Fisica Generale T-A N.1
Prova scritta del 20 giugno 2011
Prof. Nicola Semprini Cesari
Meccanica
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1) Un punto materiale si muove su di una traiettoria circolare di raggio R=4m secondo l'equazione oraria s=2t2+2. Trovare l'espressione dell'angolo formato dai vettori velocità ed accelerazione.
2) Un punto materiale di massa m è soggetto all'azione della forza 𝑓⃗ = −𝑚𝑚𝚥⃗.Esprimere l'equazione della traiettoria nel caso in cui i vettori posizione e velocità iniziali siano𝑟���⃗ =0
4𝚥 ��⃗ e 𝑣����⃗ = �𝑚𝚤⃗. 0
3)
4) Sia data una sbarra di lunghezza L, massa M e densità lineare uniforme λ incernierata ad un terzo della sua lunghezza. Nella ipotesi che la massa appoggiata valga m determinare: i) la tensione della fune affinché la sbarra sia in equilibrio; ii) il momento d'inerzia della sbarra; iii) l'accelerazione angolare iniziale qualora il filo venga tagliato.
5) Commentare il concetto di massa inerziale.
6) Dimostrare che la prima equazione cardinale è l'equazione del moto del centro di massa (primo teorema del centro di massa).
7) Dimostrare il teorema di Huygens-Steiner.
L L
x
Assumendo il riferimento indicato in figura calcolare la
y
posizione del centro di massa del triangolo rettangolo nella ipotesi che la densità superficiale di massa sia uniforme e di valore σ.
L/3 L/3 L/3
Soluzioni
Q1
2
4 4
4 4
4 4 4 4 16 | | 4 | | 16 16 4 1
4
16 1
| | | | 4 4 1 1
s t s v t t a t t n v t a t t
v a t
arcos arcos arcos
v a t t t
ϑ
= = = = + = = + = +
⋅
= ⋅ = + = +
Q2
( )
( ) ( ) ( ) ( )
0
2 0
0 0 0 0 0 0
2
2 2
0
1 2
4 , 0, 4 , , 0
1 1 4 2
4 2 4
2
ox
oy
x y
x x v t f mg j m x i y j x
g y y y v t g t
r j x y v g i v v g
t x x g t
g x
y y g t x
y g
g
= +
=
= − = + − = = + −
= = = =
= =
= −
= − = −
Q3
1
3
1 0 0
1 1
1 1
2 3
3 6
N i i i CM
L L x N
i i i
CM CM CM CM
m r
r M
y dx dy
m y L
Y Y L inoltre X Y L
M M M
σ σ
=
−
=
=
= = = = = =
∑
∑ ∫ ∫
Q4
2 / 3
2 2
/ 3
) ( ) ( ) 2 0
6 3 3
2 2
( ) 0
6 3 3 4
) 1
9 ˆ ˆ
)
ˆ ( ) ˆ ( ) 2
6 3 6 3 6
2 6
e
L
L
e e
e e
d L L L L
i M j Mg k j mg k j T k
dt
L L L M m
Mg mg T i T g
ii I x dx ML
iii M I M
I
L L L L M m
i M Mg mg i M i Mg mg i g L
M m
g L
ω
ω
λ
ω j j ω
ω ω
j
−
= ∧ − + ∧ − + ∧ =
− − + = = +
= =
⋅ = = ⋅
= = − − ⋅ = ⋅ − − = − +
− +
=
∫
2
3 2
1 2
9
M m g
M L
ML
= − +
