CORSO DI LAUREA IN SCIENZE BIOLOGICHE
Prova scritta di FISICA, 10 Giugno 2005
1) Un cubo di lato L = 20 cm viene immerso in acqua. Il cubo galleggia con i 2/3 del suo volume immerso.
Si determinino:
a) la densità ρC del materiale di cui è costituito il corpo;
b) l’intensità Fapp della forza che deve essere applicata dall’esterno per mantenere il corpo completamente immerso in acqua.
2) Un proiettile di m=20 g viene sparato con velocità v0 contro un blocco di legno di massa M=1.2 kg nel quale si ferma. Dopo l’urto il sistema proiettile-blocco si muove con velocità v1=1.2 m/s ed incontra una molla la cui costante elastica vale k = 150 N/m. Calcolare:
a) la velocità v0 del proiettile prima dell'urto e l’energia dissipata durante l'urto;
b) la compressione massima della molla.
3) Un gas perfetto monoatomico costituito da n=2 moli compie la seguente trasformazione ciclica:
A→ B: espansione isobara a pressione pA= 3 atm da VA= 1 litro a VB=2 litri;
B→ C: trasformazione isocora da pB a pC= 1 atm;
C→ D: compressione isoterma da VC a VD = 1 litro;
D→ A: trasformazione isocora da pD a pA = 3 atm.
Si svolgano i seguenti punti:
a) si disegni nel piano pV la trasformazione ciclica, si determinino per gli stati A, B, C e D le variabili termodinamiche (P,V,T) e si calcoli il lavoro W svolto dal gas;
b) si determino per i quattro rami della trasformazione e per l’intero ciclo la variazione ∆Eint di energia interna ed il calore Q scambiato.
[Nota: R= 8.31 J/Kmole =0.082 l atmo /Kmole]
4) Due piani infinitamente estesi sono posti a distanza d = 20 cm. I piani sono elettricamente carichi con carica opposta e densità di carica superficiale uniforme, pari, in valore assoluto, a σ = 20 nC/m2. Una pallina di massa trascurabile e carica positiva q = +1 nC è mantenuta in equilibrio tra i due piani mediante un filo isolante di lunghezza L = 10cm, vincolato al piano carico positivamente, come mostrato in figura.
Si svolgano i seguenti punti (trascurando la forza peso):
a) si determinino il campo elettrico E fra i due piani e la tensione T del filo, specificando per entrambi il modulo, la direzione ed il verso;
b) Si supponga di tagliare il filo: calcolare il lavoro fatto dalla forza elettrostatica per portare la pallina dal punto di equilibrio precedente sino alla lamina di carica negativa.
[Nota: ε0 = 8.85 10-12 C2/Nm2]
SCRIVERE IN MODO CHIARO
GIUSTIFICARE BREVEMENTE I PROCEDIMENTI SOSTITUIRE I VALORI NUMERICI SOLO ALLA FINE
RIPORTARE SEMPRE LE UNITA` DI MISURA
SOLUZIONE ESERCIZIO 1
a) Perché il corpo galleggi sull’acqua si deve avere equilibrio fra la forza peso Fg e la spinta di Archimede FA
Proiettando l’equazione vettoriale precedente su un asse y di riferimento, verticale ed orientato dal basso verso l’alto, si ottiene
Mentre la forza peso agisce su tutta la massa m del corpo, la spinta di Archimede agisce solo sulla massa mf di fluido spostato
da cui si ricava
b) Perché il corpo rimanga sommerso completamente in acqua è necessario applicare una forza Fapp diretta verticalmente verso il basso tale che
da cui si ricava
In questo caso la massa di fluido spostato corrisponde al volume occupato dall’intero corpo, ora completamente immerso:
=0 + A
g F
Fr r
g V g
V g
V g m mg
O H f
O H C
f
3 2
2
2 ρ
ρ
ρ = =
=
3 3
3 667
310 2 3
2
2 m
kg m
kg
O H
C = ρ ≈ =
ρ
0 0
= +
−
−
= + +
A g app
A g app
F F F
F F Fr r r
=0 +
−Fg FA
g m m mg g m F F
Fapp = A − g = f − =( f − )
s N m m
m kg
g L g
L
Vg g
V V g
m m F
O H O
H O
H
C O H C
O H f
app
26 8
. 9 ) 2 . 0 ( 3 10
1
3 ) 1
3 ( 2
) (
) (
) (
2 3
3 3
3 3
2 2
2
2 2
≈
×
×
×
≈
=
−
=
−
=
−
=
−
=
ρ ρ
ρ
ρ ρ
ρ ρ
SOLUZIONE ESERCIZIO 2 a) La conservazione della quantità di moto durante l’urto impone
m v0 = (M+m) v1 da cui v0 = 73.2 m/s.
L’energia dissipata durante l’urto è la differenza tra le energie cinetiche iniziale e finale ovvero Ed = ½ m v02
– ½ (M+m) v12
= 52.7 J.
b) La compressione massima della molla si ha quando l’energia cinetica residua del sistema blocco+proiettile si trasforma tutta in energia potenziale elastica, ovvero quando
½ (M+m) v12 = ½ k ∆x2 da cui ∆x=0.1 m.
SOLUZIONE ESERCIZIO 3
a) La trasformazione compiuta dal gas è il ciclo rappresentato in figura.
