiettivo, basta risolvere il sistema

[0.iv] ^{1 3}

2 3

zf (x : y : z ) xf (x : y : z ) 0 zf (x : y : z ) yf (x : y : z ) 0

       

        

 .

Le due equazioni di questo sistema rappresentano due coniche in nel piano , che, in generale, tra loro hanno 4 punti comuni, quindi per conservare la biunivocità di ^ è necessario che tre di questi punti, A2, B2 e C2, siano indipendenti dalla scelta di P, sicché rimane una sola intersezione libera, P, dipendente dalla scelta di P.

Visto che A2, B2 e C2 sono soluzione del sistema [0.iv] indipendentemente dalla scelta di (x : y : z), devono essere soluzioni del sistema

1 2

3

f (x : y : z ) 0 f (x : y : z ) 0 f (x : y : z ) 0

   

    

    



in cui ogni equazione rappresenta una conica nel piano ^.

Quindi la rete di conche rappresentata da [0.iii] al variare della terna ^{( : : )  } è omaloidica, cioè due sue curve generiche hanno tre intersezioni fisse, in A2, B2

e C2, e una variabile in funzione della scelta di ^{( : : )  } . Questa rete viene detta rete omaloidica fondamentale della trasformazione quadratica ^.

Quindi le _² rette sul piano ^ rappresentate da [0.ii] vengono trasformate, per mezzo di ^, nelle _² coniche della rete omaloidica fondamentale, tutte passanti per A2, B2 e C2, detti punti fondamentali su ^ della trasformazione quadratica

.

Ripetendo un discorso analogo per ^1 troviamo tre punti, A1, B1 e C1, comuni alle coniche, sul piano ^, i(x : y : z) con ^{i 1, 2,3} , che chiamiamo punti fondamentali su ^ della trasformazione quadratica ^.

Le due coniche, su , rappresentate dalle equazioni del sistema [0.iv] sono generatrici di un fascio di coniche, contenuto nella rete omaloidica fondamentale di ^, passanti per i tre punti fondamentali di ^ su  e per il punto P

immagine attraverso ^ del punto P. Quindi tale fascio di coniche su  è immagine del fascio di rette ^(P) su ^.

Scegliamo ora P  A2. Il fascio di coniche di cui detto sopra diventa un fascio di coniche degeneri spezzate nella retta B C2 2 e nel fascio di rette (A )2 . Questo viene trasformato, tramite ^1, nel fascio di rette (A )1 . Quindi osserviamo che il punto A1 viene trasformato, tramite ^, nella retta B C2 2. Un discorso analogo si può fare per i punti B1 e C1. Questo significa che i tre punti fondamentali fanno eccezione alla biunivocità di ^.

Intorni successivi di un punto

Def.: Data una trasformazione quadratica ^, avente punti fondamentali A1, B1 e C1, chiamiamo intorno di primo ordine di A1 l’insieme delle intersezioni uscenti da A1 identificate, in modo naturale, con le rette del fascio A1. Esse hanno come immagini, tramite ^ (in particolare tramite A), i punti della retta B C2 2.

Def.: Nelle ipotesi precedenti definiamo intorno di secondo ordine di A1 la controimmagine, tramite ^1, dell’unione degli intorni del primo ordine dei punti di B C2 2.

In modo naturale si definiscono gli intorni successivi del punto A1.

Per studiare meglio la trasformazione quadratica ^, in relazione ai punti fondamentali, definiamo una corrispondenza proiettiva A : (A )1 (A )2 tra il fascio centrato in A1 e quello centrato in A2.

Identifichiamo le rette del fascio (A )1 con i punti nell’intorno di primo ordine di A1 e le rette del fascio (A )2 con i punti in cui queste intersecano la retta B C2 2.

Così abbiamo identificato una corrispondenza biunivoca tra i punti nell’intorno di primo ordine di A1 e i punti della retta B C2 2.

C

^APITOLO

I: T RASFORMAZIONE DELLE CURVE ALGEBRICHE

Vediamo innanzitutto come una trasformazione quadratica ^ agisce su una curva generica  appartenente a un piano ^.

In generale  passi per i tre punti fondamentali A , B , C1 1 1 di ^ con molteplicità rispettivamente r, s, t (0). Per comodità studieremo solo il punto

A1 essendo analogo il discorso per B e C2 2.

Siccome l’immagine di A1 attraverso la ^ è la retta B C2 2 in  e A1 appartiene con molteplicità r-pla a , allora B C2 2 è contenuta con la stessa molteplicità in

 ( ). Quindi ^{ ( )} è spezzata nelle componenti B C2 2 (di molteplicità r), A C2 2

(di molteplicità s), A B2 2 (di molteplicità t) e in una curva  che consideriamo come effettiva immagine della  attraverso la ^.

