• Non ci sono risultati.

Corso di Laurea in Ingegneria Informatica Anno Accademico 2013/2014

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Condividi "Corso di Laurea in Ingegneria Informatica Anno Accademico 2013/2014"

Copied!
3
0
0

Testo completo

(1)

Corso di Laurea in Ingegneria Informatica Anno Accademico 2013/2014

Calcolo delle Probabilit` a e Statistica Matematica

Nome ...

N. Matricola ... Ancona, 9 settembre 2014

1. (i) Siano A e B due eventi. Calcolare P (A) sapendo che P (A ∩ B) = 1

4 P (A|B c ) = 1

8 P (B) = 1

2

Soluzione. Abbiamo

P (A) = P (S ∩ A) = P (B ∩ A) + P (B c ∩ A) = 1

4 + P (A|B c ) P (B c ) = 1 4 + 1

8 1 2 = 5

16

2. Il tempo di vita di un certo componente elettronico segue una distribuzione esponenziale con una media di 5 anni. Sapendo che un dato componente ha gi` a un anno, qual’` e la probabilit` a che si guasti durante il quanto anno di funzionamento?

Soluzione. Sia X la v.a. che rappresenta il tempo di vita in anni. Si ha X ∼ λ e −λt , λ = 1

5

dove t ` e espresso in anni. La probabilit` a richiesta ` e P ({4 < X < 5}|X > 1). Abbiamo P ({4 < X < 5}|X > 1) = P ({4 < X < 5} ∩ {X > 1})

P ({X > 1}) = P ({4 < X < 5}) P ({X > 1}) Inoltre:

P ({4 < X < 5}) = Z 5

4

λ e −λt = h

−e −λt i 5

4 = e −4 λ − e −5 λ P ({X > 1}) =

Z ∞ 1

λ e −λt = h

−e −λt i ∞ 1 = e −λ Sostituendo otteniamo

P ({4 < X < 5}|X > 1) = e −4 λ − e −5 λ

e −λ = e −3 λ − e −4 λ = e −3/5 − e −4/5 ≈ 0.1

(2)

3. La densit` a congiunta di due variabili continue X ed Y ` e data da f X,Y (x, y) =

 3/4 se − 1 ≤ x ≤ 1, x 2 ≤ y ≤ 1

0 altrimenti

Calcolare le densit` a marginali f X (x) ed f Y (y), il coefficiente di correlazione ρ X,Y e dire se le due variabili sono indipendenti, giustificando la risposta.

Soluzione. Indichiamo con R la regione −1 ≤ x ≤ 1, x 2 ≤ y ≤ 1. Abbiamo:

f X (x) = Z 1

x

2

f X,Y (x, y) dy = Z 1

x

2

dy 3 4 = 3

4 (1 − x 2 ), −1 ≤ x ≤ 1 0 altrimenti

f Y (y) = Z y

− √ y

f X,Y (x, y) dx = 3 4 2 √

y = 3 2

√ y, 0 ≤ y ≤ 1 0 altrimenti

Il coefficiente di correlazione ` e definito da

ρ = Cov(X, Y ) pV ar(X) V ar(Y )

per il cui calcolo abbiamo bisogno delle due varianze e della covarianza. Iniziamo dai valori medi E[X] =

Z 1

−1

dx x 3

4 (1 − x 2 ) = 3 4

Z 1

−1

dx x (1 − x 2 ) = 0 E[Y ] =

Z 1 0

dy y 3 2

√ y = 3 5

h y 5/2 i 1

0 = 3 5 E[X 2 ] =

Z 1

−1

dx x 2 3

4 (1 − x 2 ) = 3 4

Z 1

−1

dx x 2 (1 − x 2 ) = 3 4

 x 3 3 − x 5

5

 1

−1

=

= 3 4 2  1

3 − 1 5



= 1 2 − 3

10 = 1 5 E[Y 2 ] =

Z 1 0

dy y 2 3 2

√ y = 3 7

h y 7/2 i 1

0 = 3 7 E[X Y ] =

Z 1

−1

dx Z 1

x

2

dy x y 3 4 = 0 V ar[X] = E[X 2 ] − E[X] 2 = 1

5 V ar[Y ] = E[Y 2 ] − E[Y ] 2 = 3

7 − 9 25 = 12

175 Cov(X, Y ) = E[X Y ] − E[X] E[Y ] = 0

Le variabili sono scorrelate, ma non indipendenti, come ` e facile vedere dal fatto che f X,Y (x, y) 6=

f X (x) f Y (y).

(3)

4. Si considerino 1000 lampadine, il cui tempo di vita segue una distribuzione esponenziale con una media di 5 giorni. Usando l’approssimazione normale, calcolare la probabilit` a che il tempo di vita totale delle lampadine superi 5200 giorni.

Soluzione. Indichiamo: n = 1000, µ = 5, λ = 1/µ = 1/5 (perch` e la legge ` e esponenziale) e V ar(X i ) = σ 2 = 1/λ 2 = 25, quindi σ = 5. Sia X i , i = 1, ..., n il tempo di vita della i-esima lampadina. La probabilit` a richiesta ` e P (X 1 + x 2 + ... + X n > 5200). Standardizzando si ha

P  X 1 + x 2 + ... + X n − n µ σ √

n > 5200 − n µ σ √

n



= P



Z n > 200 5 ∗ √

1000



= P (Z n > 1.26) = 1 − P (Z n < 1.26) = 1 − Φ(1.265) = 1 − 0.89617 = 0.10383

Riferimenti

Documenti correlati

Corso di Laurea in Ingegneria Edile Anno Accademico 2013/2014..

Determinare a in modo che f (x) sia continua in tutto il suo dominio e, usando tale valore per a, studiare la

Tra gli automobilisti a basso rischio, il 20 % ha avuto pi` u di un incidente nell’arco di un anno, mentre tra quelli ad alto rischio tale soglia ` e superata dal 70 % degli

(10 punti) Il numero di pazienti che visita uno studio medico segue una legge di Poisson di diverso parametro λ nei diversi giorni della settimana, dal luned`ı al venerd`ı.. Si

Le spese mensili per il cibo si possone considerare distribuite secondo una legge normale di me- dia 800 euro e deviazione standard 100 euro; le spese mensili rimanenti sono

• Un sistema `e costituito da 4 componenti, ciascuno delle quali pu` o essere funzio- nante con probabilit‘a 0.9, o difettosa.. Descrivere lo spazio campione del siste- ma,

Il disbrigo delle pratiche aeroportuali (check-in, controllo passaporti, etc.) a sua volta gli fa perdere un ulteriore intervallo di tempo, distribuito uniformemente tra 15 e 30

Inoltre, supponiamo che per la nascita di un terzo figlio, la probabilit` a che sia maschio sia 11/20 se i primi due sono maschi, 2/5 se sono femmine e 1/2 negli altri casi..