Analisi dei dati

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Analisi dei dati

1 Lorenzo Magaletti, Rosamaria Venditti

Progetto Alternanza Scuola Lavoro 2018-PoliBa

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Grandezze Fisiche

Sistemi di unità di misura

Errori di misura

Probabilità

Distribuzioni di probabilità

Primo approccio all’analisi dei dati

Cosa comprende il corso di analisi dati

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3 Grandezze fisiche

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Il metodo scientifico

4 La parola “Fisica” deriva dal greco e significava natura

Con Galileo si passa dal “mondo del pressapoco all’universo della precisione”

Ogni fenomeno osservabile sulla terra, all’apparenza qualitativo, presenta una

realtà che è quantificabile tramite la definizione operativa di grandezza

fisica cui è associato il valore numerico della misura, riproducibile nelle

stesse condizioni sperimentali

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La parola “Fisica” deriva dal greco e significava natura

Con Galileo si passa dal “mondo del pressapoco all’universo della precisione”

Tuttavia, il metodo scientifico non è unicamente basato sull’indagine sperimentale, ma necessita di una formulazione teorica!

L’indagine sperimentale sarebbe una navigazione senza bussola se non fosse guidata dalla proposizione di una teoria , di un modello

Il metodo scientifico

5

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6

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Definizione di grandezza fisica, misura

7 Si definisce grandezza fisica di un sistema fisico una sua caratteristica sulla quale possa essere eseguita una operazione di misura mediante una ben definita procedura sperimentale

lunghezza massa

velocità

….

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Definizione di grandezza fisica, misura

8 L’operazione di misura implica che:

sia stato definito un campione di unità di misura (metro, secondo, …) che permette di misurare una certa grandezza fisica (lunghezza, tempo, …) ad ogni misura della grandezza fisica possa essere attribuito un valore numerico (1 metro, 2 metri, …)

tra due grandezze fisiche, definite dalla stessa unità di misura, sia possibile stabilire qual è la maggiore o la minore

tra due grandezze fisiche, definite dalla stessa unità di misura, possa

essere eseguita l’operazione di somma o differenza

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Una misura si dice diretta se si ottiene confrontando direttamente l’oggetto da misurare e la relativa unità di misura

Una misura si dice indiretta se si ottiene attraverso elaborazioni matematiche dei dati relativi ad altre grandezze misurabili direttamente

Misure dirette ed indirette

9

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10 Sistema di unità di misura

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Sistema di unità di misura

11 Nel corso dei secoli, con lo sviluppo della scienza moderna, si è passati da una situazione di enorme confusione, dove ogni regione o città

adottava il proprio sistema di misura pratico per il commercio e l’agricoltura, all’attuale situazione dove la comunità scientifica internazionale ha elaborato il sistema di unità di misura più evoluto: il Sistema

Internazionale (SI)

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Diversi sistemi di unità di misura: Sistema imperiale britannico

12

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Il Sistema Internazionale di unità di misura

13 Nel 1960 alla XI Conferenza Generale dei Pesi e delle Misure è stato istituito il Sistema Internazionale di unità di misura

Le convenzionino adottate dal SI raccomandano che:

tutti i simboli delle unità di misura non devono essere accompagnate dal punto

i nomi delle unità di misura sono nomi comuni e si scrivono con l’iniziale minuscola

i nomi delle unità di misura si scrivono con la lettera maiuscola solo se derivano

dal nome di uno scienziato

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Alcune definizioni di unità di misura

14 Il metro è il tragitto compiuto dalla luce nel vuoto in un intervallo di tempo di 1/299792458 di secondo. La velocità della luce nel vuoto è 299792458 m/s

Il kilogrammo è la massa del prototipo internazionale conservato presso il Bureau International des Poids et Measures a Sévres. Questa unità di misura è l’unica legata ad un campione materiale costituito da un cilindro in lega di Platino-iridio (90%-10%)

Il secondo è l’intervallo di tempo che contiene 9 192 631 770 periodi della

radiazione corrispondente alla transizione tra

i due livelli iperfini dello stato fondamentale

dell’isotopo 13355 Cs del Cesio

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15 Errori di misura

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Errori nelle misure

16 La non ripetibilità del valore di una misura ci induce a ritenere che ogni misura sia affetta da errore

È possibile definire l’errore in una misura la differenza fra il valore vero della grandezza fisica che si vuol misurare e quello ottenuto dalla misurazione Possiamo classificare gli errori come:

Errori sistematici

Errori casuali

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17 Esercizio:

misuriamo la lunghezza di un foglio

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Errori sistematici

18 Come suggerisce il nome, l’errore sistematico altera la misura di una grandezza sistematicamente per eccesso o per difetto

CAUSA ☛ l’errore sistematico può essere dovuto ad una errata calibrazione dello strumento di misura oppure ad una non corretta procedura di misura

ESEMPIO ☛ Misura del tempo con un orologio che anticipa ☛ e voi arrivate sempre in anticipo ESEMPIO ☛ La bilancia truccata del salumiere disonesto ☛ e voi pagate

SOLUZIONE ☛ Come smascheriamo il salumiere?