Determiniamo il grado di : considerata una conica generica K passante per

1 1 1

A , B ,C in ^, ad essa corrisponde una retta generica k in . Ma il numero di punti che K ha in comune con  (esclusi i tre fondamentali) deve essere uguale al numero di punti che k ha in comune con , quindi 2n r s t   n

. Ma questo è il grado di  perché è il numero di intersezioni con una retta generica di .

Siccome  incontra B C1 1 in n s t  punti diversi da B e C1 1 e l’immagine di

1 1

B C è A2, allora tale punto ha molteplicità n s t   r in .

Se supponiamo che A1 A2 (0 : 0 :1), B1 B2 (1: 0 : 0), C1 C2 (0 :1: 0) (i.e. fissiamo un sistema di riferimento su ^ e ^). Allora

: z^{n r}r(x : y) z ^{n r 1 } r 1_ (x : y) ...  n(x : y) 0

che, trasformata attraverso la

x yz

: y xz

z xy

  

   

  



, diventa

n r n r n r 1 n r 1

r r 1 n

( ) : x ^ y ^ (y z : x z ) x     ^{ } y ^{ } _ (y z : x z ) ...    (y z : x z ) 0   

        

Ma, essendo le j omogenee è possibile raccogliere da ognuna un termine z^j. Quindi

: x^{n r} y^{n r} r(y : x ) x   ^{n r 1 } y^{n r 1 } zr 1_ (y : x ) ... z    ^{n r} n(y : x ) 0   è l’equazione di , cioè l‘equazione di  ( ), privata del termine _z^r presente in tutte le j(y z : x z )    omogenee, termine che rappresenta la retta B C2 2 con molteplicità r.

Chiamiamo ti con ^{i (1...r)} le tangenti principali a  in A1, di equazioni

i i

a x b y 0  . Attraverso la proiettività A (pagina 8) che ^ subordina ai fasci (A )1 e (A )2 le ti hanno come immagini le ti di equazione b xi a yi 0 che intersecano la retta B C2 2 (z0) nei punti Pi (a : b : 0)i  i . Ne consegue che così viene creata un corrispondenza biunivoca tra il fascio di rette (A )1 e il fascio di rette (A )2 (quindi anche con la retta B C2 2 con cui ogni retta di (A )2

ha una e una sola intersezione).

Le r tangenti ti in A1 a  hanno equazione complessiva

r

r i i

i 1

(x : y) (a x b y) 0



 



 

quindi i punti in cui  taglia la retta B C2 2 (esclusi B e C2 2) sono dati da

r

r i i

i 1

z 0, (y : x ) (b x a y ) 0



    



  

che sono proprio i punti Pi in cui le ti tagliano B C2 2.

Se le ti sono tutte distinte (i.e. se A1 è un punto r-plo ordinario) anche i Pi

sono distinti. Ma se r1 delle ti coincidono con t ( t1  2  ... t )r₁ allora la molteplicità di intersezione tra  e B C2 2 in P ( P1  2  ... P )r₁ è r1.

Se tra le ti compare anche A B (rispettivamente A C )1 1 1 1 allora tra i Pi compare anche C (risp. B )2 2 . Quindi la molteplicità di intersezione tra  e B C2 2 in C2

(risp. B )2 sarà la somma tra la molteplicità che  presenta in C2 (risp. B )₂ , che abbiamo visto essere n r s (risp. n r t)    , e il numero di ti coincidenti con A B1 1 (risp. A C )_{1 1} .

Proposizione i Se la molteplicità di intersezione in A1 tra ti e  è r l i in r,

r 1

 ,…,r l 1 _i contengono il fattore a x b yi  i , ma r l_i non lo contiene.

Dim.: Innanzitutto, siccome stiamo studiando il punto A1 (0 : 0 :1), possiamo disomogeneizzare l’equazione di  rispetto a z. Mettiamo a sistema l’equazione di  con quella di ti per trovare tutte le intersezioni, al finito,

tra  e ti ^{r r 1 n}

i i

(x : y) (x : y) ... (x : y) 0 a x b y 0

      

  

 . Supponiamo

bi 0 e sostituiamo nella prima equazione ⁱ

i

y a x

 b . Siccome le j

erano omogenee di grado j in ^{(x : y)}, dopo la sostituzione rimangono omogenee di grado j, ma in x. Quindi j(x)  jx^j  j r...n. Quindi ciò

che rimane dopo la sostituzione è

n j

j j r

x 0



 



. Ora la molteplicità di intersezione tra  e ti in A1 (0 : 0 :1), che noi sappiamo essere r l i, è data dalla molteplicità della radice x 0 . Quindi vogliamo che  j 0

j r...(r li 1)

    e che r l_i 0. Questo vuol dire j ⁱ i

(x : a x) 0

 b 

j r...(r li 1)

    , cioè la retta a x b y 0i  i  soddisfa identicamente l’equazione j(x : y) 0  j r...(r l _i 1), cioè a x b yi  i è un fattore

di j(x : y)  j r...(r l _i 1). Al contrario sappiamo che

i

i r l

i

(x : a x) 0

 b

   , quindi che a x b yi  i non è un fattore di r l_i(x : y). Rimane da studiare il caso in cui bi 0. In questo caso sostituiamo x0 nell’equazione disomogeneizzata di . Quindi ripetiamo un discorso identico al precedente considerando, invece che j(x), j(y). 

