Per un campione di dati x1

Statistica Cognome:

Lauree Triennali in Biologia e Biologia Molecolare Nome:

13 luglio 2010 Matricola:

Tema D

1. Parte A

1.1. Per un campione di dati x₁, . . . , x_n, indichiamo con Q₁ e Q₃ il primo e terzo quartile, con Q0 e Q4 rispettivamente il minimo e il massimo dei valori di x1, . . . , xn, e con x la media campionaria. Si pu`o certamente affermare che

 se Q1= Q3, allora x = Q1.

 se i dati x1, . . . , x_n non sono tutti uguali tra loro, allora Q₁ ≤ x ≤ Q₃.

 se Q0= Q₃, allora Q₄ = Q₁.

 Q0≤ x ≤ Q₄.

1.2. Lancio un dado regolare a sei facce e, indipendentemente, una moneta equilibrata sulle cui facce sono riportati i punteggi 1 e 2. Il punteggio totale `e la somma del punteggio ottenuto con il dato e quello ottenuto con la moneta. Qual `e la probabilit`a che il punteggio totale sia 3?

 ²₃

 ₁₂¹

 ⁵₆

 ¹₆

1.3. Sia z_α il percentile della distribuzione normale standard. Se Z ∼ N (0, 1), la probabilit`a P (Z ≤ z_α) vale

 1 − zα

 zα

 α

 1 − α

1.4. Sono dati due eventi A e B di uno spazio di probabilit`a tali che P (A) = P (B) e P (A∩B) =

1

4. Quale dei seguenti valori certamente non pu`o essere assunto da P (A)?

 ¹₄

 ³₄

 ¹₂

 ₁₆⁹

1.5. In un test per la media incognita µ di un campione normale a varianza nota ottengo una media campionaria x = 2.5. Allora

 l’ipotesi H0: µ ≤ 2.3 `e rifiutata solo per livelli di significativit`a sufficientemente alti.

 l’ipotesi H0: µ ≤ 2.3 `e rifiutata a qualunque livello di significativit`a.

 l’ipotesi H0: µ ≥ 2.3 `e rifiutata a qualunque livello di significativit`a.

 l’ipotesi H0: µ ≥ 2.3 `e rifiutata solo per livelli di significativit`a sufficientemente alti.

1

2

1.6. Sia Y ∼ B(8n,¹₂) e sia Z := ^{Y −an}_b^√_n . Per quali valori delle costanti a, b la variabile Z ha una distribuzione approssimativamente normale per n grande?

 a = 2, b = 4

 a = 4, b = 4

 a = 2, b = 2

 a = 4, b = 2

1.7. Si vuole testare l’indipendenza del sesso di una persona dal fatto di essere o non essere fumatore. Esaminando un campione di individui, il valore della statistica del test `e T = 3.18.

Sapendo che χ²_0.05,1 = 3.84 e χ²_0.05,1 = 6.53, si pu`o concludere che

 il valore-p del test `e compreso tra 1% e 5%.

 il valore-p del test `e minore di 1%.

 il valore-p del test `e maggiore di 5%.

 nessuna delle precedenti (per rispondere `e necessario conoscere l’ampiezza del campione di individui esaminato).

2. Parte B

2.1. In una specie vegetale non modificata geneticamente, il 5% degli esemplari viene colpito da una malattia che rende il prodotto non idoneo alla commercializzazione. Vengono monitorati 1024 esemplari di una versione geneticamente modificata della specie, e di essi 37 vengono colpiti dalla malattia. Questi dati sono sufficienti a concludere, a livello di significativit`a del 5%, che la versione modificata geneticamente sia meno vulnerabile rispetto alla malattia considerata?

Soluzione. Usiamo un test su una proporzione, per l’ipotesi nulla H₀ : p ≥ 0.05. Posto ˆ

p = ₁₀₂₄³⁷ , la statistica test `e

st p − 0.05ˆ p0.05(1 − 0.05)/√

1024 ' −2.0361.