andiamo da un altro salumiere e confrontiamo le quantità di salame con quella del salumiere

disonesto

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Errori casuali

19 Ripetendo più volte le misure di una stessa grandezza fisica con uno strumento molto sensibile, si osserva che le misure sono diverse anche se non di molto

Queste fluttuazioni vengono attribuite all’errore casuale e sono spiegate con

l’impossibilità di riprodurre esattamente in ciascuna operazione di misura le stesse condizioni sperimentali

Lo stesso operatore può contribuire all’errore intervenendo in maniera sempre diversa nell’uso di uno strumento di misura

A differenza dell’errore sistematico, l’errore casuale determina una distribuzione

statistica simmetrica dei valori della misura attorno ad un valore medio

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20 Esercizio:

misuriamo il tempo di caduta di un

grave

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Istogrammi

21 Frequenza

Intervallo di dispersione

valore massimo misurato (2.03) - valore minimo misurato (1.92)

1.92 1.93 1.94 1.95 1.96 1.97 1.98 1.99 2.00 2.01 2.02 2.03 2.04

secondi (s)

Classe

Si vuol misurare la durata temporale x di caduta di un grave da una certa altezza h Utilizzando un cronometro ripetiamo la misura più volte

Misuriamo x per 714 volte (tanto ne abbiamo di tempo da perdere)

Costruiamo un istogramma con i dati raccolti

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Media

22 Frequenza

secondi (s)

Classe

Tutto il tempo che ho perso a misurare le oscillazioni del pendolo, sarà servito ad imparare qualcosa?

Che informazioni posso ottenere dall’istogramma che ho costruito?

Le misure si addensano attorno al valore 1.98 che chiamerò media aritmetica o media campionaria

Intervallo di dispersione

valore massimo misurato (2.03) - valore minimo misurato (1.92)

1.92 1.93 1.94 1.95 1.96 1.97 1.98 1.99 2.00 2.01 2.02 2.03 2.04

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Media

23 Frequenza

secondi (s)

Classe Posso definire la media aritmetica (x̅) come:

1.92 1.93 1.94 1.95 1.96 1.97 1.98 1.99 2.00 2.01 2.02 2.03 2.04

Intervallo di dispersione

valore massimo misurato (2.03) - valore minimo misurato (1.92)

¯

x = 1.98 + 1.97 + 1.98 + 1.98 + 1.95 + . . . 714

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(24)

Più in generale, posso definire la media aritmetica (x̅) come:

Media

24 Frequenza

secondi (s)

Classe

¯ x =

P N

i=1 x _i N

<latexit sha1_base64="KENwnW8U4PBOdr2xnCwDcW9dBq0=">AAACF3icbVC7TsNAEDzzDOEVoKQ5EZCoIpsGKCJF0FChIBESKQ7W+tiEU84P3a1RIss/wCfwFbRQUSFaSgr+BSekAMI0O5rZ1e6OHytpyLY/rJnZufmFxcJScXlldW29tLF5ZaJEC2yISEW65YNBJUNskCSFrVgjBL7Cpt8/HfnNO9RGRuElDWPsBNALZVcKoFzySruuD5oPeJW7XQ0idU0SeKmsOtl1ep4NPJnlxSuV7Yo9Bp8mzoSU2QR1r/Tp3kQiCTAkocCYtmPH1ElBkxQKs6KbGIxB9KGH7ZyGEKDppONvMr6XGKCIx6i5VHws4s+JFAJjhoGfdwZAt+avNxL/89oJdY86qQzjhDAUo0UkFY4XGaFlHhPyG6mRCEaXI5chF6CBCLXkIEQuJnluxTwP5+/306RxUDmu2Bd2uXYyCabAttkO22cOO2Q1dsbqrMEEu2eP7Ik9Ww/Wi/VqvX23zliTmS32C9b7F9DboAY=</latexit><latexit sha1_base64="KENwnW8U4PBOdr2xnCwDcW9dBq0=">AAACF3icbVC7TsNAEDzzDOEVoKQ5EZCoIpsGKCJF0FChIBESKQ7W+tiEU84P3a1RIss/wCfwFbRQUSFaSgr+BSekAMI0O5rZ1e6OHytpyLY/rJnZufmFxcJScXlldW29tLF5ZaJEC2yISEW65YNBJUNskCSFrVgjBL7Cpt8/HfnNO9RGRuElDWPsBNALZVcKoFzySruuD5oPeJW7XQ0idU0SeKmsOtl1ep4NPJnlxSuV7Yo9Bp8mzoSU2QR1r/Tp3kQiCTAkocCYtmPH1ElBkxQKs6KbGIxB9KGH7ZyGEKDppONvMr6XGKCIx6i5VHws4s+JFAJjhoGfdwZAt+avNxL/89oJdY86qQzjhDAUo0UkFY4XGaFlHhPyG6mRCEaXI5chF6CBCLXkIEQuJnluxTwP5+/306RxUDmu2Bd2uXYyCabAttkO22cOO2Q1dsbqrMEEu2eP7Ik9Ww/Wi/VqvX23zliTmS32C9b7F9DboAY=</latexit><latexit sha1_base64="KENwnW8U4PBOdr2xnCwDcW9dBq0=">AAACF3icbVC7TsNAEDzzDOEVoKQ5EZCoIpsGKCJF0FChIBESKQ7W+tiEU84P3a1RIss/wCfwFbRQUSFaSgr+BSekAMI0O5rZ1e6OHytpyLY/rJnZufmFxcJScXlldW29tLF5ZaJEC2yISEW65YNBJUNskCSFrVgjBL7Cpt8/HfnNO9RGRuElDWPsBNALZVcKoFzySruuD5oPeJW7XQ0idU0SeKmsOtl1ep4NPJnlxSuV7Yo9Bp8mzoSU2QR1r/Tp3kQiCTAkocCYtmPH1ElBkxQKs6KbGIxB9KGH7ZyGEKDppONvMr6XGKCIx6i5VHws4s+JFAJjhoGfdwZAt+avNxL/89oJdY86qQzjhDAUo0UkFY4XGaFlHhPyG6mRCEaXI5chF6CBCLXkIEQuJnluxTwP5+/306RxUDmu2Bd2uXYyCabAttkO22cOO2Q1dsbqrMEEu2eP7Ik9Ww/Wi/VqvX23zliTmS32C9b7F9DboAY=</latexit>