Dalla proposizione precedente segue che le j(y : x )   j r...(r l _i 1) contengono un fattore a yi b xi , mentre r l_i(y : x )  non lo contiene. Quindi intersecando la retta ⁱ

i

y b x

 a  con  (se ai 0, mentre se ai 0 si ottiene un risultato analogo discorso analogo usando x 0) si ottiene l’equazione omogenea in x e z:

i

i i

i

n r l

n r l i l i

r l

i i

b b

x x z x : x ... 0

a a

 

 



   

        

   

in cui si è messo in evidenza solo il termine di grado minimo rispetto alla variabile z. Ora, la molteplicità di intersezione di ti A P2 i con la  in

i i i

P (a : b : 0) è data dalla molteplicità della radice z 0 per l’equazione disomogeneizzata rispetto a x, cioè li. Segue che la retta ti A P2 i ha molteplicità di intersezione li con  in Pi .

Proposizione ii Se una conica K^{( j)}i della rete omaloidica fondamentale K₁² in ^ è tangente a ti in A1 e ha molteplicità di intersezione r m ^{( j)}_i con , allora la retta k^{( j)}_i , trasformata della K_i^{( j)} attraverso la ^ , ha molteplicità di intersezione m^{( j)}_i con  in Pi .

Dim.: L’equazione di una conica generica passante per A1 (0 : 0 :1) è

1 2

K : z (x : y)   (x : y) 0 . Inoltre vogliamo che la nostra conica sia

tangente a ti in A1, quindi per la Proposizione i 1(x : y) a x b y i  i . Infine vogliamo che la nostra conica appartenga alla rete omaloidica fondamentale, quindi, dovendo passare per B1 (1: 0 : 0) e C1 (0 :1: 0), non devono comparire i termini quadratici di x e y. Quindi

( j) ( j)

i i i i

K : z(a x b y) c xy 0   .

Avere molteplicità di intersezione r m ^{( j)}i in A1 tra K^{( j)}i e  significa

che nel sistema

( j)

i i i

n r n r 1

r r 1 n

z(a x b y) c xy

z ^ (x : y) z ^{ } _ (x : y) ... (x : y) 0

   



      

 il

risultante R (y : z)x è del tipo ^{( j)i ( j)}

i

r m

2n r m

y^  _{ } (y : z), perché la soluzione y 0 ha molteplicità r m i^{( j)}.

La retta k_i^{( j)} ha equazione a y_i b x_i  c z_i^{( j)} . Messa a sistema con

 ( ) diventa:

( j)

i i i

n r n r n r 1 n r 1

r r 1 n

a y b x c z

x ^ y ^ (y z : x z ) x ^{ } y ^{ } _ (y z : x z ) ... (y z : x z ) 0

  

   



                      



In questo sistema, come nel precedente, la molteplicità di intersezione delle due curve in Pi  ( a : b : 0)i i , è r m ^{( j)}i . Ma se epuriamo ^{ ( )} dal termine _z^r comune a tutti i fattori, ottenendo così l’equazione di , termine che contribuiva ad aumentare di r la molteplicità di intersezione, si ha che la molteplicità di intersezione tra la retta k^{( j)}i e  è m^{( j)}i . 

Riassumendo, nell’ipotesi che una curva algebrica  giaccia su un piano ^ e che sia definita una trasformazione quadratica ^ tra il piano ^ e un altro piano

:

 conoscendo la molteplicità dei tre punti fondamentali di ^ nel piano ^ per la curva , si ricavano il grado di  e la molteplicità dei tre punti fondamentali di  per ;

 conoscendo le tangenti principali di  (e la loro molteplicità) in un punto fondamentale, si ricavano tutti i punti di intersezione tra  e la retta immagine attraverso la ^ del punto fondamentale stesso (con la loro molteplicità);

 conoscendo la molteplicità di intersezione tra le tangenti principali e  in un punto fondamentale, si ricava la molteplicità di intersezione tra  e le rette immagini delle tangenti principali nei punti in cui queste incontrano

 lungo la retta immagine del punto fondamentale stesso;

 conoscendo le coniche osculatrici a  in un punto fondamentale, coniche appartenenti alla rete omaloidica fondamentale (e la molteplicità di intersezione con  in tale punto), si ricavano, trasformandole attraverso la

, le tangenti principali a  nei punti di intersezione di  con la retta immagine del punto fondamentale stesso;

 viceversa studiando i punti di intersezione della  con una retta passante per due punti fondamentali, si ricava il comportamento della  nel punto fondamentale immagine attraverso la ^ della retta stessa (molteplicità, tangenti principali e molteplicità di intersezione con le coniche della rete omaloidica fondamentale).

