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Esempi di applicazione del principio di induzione

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Academic year: 2021

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Esempi di applicazione del principio di induzione

1. 2

) 1 ) (

1 ...(

4 3 2

1        n n

n

n serie di Gauss

2.

2

1 3 3

3 3 3

2 ) 1 ... (

3 2

1  

  

 

n i n

n n

i

3. 6

) 1 2 )(

1 ... (

3 2 1

1 2 2

2 2

2         

n n

i n

n n

i

4. ( 1  k ) n  1  nk Bernoulli

5. 

  

 

 

n

i n

n i

i n

n 1 ( 1 ) 1

1 )

1 ( ... 1 3

* 2

1 2

* 1

1

6. 2 2 2 ... 2 2 2 ( 2 1 )

1 3

2      

 

n n i

i

n S.geometrica

7. ( 1 )

... 1

1 3

2 

 

 

n n i

i

n b

b b b b

b b

b S.geometrica

8. 3 2 n  2 n è multiplo di 7

9. 2 4 6 ... 2 2 ( 1 )

1

 

n n i n n

i

10. 2

n 1 i

1) - (2i 1)

- (2n 5

3

1          n

11. 1 5 9 ... ( 4 3 ) ( 4 3 ) ( 2 1 )

1

 

n n i

n n

i

12. n

n

i i

n 2

2 1 2

1 2

... 1 4 1 2 1 1

0

 

S.geometrica

13. 3

) 1 4 ) (

1 2 ( )

1 2 ( ...

3 1

2 1

2 2

2

2         

n i n

n n

i

14. ( 3 5 2 )

2 ) 1 1 3 ( ) 1 3 ( ...

7 4

1 2

0

 

n n i

n n

i

15. 4 2

1

3

3 ( 2 1 ) 2

) 1 2 ( ...

125 27

1 n n i n n

i

 

16. n i n

n i

1 1 1 1 1 1

...

4 1 1 3 1 1 2 1 1

1

 

 

 

 

 

  

 

 

  

 

 

  

 

 

   

17.     ( 1 )( 2 )( 3 5 )

12 1 1

) 1 ( ...

5

* 4 4

* 3 3

* 2 2

* 1

1 2 2 2

2 2

2             

n n

n n i

i n

n n

i

18. 2 nn 19. 2 nn 2

20. n 3  5 n è divisibile per 6 21. 3 2 n 1  2 n 2 è divisibile per 7 22. 3 * 5 2 n 1  2 3 n 2 è divisibile per 17 23. 8 n  6 è divisibile per 14 24. 10 n  1 è divisibile per 9 25. 4 n  1 è divisibile per 3

Pag:1

(2)

26. n 3n è divisibile per 3 27. n 5n è divisibile per 5 28. n 7n è divisibile per 7 29. n kn è divisibile per k

30. 2

) 1 ) (

1 ( )

1 ( )

1 ...(

5 4 3 2

1 2 1

1

1 2

1 2

2 2

2 

nn i n n n

i

i n

31. ( 3 2 )( 3 1 ) 3 1

1

1  

 

n

n i

i

n

i

32. 2 ( 2 1 )

) 1 ( ) 1 2 )(

1 2

1 (

2

 

 

n

n n i

i i

n i

33. media aritmetica di n numeri positivi > della loro media geometrica 34. D ( x n )  n x n 1

35.

n n i

i n

a A a

a A a

se

0 1

allora 0

1  1

 

36. Sia n un numero naturale. Dimostrare che

n n

n n

n

n 2

... 1 3 1 2 1 1 1 2

1 1 2 ... 1 4 1 3 1 2

1 1  

 

 

 

 

37.

sin 2 2

) 1 sin ( sin 2 ) sin(

...

) 2 sin(

)

sin( x

x n nx nx

x x

 38. Dimostrare che

 

 

2

1

1

1 2

2 2 2

2 ) 1 2 sin ( 4 2

sin 2 1

sin 2 1 sin

4

n

k

n n

k

x x x

39. Dimostrare il teorema binomiale : 

  

 

 

n k

n k

n

k y x y

k x n

0

) ( 40. Dimostrate la somma binomiali:  

 

 

 

 

 

 1

1 n m n k

m n k

41. Sia nN dimostrare che il polinomio x n 2  ( 1  x ) 2 n 1 è divisibile per x 2  x  1 42. Per m  2 , dimostrare che

m m

m

 

 

 2

! 1 43. Dimostrare la seguente disuguaglianza:

1 1

1 2 ...

3 1 2

1  1     n  

n

44.  

 

  

 

 3

2 2 ) 1 (

1

k n

n k

k

45. 2 ( 2 1 )

) 1 ( ) 1 2 )(

1 2

1 (

2

 

 

n

n n k

k k

n k

Pag:2

(3)

46. 2 ( 2 1 )( 2 3 ) ) 1 ( )

3 2 )(

1 2 )(

1 2 ... ( 7

* 5

* 3

2 5

* 3

* 1

1

 

 

n n

n n n

n n

n

Controesempi:

1. n 2  n  41 è primo ( per n<40 è vera ma non per n=40)

2. ogni numero dispari maggiore di 1 si può sempre scomporre nella somma di una potenza di 2 e di un numero primo, cioè 2 n  1  2

k

p , k N , p primo ( fino a 125 funziona ma 127 no!)

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