numero totale delle misure effettuate somma di tutte le

misure effettuate

1.92 1.93 1.94 1.95 1.96 1.97 1.98 1.99 2.00 2.01 2.02 2.03 2.04

Intervallo di dispersione

valore massimo misurato (2.03) - valore minimo misurato (1.92)

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Evita che la

sommatoria sia nulla

Errore di una misura diretta

25 Se la misura è eseguita con uno strumento sensibile e facciamo poche misure (tre o quattro):

Si assume come differenza della misura la semi-dispersione massima, ovvero la semi-differenza tra il massimo e il minimo valore delle misure ottenute

x = (x _max x _min )/2

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Quando invece si effettuano più misure di una grandezza fisica con uno

strumento sensibile, per induzione saremmo tentati di fare la media degli scarti

P N

i=1 (x _i x) ¯

N =

P N

i=1 x _i

N x = 0 ¯

<latexit sha1_base64="8RTKKskJc9d9Ms4Ls5CKAmqJ0BM=">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</latexit><latexit sha1_base64="8RTKKskJc9d9Ms4Ls5CKAmqJ0BM=">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</latexit><latexit sha1_base64="8RTKKskJc9d9Ms4Ls5CKAmqJ0BM=">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</latexit>

Possibile che gli errori siano sempre uguali a zero?

Ciò è dovuto al fatto che gli errori casuali, grandi o piccoli che siano, sono sempre simmetricamente distribuiti attorno alla media aritmetica

La valutazione più opportuna dell’errore casuale è data dallo “scarto quadratico medio” o “deviazione standard”

=

s P N

i=1 (x _i x) ¯ ² N

<latexit sha1_base64="sbGE/5C4/zqrtLq35Z/HRwX2szc=">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</latexit><latexit sha1_base64="sbGE/5C4/zqrtLq35Z/HRwX2szc=">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</latexit><latexit sha1_base64="sbGE/5C4/zqrtLq35Z/HRwX2szc=">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</latexit>

(26)

Errore di una misura diretta

26 =

s P N

i=1 (x _i x) ¯ ² N

In realtà, se si dispone di un piccolo campione di misure (N < 30), la deviazione standard fornisce solo una stima per difetto dell’errore…

e allora?

s =

s P N

i=1 (x _i x) ¯ ² N 1

<latexit sha1_base64="mYmvi8cXuMNg0SjKEmKHiLRYqfo=">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</latexit><latexit sha1_base64="mYmvi8cXuMNg0SjKEmKHiLRYqfo=">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</latexit><latexit sha1_base64="mYmvi8cXuMNg0SjKEmKHiLRYqfo=">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</latexit>

E allora da bravi fisici aggiungiamo un -1 al denominatore e passa la paura

In questo modo otteniamo una STIMA della deviazione standard

La stima della deviazione standard (s) sarà uguale alla deviazione

standard (σ) quando in numero delle misure N sarà molto maggiore di 30

(27)

Ma adesso che ho definito media aritmetica e deviazione standard, che se ne fa il fisico?

Hanno in qualche modo un potere predittivo?