Facciamo ora un esempio pratico di come sfruttare tutte queste informazioni.

Esempio i Consideriamo la curva : x³ x z 2y z 0²  ²  e la trasformazione

quadratica ^{1 2}

2

x x z x y

: y y y z

z x y z



   

 

   

   

     



.

La sua inversa è ²

2

x xz xy

: y y yz

z x yz

  

 

   

   



e i punti fondamentali di  _e ^{1 sono}

1 2

A A (0 : 0 :1), B₁ B₂ (1:1:1) e C₁ C₂  ( 1:1:1).

Figura I-i: curva  nel piano 

A1 è un punto doppio per (r2^), B1 è un punto semplice di (s 1 ) e C1  (t 0) .

Quindi siccome il grado di  è n 3 , il grado di  è n     n r s t 3, A₂ ha molteplicità r    n s t 2, B₂ ha molteplicità s    n r t 1 e C₂ ha molteplicità t    n r s 0

L’equazione di  ( ) è

2 3 2 2 2

(yz ) (y x )(x  2x y x z 2x y z  2y z ) 0   .

Per ottenere  dobbiamo epurare la  ( ) della retta y z 0 (immagine di A1) che comparirà con molteplicità r2 e della componente yx0 (immagine di B₁) che comparirà con molteplicità s 1 .

Quindi : x³2x y ² x z ² 2x y z  2y z ² 0.

Figura I-ii: curva  nel piano 

Le tangenti principali a  in A₁ sono t : x₁  2y 0 e t : x₂  2y 0 con molteplicità di intersezione con  in A₁ rispettivamente r l ₁ 3 (l₁ 1) e

r l 2 3 (l₂ 1).

Quindi (t ) : (y_1,2 z )( x   2y ) 0  , epurata della componente corrispondente a B C_{2 2} (cioè yx) si ottiene t : x_1,2  2y. Ne consegue che i punti di intersezione di B C2 2 con C sono P_1,2  ( 2 :1:1).

Quindi C ha un’intersezione con molteplicità 1 (perché l1,2 1) con t1,2 in P1,2. La rete omaloidica fondamentale di  _è

2 2 2

K : (xz xy)1    (y yz) (x yz) 0 .

Per determinare in questa rete di coniche le due osculatrici a  in A₁ bisogna calcolare la terna ( : : )   tale che il punto A₁ (0 : 0 :1) sia intersezione di molteplicità massima tra  e le coniche.

Per farlo usiamo il metodo del risultante: consideriamo le equazioni disomogeneizzate di  e della conica generica della rete omaloidica fondamentale

3 2 2

2

x x 2y 0

x (1 y)x y( y ) 0

  

          

Calcoliamo il risultante rispetto a x e poniamolo uguale a 0

2

2

x

3 6 5 3 2 4 3 2 2 2 3

2 2 3 3 3 2 2 2

1 1 0 2y 0

0 1 1 0 2y

R (y) (1 y) y( y ) 0 0

0 (1 y) y( y ) 0

0 0 (1 y) y( y )

y y (2 ( 6 ) 3 ( )) y (6 2 (3 14 6 ) 3

7 7 4 ) y (6 4 ( )(3 7 ) ( )( 4 5 )





         

       

       

                            

                            

2 2 2

)

y ( )(2 ( ) ) 0



         

Ora annulliamo più coefficienti possibile dei gradi minimi di y, cioè risolviamo il sistema

2 2

3 2 2 2

( )(2 ( ) ) 0

6 4 ( )(3 7 ) ( )( 4 5 ) 0

         



                     



le cui soluzioni, a meno di proporzionalità, sono le terne (0 :1: 1) e (1 2 :1:1 2), ma la prima non rappresenta una conica osculatrice, ma la conica degenere di equazione x² y² 0 che ha molteplicità di intersezione 4 con

 in A₁ perché in tale punto presenta un punto doppio, così come .

Quindi le terne cercate sono, a meno di proporzionalità,   _1,2 1 2,  1,2 1 e

1,2 1 2

   . La molteplicità di intersezione tra le coniche ad esse associate e  in A1 è r m 1,2 4 ₍m_1,2 2_).

Le rette immagine di queste due coniche sono le due rette k1,2 : (1 2)x y (1 2)z0 e sono tangenti con molteplicità m1,2 2 a C rispettivamente nei punti P1,2.

