CORSO DI LAUREA IN SCIENZE BIOLOGICHE Prova scritta di FISICA – 21 Giugno 2007
1) Un
corpo di massa m1= 1 kg si muove su un piano orizzontale scabro, con coefficiente di attrito dinamico µ = 0.4, partendo con velocità v0 = 10 m/s. Dopo avere percorso un tratto s = 3m urta in modo completamente anelastico un corpo di massa m2 = 10g. Dopo l'urto i due corpi proseguono il loro moto lungo una guida verticale perfettamente liscia e semi-circolare, di raggio R = 1m, come mostrato in figura. Determinare:a) l’energia cinetica e la velocità del corpo m1 alla fine del tratto s b) la velocità dei corpi dopo l'urto nei punti A, B e C,
specificando la direzione ed il verso.
c) facoltativo: descrivere cosa succede al corpo dopo avere raggiunto il punto C, e determinare il tempo di caduta e lo spazio orizzontale percorso.
2) Una lamina piana infinita uniformemente carica con densità superficiale σ = + 2 10-12 C/m2 si trova a distanza h=2m da una carica positiva Q, posta nell' origine O del sistema di assi cartesiani, come mostrato in figura.
Nel punto di coordinate A = (1m, 0) viene posta una carica q = + 10-12 C.
Determinare:
a) il campo elettrico prodotto dalla lamina nel punto ove si trovano le cariche Q e q (specificandone modulo direzione e verso) ed il valore della carica Q tale che la carica q si trovi all'equilibrio nel punto A;
b) il lavoro totale delle forze elettrostatiche per spostare la carica q dal punto A=(1m.0) al punto B=(1m,1m). Si assuma per Q il valore calcolato al punto
a).
[N.B. ε0 = 8.85 10-12 C2/Nm2]
3) Un cubetto di lato L= 10 cm , è costituito di materiale plastico, che ha densità d = 1.2 g /cm3 . All’interno del cubetto si trova una cavità sferica, concentrica , di raggio incognito.
Sapendo che il peso del cubetto è 8 N, si determini:
a) il raggio della cavità sferica;
b) la tensione di una fune, fissata sul fondo di un recipiente pieno di acqua, a cui viene legato il cubetto in modo da risultare, all’equilibrio, totalmente immerso nell’acqua.
4) Una mole di gas perfetto biatomico, che si trova inizialmente nello stato termodinamico
(PA=105 Pa, VA= 3 10-2 m3,TA), compie il ciclo termodinamico composto dalle seguenti trasformazioni:
AB: espansione isoterma fino al volume VB=2VA,
BC: decompressione isocora fino alla pressione PC = ¼ PB,
CD: compressione isobara fino al volume VD= VA,
DA: compressione isocora fino alla pressione iniziale.
Il candidato svolga i seguenti punti:
a) si disegni il ciclo sul piano p-V e si determinino le variabili P,V e T nei punti A,B,C e D;
b) si calcolino il lavoro compiuto ed il calore scambiato dal gas in ognuna delle quattro trasformazioni e si valuti il rendimento del ciclo;
c) facoltativo: si confronti il rendimento del ciclo con quello di un analogo ciclo che utilizzi gas perfetto
monoatomico e con quello di un ciclo di Carnot che lavori tra la temperatura minima e quella massima del ciclo.
SCRIVERE IN MODO CHIARO. GIUSTIFICARE BREVEMENTE I PROCEDIMENTI.
SOSTITUIRE I VALORI NUMERICI SOLO ALLA FINE. NON SCORDARE LE UNITA` DI MISURA.
Testi, soluzioni ed esiti alle pagine: www2.fisica.unimi.it/bettega/ (AD), fisbio.webhop.net (EN), www.mi.infn.it/~sleoni (OZ)
x y
O A=(1m,0)
Q q
B=(1m,1m) σ
x y
O A=(1m,0)
Q q
B=(1m,1m)
x y
O A=(1m,0)
Q q
B=(1m,1m) σ m1 m2
s
R A x
B C
m1 m2 s
R m1 m2
s
R A x
B C
SOLUZIONE ESERCIZIO 1
a) Lungo il tratto d l’unica forza che compie lavoro, a scapito della energia cinetica iniziale, è la forza di attrito:
J s m
kg m mgd
Nd d
F v m v m K
L K
att att
76 . 11 3
8 . 9 1 4 . 2 0
1 2
1
2 2
0 1 2 1 2
1 − = ⋅ =− =− =− × × × =−
=
∆
=
∆
µ
rµ
r
da cui si ottiene l’energia cinetica e la velocità alla fine del tratto d:
s m kg
J m
v K
s J kg m J
v m K v m K
f f
75 . 1 8
24 . 38 2 2
24 . 38 ) 10 ( 1 5 . 0 76 . 2 11
1 2
1
1 1
2 2
0 1 2
1 2 1
× =
=
=
=
×
× +
−
= +
∆
=
=
b) Essendo l’urto perfettamente anelastico si conserva solo la quantità di moto ed i due corpi, dopo l’urto,continuano il loro moto uniti, con velocità v:
s m s
m kg kg
v kg m m v m
v m m v m
66 . 8 75 . )8 01 . 0 1 (
1 )
(
) (
2 1
1 2 1 1 1
+ = + =
=
+
=
Per il calcolo della velocità nei punti A, B e C, dopo l’urto, si sfrutta il principio di conservazione dell’energia meccanica. La velocità è sempre tangente alla traiettoria con verso concorde al moto.