secondi (s) 27

¯ x =

P N

i=1 x _i N

<latexit sha1_base64="KENwnW8U4PBOdr2xnCwDcW9dBq0=">AAACF3icbVC7TsNAEDzzDOEVoKQ5EZCoIpsGKCJF0FChIBESKQ7W+tiEU84P3a1RIss/wCfwFbRQUSFaSgr+BSekAMI0O5rZ1e6OHytpyLY/rJnZufmFxcJScXlldW29tLF5ZaJEC2yISEW65YNBJUNskCSFrVgjBL7Cpt8/HfnNO9RGRuElDWPsBNALZVcKoFzySruuD5oPeJW7XQ0idU0SeKmsOtl1ep4NPJnlxSuV7Yo9Bp8mzoSU2QR1r/Tp3kQiCTAkocCYtmPH1ElBkxQKs6KbGIxB9KGH7ZyGEKDppONvMr6XGKCIx6i5VHws4s+JFAJjhoGfdwZAt+avNxL/89oJdY86qQzjhDAUo0UkFY4XGaFlHhPyG6mRCEaXI5chF6CBCLXkIEQuJnluxTwP5+/306RxUDmu2Bd2uXYyCabAttkO22cOO2Q1dsbqrMEEu2eP7Ik9Ww/Wi/VqvX23zliTmS32C9b7F9DboAY=</latexit><latexit sha1_base64="KENwnW8U4PBOdr2xnCwDcW9dBq0=">AAACF3icbVC7TsNAEDzzDOEVoKQ5EZCoIpsGKCJF0FChIBESKQ7W+tiEU84P3a1RIss/wCfwFbRQUSFaSgr+BSekAMI0O5rZ1e6OHytpyLY/rJnZufmFxcJScXlldW29tLF5ZaJEC2yISEW65YNBJUNskCSFrVgjBL7Cpt8/HfnNO9RGRuElDWPsBNALZVcKoFzySruuD5oPeJW7XQ0idU0SeKmsOtl1ep4NPJnlxSuV7Yo9Bp8mzoSU2QR1r/Tp3kQiCTAkocCYtmPH1ElBkxQKs6KbGIxB9KGH7ZyGEKDppONvMr6XGKCIx6i5VHws4s+JFAJjhoGfdwZAt+avNxL/89oJdY86qQzjhDAUo0UkFY4XGaFlHhPyG6mRCEaXI5chF6CBCLXkIEQuJnluxTwP5+/306RxUDmu2Bd2uXYyCabAttkO22cOO2Q1dsbqrMEEu2eP7Ik9Ww/Wi/VqvX23zliTmS32C9b7F9DboAY=</latexit><latexit sha1_base64="KENwnW8U4PBOdr2xnCwDcW9dBq0=">AAACF3icbVC7TsNAEDzzDOEVoKQ5EZCoIpsGKCJF0FChIBESKQ7W+tiEU84P3a1RIss/wCfwFbRQUSFaSgr+BSekAMI0O5rZ1e6OHytpyLY/rJnZufmFxcJScXlldW29tLF5ZaJEC2yISEW65YNBJUNskCSFrVgjBL7Cpt8/HfnNO9RGRuElDWPsBNALZVcKoFzySruuD5oPeJW7XQ0idU0SeKmsOtl1ep4NPJnlxSuV7Yo9Bp8mzoSU2QR1r/Tp3kQiCTAkocCYtmPH1ElBkxQKs6KbGIxB9KGH7ZyGEKDppONvMr6XGKCIx6i5VHws4s+JFAJjhoGfdwZAt+avNxL/89oJdY86qQzjhDAUo0UkFY4XGaFlHhPyG6mRCEaXI5chF6CBCLXkIEQuJnluxTwP5+/306RxUDmu2Bd2uXYyCabAttkO22cOO2Q1dsbqrMEEu2eP7Ik9Ww/Wi/VqvX23zliTmS32C9b7F9DboAY=</latexit>

Errore di una misura diretta

=

s P N

i=1 (x _i x) ¯ ² N

x̅

σ

La brava e bella Dott.ssa Rosma (miss Fisica 2018) vi mostrerà che:

I fisici non sono tutti orrendi nerd!

x̅ potremo considerarlo come il valore vero della nostra misura

nell’intervallo x̅ ± σ saranno contenute ben il 68.3% delle nostre misure

Infatti, se nel nostro esempio sommiamo ad occhio le frequenze nell’intervallo x̅ ± σ, ricordando che N = 714, otteniamo:

[(92/2)+144+156+133+(94/2)]/714 = (46+144+156+133+47)/714 = 526/714 ≃ 0.74 che in percentuale è 74%!

x̅ ± σ

1.92 1.93 1.94 1.95 1.96 1.97 1.98 1.99 2.00 2.01 2.02 2.03 2.04

(28)

28 Probabilità

(29)

Probabilità

Proprietà:

• la probabilità di un evento è un numero compreso tra 0 e 1;

• la probabilità dell'evento certo è pari a 1

• la probabilità del verificarsi di uno di due eventi incompatibili, ovvero di due eventi che non

possono verificarsi simultaneamente, è pari alla somma delle probabilità dei due eventi;

€

Casi Favorevoli Casi Possibili P(E) =

29

(30)

Nascita ed evoluzione della

probabilità: dai giochi d’azzardo…

• La teoria della probabilità nasce, all’inizio del diciassettesimo secolo, dagli studi riguardanti la soluzione di alcuni problemi sorti nei vari giochi d’azzardo, quali ad esempio il gioco dei dadi.

• I nobili, infatti, facendo di queste attività uno dei propri passatempi preferiti, affidavano ai vari studiosi del tempo il compito di risolvere i loro quesiti a tal proposito.