Infine i punti di intersezione tra  e B C : y z 0_{1 1}   sono tre di cui uno è B₁ e gli altri due sono punti a coordinate complesse coniugate Q1,2   ( 1 i :1:1). Da ciò deduciamo, semplicemente invertendo il ragionamento che dalle t_i ci permette di conoscere i punti P_i , che nel punto doppio A₁ le tangenti principali sono

s : x1,2 (1 i)y 0, cioè che A₂ è un nodo isolato.

Figura I-iii: curva , retta B C_{1 1}, tangenti principali t1,2 e coniche osculatrici K1,2

C

^APITOLO

II: S CIOGLIMENTO DELLE SINGOLARITÀ

L’obbiettivo ora è sfruttare le proprietà delle trasformazioni delle curve algebriche tramite trasformazioni quadratiche, viste nel capitolo precedente, per analizzare i punti singolari delle curve. Per farlo analizzeremo separatamente le varie tipologie di punti singolari. Cominceremo analizzando i punti doppi per poi generalizzare a ogni tipo di punto singolare.

In tutto il capitolo chiamiamo A1, B1, C1 i tre punti fondamentali su ^ della trasformazione quadratica    :  e A2, B2, C2 i tre punti fondamentali su



 della trasformazione quadratica ^1:    .

I.1 Nodi ordinari

Consideriamo una curva  avente un punto doppio in A1, in particolare un nodo ordinario. In quanto nodo ordinario le due tangenti principali t1,2 di  in A1

sono sicuramente distinte. Come visto 12, a t1,2 corrispondono due punti sulla retta B C2 2 detti P1,2 in cui  incontra le rette t1,2 immagini attraverso la ^ di

t1,2.

12 abbiamo visto che se B1 (risp. C1) appartiene a una della due tangenti principali, allora C2 (risp. B2) è uno dei Pi . Per evitare questa complicazione consideriamo B1 e C1 esterni a t1,2, scelta che non lede la generalità del discorso.

Siccome le tangenti principali sono distinte i punti P1,2 sono semplici per .

Le tangenti a  in tali punti sono le rette k1,2, trasformate delle coniche K1,2, appartenenti alla rete omaloidica fondamentale K₁², osculatrici a  in A1. Consideriamo un punto Q1 nell’intorno di secondo ordine di A1 appartenente a

K1. Siccome K1 oscula  in A1, allora Q1 appartiene anche al ramo di  osculato da K1. Siccome la K1 ha come immagine attraverso la ^ la retta k1, l’immagine di Q1 attraverso la ^, che chiamiamo Q1, appartiene a k1. Ma Q1

appartiene anche a , quindi Q1 appartiene a . Quindi Q1 è nell’intorno di primo ordine di P1 lungo la direzione di t1. Lo stesso discorso si può ripetere per P2.

Quindi due archi di  che contengono rispettivamente P1 e P2 sono immagini attraverso ^ rispettivamente dei due archi di  che si incontrano nel punto singolare A1.

Quindi, grazie a ^, abbiamo sciolto un nodo ordinario in due rami separati.

Esempio di questo è l’Esempio i in cui l’origine è un punto singolare per la curva

 e attraverso la ^ viene trasformato nei due punti semplici P1,2.

Figura II-v: illustrazione di come, attraverso la , il nodo ordinario in A₁ si snoda

 ^{ }

I.2 Cuspidi di prima specie

Ora analizziamo una curva  che abbia una cuspide di prima specie nel punto doppio A1. In tale punto l’unica tangente principale sia t1. In quanto unica in un punto doppio, t1 è una tangente principale di molteplicità doppia. Quindi, per quanto detto 11, la molteplicità di intersezione tra  e la retta B C2 2 nel punto P1 è 2. Ma la molteplicità di intersezione tra t1 e  in A1 è 3, quindi l1 1 (secondo la notazione già usata 13); ne consegue che l’intersezione tra  e t1

(la retta passante per A2 e P1 ) in P1 è semplice. Quindi P1 non è un punto singolare per , ma un punto semplice e la tangente a  in tale punto è proprio

2 2

B C .

Inoltre B C2 2 è la retta trasformata della conica degenere della rete omaloidica fondamentale A C1 1A B1 1, che quindi è osculatrice a  in A1 (per quanto spiegato 13). Quindi un punto nell’intorno di secondo ordine di A1 appartenente a  appartiene anche a A C1 1A B1 1. Ne consegue che il suo punto immagine appartiene contemporaneamente a  e B C2 2, cioè è un punto nell’intorno di primo ordine di P1 dove  e B C2 2 si toccano.

Esempio ii Consideriamo la curva : x z y²  ³ 0 e la trasformazione

quadratica ^{1 2}

2

x x z x y

: y y y z

z x y z



   

 

   

   

     



.

La sua inversa è ²

2

x xz xy

: y y yz

z x yz

  

 

   

   



e i punti fondamentali di  e ^{1 sono}

1 2

A A (0 : 0 :1), B₁ B₂ (1:1:1) e C₁ C₂  ( 1:1:1).