Per ogni stato le variabili termodinamiche (p,V,T) si possono determinare utilizzando l’equazione di stato dei gas perfetti:
stato A:
Kmole K J
m m
N nR
V T p
m litro
V atm
pA A A A A 18
/ 31 . 8 2
10 /
10 , 3
10 1
, 3
3 3 2 5 3
3 =
×
×
= ×
=
=
=
= − −
stato B:
Kmole K J
m m
N nR
V T p
m litri
V atm p
pB A B B B B 36
/ 31 . 8 2
10 2 / 10 , 3
10 2 2
, 3
3 3 2
5 3
3 =
×
×
×
= ×
=
×
=
=
=
= − −
stato C:
Kmole K J
m m
N nR
V T p
m litri
V V atm
pC C B C C C 12
/ 31 . 8 2
10 2 / 10 , 1
10 2 2
, 1
3 3 2
5 3
3 =
×
×
×
= ×
=
×
=
=
=
= − −
stato D:
atm m
m N
K Kmole J
V p nRT m
litro V
V K T
T
D D D
A D C
D 2 10 / 2
10
12 /
31 . 8 , 2
10 1
,
12 = = = 3 3 = = × 3 3 × ≈ × 5 2 =
=
= − −
Il lavoro svolto dal gas durante l’intero ciclo è pari all’area racchiusa dalla curva nel piano pV:
J J
J ln2
K Kmole J
m m
N
V nRT V V
V p V dV
V nRT V
p pdV V
V p W
D C D A
B A C
D D A
B A C
D A B A TOT
162 138
10 3 12
/ 31 . 8 2 10
/ 10 3
ln )
( )
( )
(
2 3
3 2
5 × − × × = × − ≈
×
=
−
−
×
=
−
−
×
=
−
−
×
=
−
∫
∫
Il lavoro è positivo, infatti il ciclo è percorso in senso orario.
b) Le quantità ∆Eint, Q e W relative a ciascun ramo del ciclo si possono calcolare applicando il primo principio della termodinamica:
, e ricordandosi che Trasformazione A→B (isobara):
Trasformazione B→C (isocora):
il gas non compie lavoro, dato che il volume rimane costante
Trasformazione C→D (isoterma):
non ho variazione di energia interna, dato che la temperatura è costante
Trasformazione D→A (isocora):
il gas non compie lavoro, dato che il volume rimane costante
Intero Ciclo:
l’energia interna non cambia dato che lo stato finale è uguale allo stato iniziale, quindi il calore totale scambiato è pari al lavoro svolto dal gas, calcolato al punto a):
Si noti che:
W Q E = −
∆ int
J W
Q E
J m
m N V
V p W
J K
Kmole J
T T nc Q
AB AB AB
A B A AB
A B p AB
448
300 10
/ 10 3 ) (
9 . 747 18
) /
31 . 28 (5 2 ) (
3 3 2 5
≈
−
=
∆
=
×
×
=
−
=
=
×
=
−
=
−
R c
e R
cV p
2 5 2
3 =
=
J Q
E W
J K
Kmole J
T T nc Q
BC BC BC
B C V BC
598 0
3 . 598 24
) /
31 . 28 (3 2 ) (
−
≈
=
∆
=
−
=
×
−
=
−
=
J K
moleK J
V nRT nRT V
V dV W nRT
Q
W Q E
C C
D C D
C C CD
CD
CD CD CD
2 . 138 2
ln 12 ) /
31 . 8 ( 2 2 ln ln
0
−
=
×
×
−
=
−
=
=
=
=
=
−
=
∆
∫
J Q
E W
J K
Kmole J
T T nc Q
DA DA DA
D A V DA
150 0
6 . 149 6
) /
31 . 28 (3 2 ) (
≈
=
∆
=
=
×
=
−
=
J W
Q
W Q E
TOT TOT
TOT TOT TOT
162 0
=
=
=
−
=
∆
J W
W W W W
J Q
Q Q Q Q
E E
E E
E
DA CD BC AB TOT
DA CD BC AB TOT
DA CD
BC AB
TOT
162 162
0
≈ + + +
=
≈ + + +
=
=
∆ +
∆ +
∆ +
∆
=
∆
SOLUZIONE ESERCIZIO 4
a) Nella regione interna alle due lamine piane infinite il campo elettrico è diretto perpendicolarmente alle due lamine piane, con verso uscente dalla lamina positiva,
ed intensità costante, ossia:
ove i indica il versore associato all’asse x, come mostrato in figura.
All’equilibrio la tensione T del file è uguale ed opposta alla forza elettrostatica
ossia
b) Il lavoro fatto dalla forza elettrostatica Fe, costante, è dato da:
C
/Nm N C
m i C
E 2 2 2.26 10 /
10 85 . 8
/ 10
20 3
12 2 9
0
×
× =
= ×
= r −−
r εσ
E q Fre r
=
i N /Nm i
C m C C
i q E q
Tr r r 2 2 r r
) 10 26 . 2 10 (
85 . 8
/ 10
10 20 12 6
2 9 9
0
−
−
− − = − ×
×
× ×
−
=
−
=
−
= ε
σ
J /Nm m
C m C C
L d q s F
L e 12 2 2 7
2 9 9
0
10 26 . 2 ) 1 . 0 2 . 0 10 (
85 . 8
/ 10 10 20
)
( − −
− − − = ×
×
× ×
=
−
=
⋅
= ε
r σ r