Cavaliere de Merè a DeMoivre e Pascal:

▪ è più probabile che esca almeno un 6 lanciando 4 volte un dado o avere almeno una volta il doppio 6 lanciando 24 volte 2 dadi?

▪ se 2 giocatori ugualmente bravi interrompono un gioco in cui vince per primo chi totalizza un certo punteggio, senza averlo raggiunto, come si divide il premio?

• Questo è il motivo che spinge Galileo Galilei a scrivere il libro Sopra le scoperte dei dadi del 1596

• 1809: durante il suo studio degli errori di osservazione in

astronomia, Gauss ritrova la curva che poi in futuro prenderà il suo nome.

• Nel 1905 finalmente si celebra l’inizio dell’unione della probabilità con la fisica: Einstein spiega i moti Browniani utilizzando le leggi della probabilità.

• Nel 1910 Rutheford, Bateman e Geiger scoprono che il numero

di particelle emesse da una sostanza radioattiva è una variabile

aleatoria con distribuzione di Poisson.

(31)

…alla meccanica quantistica

On this day in 1989, IBM Fellow Don Eigler became the first person in history to move and control an

individual atom. Shortly thereafter, on November 11 of that year, Eigler and his team used a custom-built microscope to spell out the letters IBM with 35 xenon atoms.

This unprecedented ability to manipulate individual atoms signaled a quantum leap forward in in nanoscience experimentation and heralded in the age of

nanotechnology.

Nata "quasi per gioco", questa nuova scienza, grazie anche ad ulteriori scoperte, troverà negli anni futuri sempre più iterazioni con altre discipline, quali ad esempio l’informatica e la statistica.

IBM Press Release, 1989

Nel 1900 ci si accorge che per atomi, elettroni, protoni, le leggi della meccanica

classica non valgono più.

Non ha senso parlare di posizione di un atomo!

Si parla della probabilità che un atomo occupi

una certa posizione

(32)

Esempio: il lancio di un dado

Casi Favorevoli Casi Possibili P(E) =

Probabilità che “esca 6” = ?

32

Esempio: il lancio di un dado

Casi Favorevoli Casi Possibili P(E) =

Probabilità che “esca 6” = 1/6

Probabilità che “esca 2” = 1/6

Probabilità che “esca un numero pari” = 1/2

Probabilità che “esca un numero minore di 10” = ?

36

Esempio: trova la password

Qual è la probabilità di scoprire al primo tentativo un codice di cinque cifre scelte tra le dieci cifre

0,1,3,4,5,6,7,8,9

sapendo che non posso ripetere le cifre…

42 Calcolo combinatorio

(43)

Esempio: trova la password

Qual è la probabilità di scoprire al primo tentativo un codice di cinque cifre scelte tra le dieci cifre

0,1,3,4,5,6,7,8,9

sapendo che non posso ripetere le cifre…

P = 1 /30240 =0 ,0033%

Casi possibili = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 Casi Favorevoli = 1

43

(44)

Esempio: trova la password

Qual è la probabilità, al primo tentativo, di scoprire un codice di cinque cifre scelte tra le dieci cifre

0,1,2....9 sapendo che posso ripetere le cifre

P = 1 /10 ⁵ =0 ,001%

Casi Favorevoli = 1

Casi possibili = 10 x 10 x 10 x 10 x 10

44

(45)

Cosa abbiamo imparato?

(46)

Numero totale di configurazioni:

1+3+3+1=8 ! ogni configurazione ha probabilità 1/8

P(Esce testa 1 volta)=1/8

P(Esce testa 2 volte)=3/8

P(Esce testa 0 volte)=1/8 3/8

1/8 1/8

P(Esce testa 1 volta)=3/8

(51)

(52)

Complichiamo la situazione

• Lanciamo 4 volte la moneta. Qual è la probabilità di ottenere una testa

• Lanciamo 5 volte la moneta. Qual è la probabilità di ottenere una testa

52 6/16 4/16

1/16 Testa Croce

Testa Croce

10/32 5/32

1/32

(53)

Estendo il problema: la distribuzione binomiale

53 • n prove (=lanci di moneta)

• Qual è la probabilità di ottenere k successi (=teste)

• p=1/2 !probabilità del singolo successo

Valore più probabile= valor medio = n×p

(54)

E con questo il problema dei nobili fannulloni medioevali era risolto…

• Qual è probabilità di ottenere con 5 lanci di un dado esattamente 3 volte

"4" ?

• Ogni singola prova ha probabilità – p=1/6 di ottenere "4" (successo) – probabilità q=5/6 di non ottenerlo

(insuccesso).

• La probabilità di ottenere

esattamente 3 volte "4" con 5 lanci (e 2 volte "non 4") è

P = ( 5 3 ) ( 1 / 6 ) ³ ( 5 / 6 ) ² = 0,032

Probabilità = ( n k ) · p ^k · q ^n-k

(55)

Macchina di Galton

Piano verticale, sul quale sono piantati perpendicolarmente dei chiodi posizionati

secondo la configurazione del numero 5 sulla faccia di un comune dado da gioco.