Figura II-vi: curva  nel piano 

, trasformata di  attraverso la , ha equazione x² y² y z 0.

Figura II-vii: curva  nel piano 

Per trovare la tangente principale a  in A₁ mettiamo a sistema le equazioni parametriche del fascio (A )₁ con l’equazione di  disomogeneizzata:

2 3

x y 0

x t

y t

  

  

  



 ^{2 2}t  ^{3 3}t 0 in cui va annullato il coefficiente del termine di

grado minimo rispetto alla t  la tangente principale è una sola di molteplicità doppia ed è t : x 0₁  . Inoltre, poiché la molteplicità di intersezione tra  e t₁ in

A1 è 3, A₁ è una cuspide di prima specie.

La retta trasformata di t₁ è t : x₁  0 che incontra la retta B C : y_{2 2}  z 0 nel punto P₁ (0 :1:1).

Per quanto detto prima,  ha un punto semplice in P1 in cui la retta tangente è

2 2

B C . Quindi la conica osculatrice a  in A₁ è la conica trasformata attraverso

1

 ^di B C2 2, cioè la conica degenere della rete omaloidica fondamentale

1 1 1 1

A B A C .

Un intorno del punto A1 viene trasformato nella retta B C2 2 e i due rami della cuspide vengono “allargati” fino a saldarsi senza singolarità nel punto P1 .

Figura II-viii: illustrazione di come, attraverso la , la cuspide di prima specie in A₁ si trasforma in un punto semplice

  

I.3 Nodi e cuspidi di seconda specie

Ora analizziamo il caso in cui A1 sia per la curva  un punto doppio, nodo o cuspide di seconda specie, con tangente principale t1, nel caso in cui  e t1

abbiano molteplicità di intersezione 4 in A1. Se  e t1 hanno molteplicità di intersezione 4 in A1, allora t1 e  hanno un molteplicità di intersezione 2 in P1

(secondo le notazioni usate 13). Inoltre la tangente principale t1 ha molteplicità doppia, quindi, per ciò detto 11, la retta B C2 2 ha molteplicità di intersezione 2 con  in P1 .

Quindi P1 è un punto doppio per  perché esistono due rette distinte, B C2 2 e t1, passanti per P1 e aventi molteplicità d’intersezione 2 con . Dal tipo e dalla specie del punto doppio A1 per  dipenderà il tipo e la specie del punto doppio

P1 per .

Analizziamo separatamente i due casi:

NODODISECONDASPECIE (TACNODO)

Se A1 è un tacnodo per la  esistono due differenti coniche, della rete omaloidica fondamentale, osculatrici in tale punto per . Le trasformate attraverso la ^ di queste due coniche sono due rette distinte e sono le due tangenti principali a  nel punto P1 . Quindi questo risulta essere un nodo ordinario per .

Questo significa che, grazie ad un’opportuna trasformazione quadratica, un nodo di seconda specie è stato trasformato in un nodo di prima specie, che a sua volta, secondo quanto detto in precedenza, può essere sciolto tramite un’altra opportuna trasformazione quadratica.

Esempio iii Consideriamo la curva : x z^{2 2} y⁴ x⁴ 0 e la trasformazione

quadratica ^{1 2}

2

x x z x y

: y y y z

z x y z



   

 

   

   

     



.

La sua inversa è ²

2

x xz xy

: y y yz

z x yz

  

 

   

   



e i punti fondamentali di  _e ^{1 sono}

1 2

A A (0 : 0 :1), B1 B2 (1:1:1) e C1 C2  ( 1:1:1).

Figura II-ix: curva  nel piano 

, trasformata di  attraverso la , ha equazione:

6 4 2 4 2 2 2 2 6 5 4 2

x x y  x z  x y z   y 2y z y z  0

Figura II-x: curva  nel piano 

Per trovare la tangente principale a  in A₁ mettiamo a sistema le equazioni parametriche del fascio (A )₁ con l’equazione di  disomogeneizzata:

2 4 4

x y x 0

x t

y t

   

  

  



 ^{2 2}t  ^{4 4}t  ^{4 4}t 0 in cui va annullato il coefficiente

del termine di grado minimo rispetto alla t  la tangente principale è una sola di molteplicità doppia ed è t : x 01  . Inoltre si vede anche che la molteplicità di intersezione tra  e t₁ in A₁ è 4.

La retta trasformata di t₁ attraverso  è t : x₁  0, quindi P₁ (0 :1:1).

Determiniamo le coniche, della rete omaloidica fondamentale, osculatrici a  in A1 col metodo del risultante (come fatto 18). A meno di proporzionalità si

ottengono due soluzioni distinte, ossia le terne   _1,2 1,  _1,2 1 e   _1,2 1, perciò il punto P₁ è un tacnodo per .