Essendo z_0.05= 1.645 < −st, H₀ non rifiutata: questi dati sono sufficienti a concludere, a livello di significativit`a del 5%, che la versione modificata geneticamente sia meno vulnerabile rispetto alla malattia considerata

3

2.2. Un ente internazionale di controllo del volo ha reso pubblici i dati relativi agli interventi di manutenzione straordinaria, dovuti alla prematura usura di alcune parti, per un modello di velivolo usato per voli di medio raggio. La tabella seguente riporta il numero di tali interventi per un campione di 191 esemplari di tale modello, nel triennio 2006-2008.

n. di aerei n. di interventi

64 0

58 1

36 2

20 3

7 4

4 5

1 6

1 7

0 8 o pi`u

Questi dati sono compatibili con l’ipotesi che il numero di interventi di manutenzione straordi- naria per triennio abbia distribuzione di Poisson?

Soluzione. Il primo passo nel test di buon adattamento consiste nello stimare il parametro della distribuzione di Poisson. Dalla tabella di frequenza si ottiene ˆλ = x = 1.31. Otteniamo la seguente tabella, in cui le frequenze attese sono calcolate con la formula

e^−1.311.31^k k! 191 per k ≤ 7.

n. di incidenti frequenza frequenza attesa

0 64 51.32

1 58 67.45

2 36 44.32

3 20 19.41

4 7 6.38

5 4 1.68

6 1 0.37

7 1 0.07

8 o pi`u 0 0.01

Poich´e vi sono troppe frequenze attese minori di 5, la tabella va ridotta come segue:

n. di incidenti frequenza frequenza attesa

0 64 51.32

1 58 67.45

2 36 44.32

3 20 19.41

4 7 6.38

5 o pi`u 6 2.12

Da questa si calcola la statistica test:

st = 64 − 51.31)⁶

51.32 + · · · + (6 − 2.12)²

2.12 ' 13.19.

Poich´e st > χ²_0.05,4 = 9.488, l’ipotesi H₀ di adattamento alla distribuzione di Poisson viene rifiutata: i dati non sono compatibili con l’ipotesi che il numero di interventi di manutenzione straordinaria per triennio abbia distribuzione di Poisson.

4

2.3. Secondo un modello correntemente in uso, la probabilit`a che all’interno di un anno solare l’indice azionario MIB30 subisca una variazione percentuale superiore al 20% `e 0.07; inoltre le variazioni percentuali in anni diversi si possono ritenere indipendenti. Sia X il numero di anni solari, compresi tra il 2011 e il 2040 (i prossimi 30 anni), in cui si verificher`a una variazione percentuale del MIB30 superiore al 20%. Sia infine A l’evento che almeno una volta, neo prossimi 30 anni, si verificher`a una variazione percentuale del MIB30 superiore al 20% all’interno dello stesso anno solare.

a) Si determini la distribuzione della variabile X e si calcoli la probabilit`a dell’evento A.

b) Si calcoli la probabilit`a dell’evento A usando l’approssimazione di Poisson.

c) Si calcoli la probabilit`a dell’evento A usando l’approssimazione normale. `E lecito farlo?

Soluzione.

a) Per lo schema delle prove ripetute e indipendenti, X ∼ B(30, 0.07). Di conseguenza P (A) = P (X > 1) = 1 − P (X = 0) − P (X = 1) = 1 −30

0



0.07⁰0.93³⁰−30 1



0.07¹0.93²⁹

= 1 − 0.93³⁰− 30 · 0.07 · 0.93²⁹' 0.6306 .

b) Per l’approssimazione di Poisson X ≈ Y := P o(30 · 0.07) = P o(2.1), quindi P (A) ' P (Y > 1) = 1 − P (Y = 0) − P (Y = 1) = 1 − e^−2.1− e^−2.1· 2.1 = 0.6204 . c) Secondo le regole viste a lezione non sarebbe lecito usare l’approssimazione normale,

perch´e np = 30 · 0.07 = 2.1 < 5. Tuttavia il risultato `e comunque discreto: usando l’approssimazione di continuit`a, dato che E(X) = 30 · 0.07 = 2.1 e V ar(X) = 30 · 0.07 · (1 − 0.07) = 1.953, si ottiene

P (X > 1) = P (X > 1.5) = P X − 2.1

√

1.953 > 1.5 − 2.1

√ 1.953



= P (Z > −0.43) = Φ(0.43) = 0.6664.