Punto A:
s v m
v
s J kg m
v m m K
A A
66 . 8
87 . 37 ) 66 . 8 ( ) 01 . 1 ( 5 . 0 ) 2(
1 2 2
2 1
=
=
=
×
×
= +
=
Punto B:
s m kg
J m
m v K
J s m
kg m J
gR m m K v m m K
K E
gR m m v m m E
B B
A B B
A A mecc B
B mecc
44 . 01 7
. 1
97 . 27 2 ) (
2
97 . 27 1 8 . 9 01 . 1 87 . 37 )
( )
2( 1
) (
) 2(
1
2 1
2 2 1 2
2 1
, , 2
1 2 2 1 ,
× = + =
=
=
×
×
−
= +
−
= +
=
=
= +
+ +
=
Punto C:
s m kg
J m
m v K
J s m
kg m J
gR m m K
v m m K
K E
gR m m v
m m E
C C
A B B
A A mecc C
C mecc
98 . 01 5
. 1
07 . 18 2 ) (
2
07 . 18 1 8 . 9 01 . 1 2 87 . 37 )
( 2 )
2( 1
) (
2 ) 2(
1
2 1
2 2 1 2
2 1
, , 2
1 2 2 1 ,
× = + =
=
=
×
×
×
−
= +
−
= +
=
=
= +
+ +
=
c) FACOLTATIVO:
Nel punto C, al termine della guida, il corpo possiede una velocità vC orizzontale, di modulo vC = 5.98 m/s e verso opposto all’asse x. Dopo lo stacco dalla guida il corpo è soggetto alla forza peso e seguirà quindi una traiettoria parabolica, secondo le equazioni:
2
0 0
0 0
2 1gt y
y t v x x
gt v
v v v
x
y C
x x
−
= +
=
−
=
=
=
dalla equazione del moto lungo y si ricava il tempo di caduta:
s
s m
m g
y t y
y y
gt 0.64
/ 8 . 9
2 ) 2
( 2 2
1
2 0
0
2 = − ⇒ = − = × =
−
da cui segue che lo spazio percorso in x è pari, con verso opposto all’asse, a:
s m
s t m
v
x= 0x =5.98 ×0.64 =3.83
SOLUZIONE ESERCIZIO 2
a) La lamina piana infinita produce un campo elettrico uniforme e perpendicolare alla lamina stessa, con verso uscente dalla lamina, essendo la lamina carica positivamente.
Il campo vale in modulo
N C
Nm C
m
E C 0 . 11 /
/ 10 85 . 8 2
/ 10 2
2
12 2 22 12
0
× =
×
= ×
=
− −ε σ
Nella regione di spazio a sinistra della lamina, ove si trovano le cariche Q e q, il campo vale quindi:
Er ir N C ir
/ 11 . 2 0 =−0
−
=
ε σ
La carica q, posta a distanza d da Q, sarà in equilibrio se le forze elettrostatiche prodotte dalla carica Q e dalla distribuzione piana sono uguali in modulo, ossia:
0 2 0
0 2
0
2 4
1
2 4
1
ε σ πε
ε σ πε
=
= d
Q d q qQ
da cui si ottiene il valore di Q:
m C pC
C N C
d Nm
Q 0.11 (1 ) 0.012 10 12
/ 10
9
1 ) 2
4
( 2 9 2 2 2 9
0
0 × × ≈ × =
= ×
×
×
= −
ε πε σ
b) Il lavoro totale fatto dalle forze elettrostatiche è dato dalla somma del lavoro LQ fatto dalla forza di Coulomb generata dalla carica Q e dal lavoro Lσdovuto alla forza elettrostatica prodotta dalla lamina piana.
Quest’ultimo è identicamente nullo lungo il percorso AB, essendo la forza sempre perpendicolare allo spostamento.
Pertanto:
J
m m C C
C Nm
r r qQ
U U U L
L L L
B A
B A Q
Q tot
15
12 12
2 2 9 0
10 6 . 31
) 2 1 1
)( 1 10 12 10
)(
/ 10
9 (
1 ) ( 1 4
−
−
−
×
=
−
×
×
=
−
=
−
=
∆
−
=
= +
=
πε
σ
SOLUZIONE ESERCIZIO 3
a) Se non ci fosse la cavità, la massa del cubetto risulterebbe di 1.2 kg ( L 3× d ), ed il peso 11.76 N.
Poiché il peso è solo 8 N , il peso mancante corrisponde ad una massa di 0.384 kg ed a un volume di 320 cm3 . Poiché il volumedella sfera è dato da V sfera = 4/3 π R3 , il raggio della cavità sferica risulta R=4.24 cm . b) Quando il cubetto è immerso in acqua agiscono la forza Peso e la tensione T della fune, verso il fondo del recipiente e la spinta archimedea S , verso l’alto . All’equilibrio la risultante delle forze è nulla , pertanto S-P-T = 0 . Poiché S è il peso di un cubo di acqua di 10 cm di lato , cioè 9.8 N, risulta T = 1.8 N