Le rette trasformate delle due coniche osculatrici sono k : y x z 01,2    _{, che} quindi sono le due tangenti principali a  in P1 .

Figura II-xi: illustrazione di come, attraverso la , il tacnodo in A₁ si trasforma in un nodo ordinario

CUSPIDEDISECONDASPECIE (ROSTRO)

Se A1 è un rostro per  esiste un’unica conica, della rete omaloidica fondamentale, osculatrice per  in 1. La trasformata attraverso la ^ di questa conica è una retta ed è la tangente principale a  nel punto P1 .

Inoltre la conica della rete omaloidica fondamentale osculatrice a  in A1 ha, in tale punto, molteplicità di intersezione 5 con ; quindi la sua retta trasformata ha molteplicità di intersezione 3 con  in P1 . Quindi questo risulta essere una cuspide di prima specie per .

Questo significa che, grazie ad un’opportuna trasformazione quadratica, una cuspide di seconda specie è stata trasformata in una cuspide di prima specie, che a sua volta, secondo quanto detto in precedenza, può essere sciolta tramite un’ulteriore opportuna trasformazione quadratica.



 

Esempio iv Consideriamo la curva : y⁵ y z 2y xz⁴  ^{2 2} x z^{2 3} 0 e la

trasformazione quadratica ^{1 2}

2

x x z x y

: y y y z

z x y z



   

 

   

   

     



.

La sua inversa è ²

2

x xz xy

: y y yz

z x yz

  

 

   

   



e i punti fondamentali di  _e ^{1 sono}

1 2

A A (0 : 0 :1), B1 B2 (1:1:1) e C1 C2  ( 1:1:1).

Figura II-xii: curva  nel piano 

, trasformata di  attraverso la , ha equazione:

8 6 5 3 5 2 4 2 2 3 4 3 3 2 2 6

2 5 2 4 2 2 3 3 5 2 4 3 8 7 6 2

x 3x y z 2x y 2x y z 3x y z 4x y z 4x y z x y

2x y z x y z x y z 2x y z 2x y z y 2y z y z 0

                        

                   

        

Figura II-xiii: curva  nel piano 

Per trovare la tangente principale a  in A₁ mettiamo a sistema le equazioni parametriche del fascio (A )₁ con l’equazione di  disomogeneizzata:

5 4 2 2

y y 2y x x 0

x t

y t

    

  

  



 ^{5 5}t  ^{4 4}t     2 ² t^{3 2 2}t 0 in cui va

annullato il coefficiente del termine di grado minimo rispetto alla t  la tangente principale è una sola di molteplicità doppia ed è t : x 0₁  . Inoltre si vede anche che la molteplicità di intersezione tra  e t₁ in A₁ è 4.

La retta trasformata di t1 attraverso  _è t : x₁  0, quindi P1 (0 :1:1).

Determiniamo le coniche, della rete omaloidica fondamentale, osculatrici a  in A1 col metodo del risultante (come fatto 18). Si ottiene come sola soluzione, a meno di proporzionalità, la terna   1,  1 e   1.

Quindi esiste una sola conica della rete omaloidica fondamentale osculatrice a  in A1 ed è K : y² x² xy xz 0  e la molteplicità di intersezione tra  e K in A1 risulta essere 5, quindi in A₁ la curva  presenta un rostro.

La retta trasformata della conica osculatrice è k : y x z 0   , che quindi è la tangente principale a  in P1 .

Figura II-xiv: illustrazione di come, attraverso la , il rostro in A₁ si trasforma in una cuspide di prima specie

I.4 Generalizzazione a tutti i punti singolari

Consideriamo ora il caso dei punti di molteplicità superiore: supponiamo che  abbia un punto ^r-plo in P e m tangenti principali distinte ti in tale punto, con

i 1...m e con m r . Inoltre chiamiamo ri la molteplicità della tangente ti, sapendo che

m i i 1

r r





 ^.

 



Consideriamo una trasformazione quadratica ^ avente un punto fondamentale A1 P e tale che gli altri due punti fondamentali non appartengano a nessuna delle ti.

 viene trasformata tramite ^ in una curva  passante per i punti Pi immagini dei punti dell’intorno di primo ordine di P appartenenti alle rette ti. Inoltre tutti i punti Pi appartengono alla retta B C2 2 che in ogni Pi ha un incontro di molteplicità ri con . Quindi, detta si la molteplicità di ogni Pi per , si non può essere maggiore della molteplicità di intersezione di  con una particolare retta e quindi anche con B C2 2, cioè si ri con i 1...m .

Ripetiamo lo stesso ragionamento scegliendo per ogni Pi un’ulteriore opportuna trasformazione quadratica i (cioè con un punto fondamentale in Pi e gli altri due non appartenenti alle tangenti principali a  in Pi ). Chiamiamo B C3 3 la retta trasformata attraverso i di Pi . La curva , immagine attraverso i di

, interseca la retta B C3 3 nei punti Pij , con j 1...m i, immagini dei punti dell’intorno di primo ordine di Pi che appartengono alle tangenti principali a  in Pi , dette tij. Ma il punto Pi ha molteplicità si per , quindi le tij non possono essere più di si, cioè mi si.