(56)

Macchina di Galton

56 La pallina ha probabilità ½ di andare a destra e a sinistra

(57)

Macchina di Galton

La pallina ha probabilità ½ di andare a destra e a sinistra

1 3 3 1

Numero totale di percorsi = 1+3+3+1=8

Probabilità di cadere nel bin 1 =1/8

Probabilità di cadere nel bin 2 =3/8

Probabilità di cadere nel bin 3 =3/8

Probabilità di cadere nel bin 3 =1/8

(58)

Eventi rari: la distribuzione di Poisson

• Descrive eventi RARI INDIPENDENTI CON PICOLA PROBABILITÀ

– n=numero di prove ! ∞ – k= numero di successi

– p = probabilità di successo !0

– np = m = media della distribuzione

P(k)=m ^k /k! e ^-m

58

(59)

Caratteristiche della distribuzione di Poisson

• Valore medio = n*p =

500*0.02=10

• Varianza = √np

=rad(5)=2.23

59

(60)

Utilità della distribuzione di Poisson

• Predice con quanta probabilità cadrà un aereo nei prossimi X giorni

• Predice il numero di persone che andranno a prelevare da un certo bancomat nelle prossime 3 ore

• Il numero di pezzi difettosi prodotti da una fabbrica in un giorno

• Il numero di macchine che passano sotto un ponte nel prossimo minuto

• Il numero di persone che entrano in un negozio nelle prossime 2 ore

• Il numero di errori tipografici in una pagina stampata

• Il numero di decadimenti di una sostanza radioattiva nella

prossima ora ⁶⁰

(61)

In focacceria

• In una focacceria arrivano 30 clienti l’ora

• Qual è la probabilità che in 2 minuti non arrivi nessuno?

• Qual è la probabilità che in 2 minuti

arrivino 3 clienti?

(62)

In focacceria

• In una focacceria arrivano 30 clienti l’ora

• Qual è la probabilità che in 2 minuti non arrivi nessuno?

m=30 clienti/30 minuti=1cliente/2 minuti P(0 clienti in 2 minuti)=1 ⁰ /0! e ^-1 =36%

• Qual è la probabilità che in 2 minuti arrivino 3 clienti?

P(3)=1-(P(0)+P(1)+P(2))= 8%

(63)

Numero infinito di prove: n!∞

p=0.5, fisso

Vario il numero di eventi

Aumentando il numero di prove la

distribuzione tende a diventare simmetrica attorno al valore

medio.

La distribuzione che descrive la probabilità di occorrenza di un evento tra n!∞ eventi è la distribuzione di Gauss

63

(64)

La distribuzione di Gauss o normale

È simmetrica rispetto a µ 

Il valore x = µ definisce la moda, la media e la mediana

64

(65)

La distribuzione di Gauss o normale

µ = valore atteso o valore più probabile (massimo della distribuzione)

σ ² = varianza è la

larghezza della distribuzione

x

P( x)

I parametri µ e σ definiscono FORMA e POSIZIONE.

Al variare di µ la curva trasla sull’asse delle x.

Al variare di σ la curva modifica la sua forma appiattendosi o innalzandosi. ₆₅

(66)

Importante: i parametri di una distribuzione

66 Valore più probabile

~ valor medio Scarto quadratico

medio= larghezza

della distribuzione!è un indice della

precisione della

misura

(67)

La distribuzione di Gauss o normale

L’area sotto la curva rappresenta la probabilità che un certo fenomeno avvenga

67

(68)

• In un compito il punteggio medio è 6,5 con

deviazione standard 1,5. Qual è la probabilità che un voto sia compreso tra 5 e 6? Quanti studenti

avranno un tale voto se il numero totale è di 28 alunni?

• Sei voti X sono normo-distribuiti con: m = 6,5 e σ=

1,5 , allora:

P(5<X<6) = 0,2120.

• Il n° degli studenti con tale voto: 0,2120 ·28 ≅6.

68 Esempio

(69)

69 Un primo approccio

all’analisi dei dati

(70)

Analisi dei dati

1. Raccolta dei dati

2. Elaborazione

3. Conclusioni

(71)

I dati per un fisico delle particelle

Lo scopo del lavoro di un fisico è analizzare i dati raccolti da un certo esperimento e analizzarli per

-confermare la validità di un modello -verificare l’esistenza di nuova fisica

71

(72)

I dati per un fisico delle particelle

72 1 Evento

• LHC ha generato dati pari a 30 milioni di Gigabytes/anno

• Worldwide LHC Computing Grid (WLCG) è un progetto che riunisce 170 centri di

calcolo in 42 paesi (>100.000 processori) per gestire la registrazione, la

distribuzione e l’analisi dei dati raccolti dagli esperimenti di LHC

• Bari è uno dei centri di calcolo attivi

Tutti gli eventi

(73)

Questo è vero in tutti gli altri campi

73

(74)

In pratica …

74 Variabile X

Numer o di ev enti

Teoria conosciuta confermata da altri esperimenti

Facciamo il nostro esperimento

E raccogliamo dati…

(75)

Caso 1

75 Variabile X

Numer o di ev enti

Teoria confermata Dati

Anche i dati raccolti al nostro esperimento verificano la teoria

I fisici solitamente sono molto delusi

(76)

Caso 2

76 Variabile X

Numer o di ev enti

Teoria confermata Dati

Nuova Teoria

I dati raccolti al nostro

esperimento si discostano dalla teoria confermata e sono

compatibili con una nuova teoria

(77)

E’ vero anche il contrario…

• Faccio una serie di misure di 2 varibili:

– Xi = numero di panini

venduti dai fast food/per anno negli stati uniti negli ultimi 10 anni

– Yi = peso degli individui negli ultimi dieci anni

• Le due variabili sono correlate?

