Esame di Matematica Generale

Esame di Matematica Generale

Docente: S. Federico (matricole 50-74) 14 Gennaio 2019 (Fila B)

Nome: Cognome: Matricola:

Descrizione della prova

• La seguente prova scritta `e costituita da 5 quesiti a risposta multipla e da 2 quesiti a risposta aperta.

• Nei quesiti a risposta multipla:

– una ed una sola risposta `e corretta;

– la risposta non data assegna 0 punti;

– la risposta errata assegna −1 punti;

– il punteggio assegnato alla risposta corretta `e specificato all’inizio di ogni quesito.

• Il massimo punteggio ottenibile nei quesiti a risposta multipla (tutte le risposte corrette) `e di 16 punti; il minimo punteggio ottenibile nei quesiti a risposta multipla (tutte le risposte errate) `e di −8 punti.

• Il massimo punteggio ottenibile nei quesiti a risposta aperta `e di 16 punti.

• Lo svolgimento dei quesiti a risposta aperta deve essere chiaro e ordinato.

• Nello svolgimento dei quesiti a risposta aperta lo studente pu`o evitare di riportare i calcoli completi nella stesura della bella copia. I calcoli completi devono per`o essere contenuti nella brutta copia che va consegnata assieme alla bella copia.

Quesiti a risposta multipla

1. (3 punti) Sia {an}n∈Nla successione definita da an=e^{sin n}

n² . Si dica quale dei seguenti risultati `e corretto.

limn→∞an= +∞.

limn→∞an= 0 Non esiste limn→∞an

Nessuno dei precedenti risultati `e corretto

2. (1 punto) Si stabilisca quale delle seguenti proposizioni `e corretta.

Sia m 6= n. Se A ∈ R^n×k e B ∈ R^k×m, allora AB ∈ R^n×m Sia m 6= n. Se A ∈ R^n×k e B ∈ R^k×m, allora AB ∈ R^m×n

3. (3 punti) Sia f (x) = 3x³e^{sin x}+ log(log x). Si dica quale dei seguenti risultati `e corretto.

f⁰(x) = 3x²e^{sin x}(3 + x) + 1 log x f⁰(x) = 3x²e^{sin x}(3 + cos x) + 1

x log x f⁰(x) = 9x²e^{sin x}cos x + log1

x

Nessuno dei precedenti risultati `e corretto.

4. (1 punto) Si stabilisca quale delle seguenti affermazioni `e corretta.

Se f : R → R `e continua su R, allora `e anche derivabile su R Se f : R → R `e derivabile su R, allora `e anche continua su R

5. Si consideri la funzione reale y = f (x) il cui grafico `e riportato in basso. Si supponga che essa sia di classe C² negli intervalli in cui essa “appare liscia” e sia Df il suo dominio.

-1

3

2

x y

(i) (3 punti) Si stabilisca quale delle seguenti affermazioni `e errata.

sup_{(−∞,−1)}f = 2.

f ([0, 3)) = (−∞, 0].

f ((−∞, 0]\{−1}) ⊆ [0, 2).

f ((−∞, 0]\{−1}) ⊇ [0, 2].

(ii) (1 punto) `E vero che x = −1 `e un punto di massimo per f ? Si

No

(iii) (3 punti) Si stabilisca quale delle seguenti affermazioni `e corretta.

f `e monotona sul suo dominio f `e convessa in (−1, 3) f `e concava in (−1, 3)

Nessuna delle precedenti affermazioni `e corretta

(iv) (1 punto) Sia Df il dominio di f . E vero che esiste una successione {a` n}n∈N ⊆ Df tale che f (an) → 2?

Si No Quesiti a risposta aperta

1. Si consideri la funzione reale f (x) = log x⁵ x² .

(i) (6 punti) Si tracci al meglio il grafico di f considerata sul suo dominio naturale tralasciando lo studio della derivata seconda.

(ii) (2 punti) Si determini il massimo di f (se esiste) sul suo dominio.

(iii) (2 punti) Si determini l’immagine di f . (iv) (2 punti) Si determini il segno diR2

1 f (x)dx motivando la risposta.

2. (4 punti) Si considerino, per a, b ∈ R,

A =

 1 a 0

a 1 b

 , x =



 1 a 1



.

Si stabilisca per quali valori di a, b ∈ R (se ne esistono) risulta Ax =

 1 0

 .

Soluzioni

Quesiti a risposta multipla 1. limn→∞an= 0.

2. Sia m 6= n. Se A ∈ R^n×k e B ∈ R^k×m, allora AB ∈ R^n×m 3. Nessuno dei precedenti risultati `e corretto.

4. Se f : R → R `e derivabile su R, allora `e anche continua su R 5. (i) f ((−∞, 0]\{−1}) ⊇ [0, 2]

(ii) No

(iii) Nessuna delle precedenti affermazioni `e corretta (iv) Si

Quesiti a risposta aperta

1. (i) (a) Si ha Df = (0, +∞). Su tale dominio risulta inoltre

f (x) = log x⁵

x² = 5log x x² .

(b) f non `e n´e pari n´e dispari (il suo dominio non `e simmetrico, quindi non ha senso chiederselo).

(c) Il segno di f `e il seguente:

Valori di x x ∈ (0, 1) x = 1 x ∈ (1, +∞)

Segno di f (x) − 0 +

(d) Calcoliamo i limiti ai bordi del dominio. Si ha lim

x→0⁺

f (x) = −∞

0⁺ = −∞, lim

x→+∞f (x) = 0 (per la gerarchia degli infiniti).

(e) Si ha

f⁰(x) = 5

1

xx²− 2x log x

x⁴ = 5x (1 − 2 log x)

x⁴ = 51 − 2 log x x³ . Ne deduciamo il segno di f⁰:

Valori di x x ∈ 0,√ e

x =√

e x ∈ √ e, +∞

Segno di f⁰(x) + 0 +

Ne deduciamo che f `e strettamente crescente in (0,√

e), strettamente decrescente in (√

e, +∞) e ha un massimo globale in corrispondenza di x =√ e.

Il grafico approssimativo `e il seguente.

1 √ e

3

2e x

f (x)

(ii) Il massimo globale `e ottenuto in corrispondenza del punto x = √

e ed il suo valore `e f (√

e) = 5 2e.

(iii) L’immagine di f `e l’insieme −∞,_2e⁵.

(iv) Z 2

1

f (x)dx > 0.

2. Si ha

Ax =

 1 + a² a + a + b



=

 1 + a² 2a + b

 .

L’equazione a²+1 = 1 ha unica soluzione a = 0; sostituendo tale valore nell’equazione 2a+b = 0 si ottiene il valore b = 0.