Inoltre, detta sij la molteplicità di ognuna delle tij, e quindi anche di ogni Pij ,

mi

ij i

j 1

s s





 ^.

Lo stesso ragionamento si può ripetere per ogni Pij ecc.

I.5 Scioglimento di un punto singolare

Lo scopo di tutto questo procedimento è di trasformare un qualsiasi punto singolare di una qualsiasi curva in un punto semplice, tramite un’opportuna successione di trasformazioni quadratiche. Per essere sicuri di raggiungere

sempre questo obiettivo dobbiamo dimostrare che il procedimento prima illustrato ha sempre termine.

Per farlo, analizziamo innanzi tutto come un punto di intersezione tra due curve viene trasformato attraverso una trasformazione quadratica avente tale punto come punto fondamentale.

Date due curve  e  passanti per un punto P, di molteplicità r per  e di molteplicità s per , esse hanno un incontro di molteplicità almeno ^rs in tale punto.

La molteplicità di intersezione è esattamente ^rs solo se le due curve non hanno tangenti principali comuni in tale punto.

Consideriamo una trasformazione quadratica ^ avente un punto fondamentale in P e gli altri due fuori dalle tangenti principali a  e a  in P. Supponiamo che

 e  abbiano una tangente principale comune ti di molteplicità ri per  e di molteplicità si per . Allora le loro trasformate attraverso la ^,  e , avranno almeno r si i intersezioni comuni in Pi .

Ma Pi è immagine del punto Pi appartenente all’intorno del primo ordine di P su ti. Siccome  e  hanno molteplicità di intersezione almeno r si i in Pi , allora anche  e  hanno molteplicità d’intersezione almeno r si i in Pi. Ma queste intersezioni in Pi, siccome Pi appartiene all’intorno di primo ordine di P, vengono in realtà assorbite in P.

La stessa cosa accade per ognuno dei Pi : si trasformano  e  attraverso un’ulteriore opportuna trasformazione quadratica, avente un punto fondamentale in Pi e gli altri due non appartenenti ad alcuna tangente principale a  e  in Pi . Con un ragionamento analogo al precedente si ottiene che nell’intorno di primo ordine di Pi si trovano Pij punti appartenenti alle tij tangenti principali a

 e  in Pi , in cui  e  hanno molteplicità di intersezione almeno r sij ij. Siccome i punti Pij appartengono all’intorno di primo ordine di Pi , allora le r sij ij

intersezioni tra  e  in ognuno di questi vengono assorbite in Pi . Quindi, tornando a  e , tutte queste intersezioni sono dovute ai punti dell’intorno di secondo ordine di P e quindi vengono assorbite in P.

Continuando questo ragionamento si ottiene che la molteplicità di intersezione tra  e  in P è esattamente:

^{i i ij ij ijk ijk}

i i, j i, j,k

rs



r s 



r s 



r s ...

dove l’n-esima somma rappresenta la molteplicità di intersezione dovuta all’intorno di n-esimo ordine del punto P.

Geometricamente il primo termine di questa somma rappresenta la molteplicità di intersezione dovuta alla semplice intersezione delle curve, il secondo termine quella dovuta alle tangenti principali comuni, il terzo quella dovuta alle coniche osculatrici comuni, il quarto quella dovuta alle cubiche osculatrici comuni ecc.

Ora sfruttiamo questo risultato per dimostrare che il processo di “scioglimento”

dei punti singolari attraverso trasformazioni quadratiche successive ha sempre termine.

Proposizione iii La polare prima di un punto generico rispetto a una curva  passa per tutti i punti multipli di , compresi quelli infinitamente vicini tra loro, con molteplicità ridotta di uno rispetto a quella di .

Dim.: Consideriamo una curva generica  in un piano ^ e un punto generico M di ^, M . Chiamiamo ^ la curva polare di M rispetto alla . Come detto 5, la ^ passa con molteplicità r 1 per ogni punto singolare di molteplicità r per la .

Consideriamo un punto P di molteplicità r, che possiamo supporre senza restrizioni coincidente con il punto A1 (1: 0 : 0). Quindi l’equazione di

 ha la forma:

n r n r 1

r r 1 n

: x ^ (y : z) x ^{ } _ (y : z) ... (y : z) 0

       

Inoltre consideriamo, senza restrizioni, MB1 (0 :1: 0) e C1 (0 : 0 :1)

. Costruiamo una trasformazione quadratica ^ di equazioni

x yz

y xz

z xy

  

  

  



avente punti fondamentali A1, B1 e C1, che sono coincidenti con i punti