Variabile X

Numer o di ev enti

77

(78)

Come verificare se i dati seguono un trend: il metodo dei minimi quadrati

Variabile X

Va ri ab il e y

Effettuo una serie di misure: per ogni punto xi misuro il valore yi, con un certo errore σ(yi)

78 Variabile indipendente

Variabile dipende nte

Errore su Variabile indipendente

Errore su Variabile dipendente

x1 y1 0 σ(y1)

x2 y2 0 σ(y2)

x3 y3 0 σ(y3)

x4 y4 0 σ(y4)

x5 y5 0 σ(y5)

x ₁ x ₂ x ₃ x ₄ x ₅ y ₁

y ₂ y ₃

σ(y2)

(79)

Come verificare se i dati seguono un trend: il metodo dei minimi quadrati

Variabile dipendente X

Va ri ab ile i nd ip en de nt e Y

f1(x)!parabola f2(x)!polinomio f3(x)!retta

Le due variabili sono correlate? !

Esiste una funzione f(x) che riproduca il trend dei dati? ⁷⁹

(80)

Come verificare se i dati seguono un trend: il metodo dei minimi quadrati

f(x)

x1 x2 x3

f(x ₃ )

Considero il residuo = distanza tra il dato e il punto della funzione r

80 Variabile dipendente X

Va ri ab ile i nd ip en de nt e Y

(81)

Il metodo dei minimi quadrati

f(x)

x1 x2 x3

f(x ₃ )

r3

r _i =f(x _i )-y _i

r ₁ =f(x ₁ )-y ₁ =0 !f(x1)=y ₁ r ₃ =f(x ₃ )-y ₃ >0

r _n =f(x _n )-y _n >0

f(x _n )

81 Variabile dipendente X

Va ri ab ile i nd ip en de nt e Y

(82)

Il metodo dei minimi quadrati

Variabile X

Numer o di ev enti

x1 x2 x3

f(x ₃ )

r2 r3

Come scelgo la funzione che meglio approssima I dati?

Basta scegliere la funzione che minimizza la somma di tutte le distanze r i !!!

f(x) = ax*cos(bx) f(x) = ax ² + bx +c

f(x) = ax ³ + bx ² +cx +d

… …

Variabile X x1 x2 x3

Numer o di ev enti

f(x)

? ^r2 r3

82

(83)

Scelgo f(x) = Ax+B: la regressione lineare

Variabile X

Numer o di ev enti

f(x)=Ax+B

x1 x2 x3

f(x ₃ )

r3

f(x _n ) r _i =Axi+B-y _i

χ ² = ∑ _i [(Ax _i +B-y _i )/σ(y _i )]

Trovare A e B tali che la somma dei quadrati costruiti sui residui tra yi e f(xi)

(funzione χ) sia minima

83

(84)

Un sacco

di con ti

84

(85)

Il calcolo della retta dei minimi quadrati

Variabile X

Numer o di ev enti

x1 x2

Coefficiente angolare Intercetta

Si riduce al calcolo delle somme dei dati che ho a disposizione !!!

85

(86)

Il calcolo della retta dei minimi quadrati

Variabile X

Numer o di ev enti

x1 x2

Coefficiente angolare Intercetta

O, se divido tutto per N (numero dei dati a disposizone), delle loro medie!

y= Bx+A

86

(87)

Coefficiente di correlazione lineare  

Abbiamo quindi bisogno di una quantità che ci dica quanto le due grandezze sono legate o

“correlate”.

Coefficiente di correlazione lineare  

scarti quadratici medi delle quantità x e y covarianza

87

(88)

Coefficiente di correlazione lineare  

Variabile X

Va ri ab ile Y

x1 x2

y= Bx+A

x3

88 R=1

Variabile X x1 x2

y= Bx+A

x3

R=0

Va ri ab ile Y

I punti giacciono perfettamente su una retta !il coefficiente di correlazione vale +1 o -1, a seconda della pendenza positiva o negativa della retta.

Se al contrario, supponiamo che non vi sia alcuna correlazione fra le variabili x e y, r!0

x,y correlate x,y non correlate

(89)

In pratica: retta dei minimi quadrati con PHET

89 Punti sperimentali

Residui Quadrato

costruito sul residuo

Chi Quadro=

Somma dei

quadrati costruiti sui residui

Equazione

della retta

(90)

90 La funzione chi

quadrato è molto più piccola di quella

trovata da me!!!

Funzione chi quadrato trovata da me Retta dei minimi quadrati trovata dal

simulatore PHET seguendo la procedura descritta

Retta dei minimi

quadrati trovata da me

(91)

91 Qual’è la dipendenza??

Il metodo dei minimi quadrati può essere usato per determinare il valore dei coefficienti

di qualsiasi funzione che supponiamo che possa descrivere l’andamento dei nostri dati

(92)

La funzione chi quadrato

92 χ ² = ∑ _i [(Ax _i +B-y _i )/σ(y _i )]

Distanza del dato sperimentale dalla retta teorica

normalizzata ~

Stima dell’errore

Errore sperimentale

Χ ² ~ Numero dei dati a disposizione

Χ ² _r =Χ ² /Numero dei dati a disposizione ~ 1

Chi Quadrato ridotto

(93)

93 Dati originali

Fit lineare! provo a

interpolare i punti con la funzione y=ax+b

Funzione chi quadrato ridotto >1 ! non è un buon fit

Fit lineare

(94)

94 Dati originali

Fit con polinomio di

secondo grado! provo a interpolare i punti con la funzione y=ax ² +bx+c

La Funzione chi quadrato migliora

Fit parabolico

(95)

95 Dati originali

Fit con polinomio di quarto grado

La Funzione chi quadrato migliora perché si avvicina a 1!

Fit con polinomio di

ordine n

(96)

Chi sviluppa tutti questi calcoli?

96

(97)

I tool dell’ analista

https://www.r-project.org/

https://root.cern.ch/

https://www.mathworks.com/products/

matlab.html

http://www.gnuplot.info/

Fogli di calcolo

97

(98)

Esercizio: numero scarpe vs altezza

98

(99)

Esercizio 4

• F=-kx su PHET + excel

99

(100)

Backup

100

(101)

Esempio: probabilità di essere interrogato

101

(102)

Esempio: probabilità di essere interrogato

L’insegnante di matematica deve interrogare ancora tutti gli studenti della classe e decide di chiamarne 5. Se gli studenti della sono 27 qual è la probabilità che ha un dato studente di essere interrogato?

Quindi per trovare quanti gruppi di cinque studenti si possono formare devo **dividere D(27,5)=2726252423 disposizioni di 5 elementi scelti tra 27 senza ripetizione**

Per

**P=54321 numero delle permutazioni di 5 elementi distinti.**

Il numero dei gruppi (o sottoinsiemi) di 5 elementi di insieme di 27 elementi viene indicato con C(27,5) e chiamato “numero delle combinazioni di 5 elementi scelti tra 27 elementi distinti”

102

(103)

Estendo il problema: la distribuzione binomiale

• n prove (=lanci di moneta)

• Qual è la probabilità di ottenere k successi (=teste)

– p= probabilita' di successo= uscita di testa per una moneta (1/2) – q=(1-p) e' la sua probabilita' contraria (sempre ½)

• Sono eventi indipendenti:

– Probabilità di avere k successi su n prove! p ^k · (1-p) ^n-k

 

Probabilità = ( n k ) · p ^k · q ^n-k

• n fissato, p fissato, k varia !ho costruito una funzione della variabile k

103 forse la togliamo

(104)

GLI EVENTI RARI ARRIVANO A SCIAMI

Se un evento raro si verifica, è molto probabile che in un piccolo intervallo di tempo se ne verifichi un altro

• Il 24 Luglio 2014 cadde il terzo aereo in 8 giorni

– Air Algerie flight on July 24°

– TransAsia flight in Taiwan on July 23rd, – Malaysian Airlines in Ukraine on July 17th

• Significa che volare è pericoloso? Che non è una coincidenza?

104 http://www .pl anecr as hinf o.co m/caus e.htm

Numero di incidenti aereri negli

ultimi 40 anni!decrescita nel

tempo

(105)

GLI EVENTI RARI ARRIVANO A SCIAMI

• Rate of one every 40 days on average.

So how surprising is it that 3 should happen in a space of 8 days?

• Consider any window of 8 days.

• Mean plane crashes= 91/10 years=

91/3650 days

• Numero medio di incidenti in 8 giorni=

**8 * 91/3650 = 0.02**

crashes in any particular 8-day window.

• So assuming a Poisson distribution **P(3crashes)=(0.2^3)*EXP(-0.2)/6 =**

0.00109

!probabilità dell’un per mille che si verifichino 3 incidenti in 8 giorni!!

105

5

10

15

20 91 voli caduti in 10 anni

(106)

GLI EVENTI RARI ARRIVANO A SCIAMI

• But this is not the right question to ask.

– We should be concerned with whether such a 'cluster' is surprising over some period, say 10 years.

• In 10 years there are 456 non-over- lapping 'windows' of 8 days

• Probabilità che almeno una finestra temporale contenga 3 incidenti=

1 – la probabilità che nessuna finestra contenga 3 incidenti=

1 – (1-0.00109) ⁴⁵⁶ = 1 – 0.999 ⁴⁵⁶ = 0.40

• In realtà se considero una finestra

“scorrevole” di 8 giorni, questo

numero aumenta ! la probabilità di avere 3 incidenti in 8 giorni è il

60%!!!!

106

5

10

15

20 91 voli caduti in 10 anni