1 Analisi di Superfici Selettive in Frequenza

1 Analisi di Superfici Selettive in Frequenza

Le superfici selettive in frequenza (Frequency Selective Surface - FSS) per le onde elettromagnetiche sono strutture bidimensionali, periodiche e, nella maggior parte delle applicazioni, planari.

Esse sono costituite da elementi (a patch o ad apertura) disposti periodicamente lungo una griglia bidimensionale. La principale caratteristica di una FSS consiste nella capacità di lasciar passare inalterate le onde elettromagnetiche in un certo range di frequenze e di riflettere tutte le altre. Questa peculiarità consente di utilizzare le FSS in un’ampia gamma di applicazioni legate alle microonde, come ad esempio per realizzare filtri da utilizzare in antenne a riflettore o in guide d’onda, per ottenere radome o, ancora, per permettere la sintesi di conduttori magnetici artificiali.

Queste strutture, allo stesso modo dei filtri dei circuiti a radiofrequenza, si comportano da filtro passa-basso o da filtro passa-alto a seconda che l’elemento sia a patch o ad

apertura. Generalmente schermi FSS del primo tipo vengono classificati come

capacitivi (Figura 1.1) e si realizzano periodicizzando nelle due direzioni spaziali una cella elementare conduttrice dalla forma più o meno complessa.

Figura 1.1 - Esempio di schermo a patch.

Nel secondo caso si parla di schermi induttivi (Figura 1.2): essi manifestano una risposta in frequenza di tipo passa-alto e vengono realizzati forando in modo periodico una superficie conduttrice. Per schermi privi di substrato dielettrico (freestanding

solution), la risposta in frequenza della struttura a patch è assolutamente complementare

a quella ad apertura.

Figura 1.2 - Esempio di schermo ad apertura.

Il principio su cui si basa il funzionamento delle FSS è simile a quello degli array di antenne anche se per questi ultimi, pur avendo una geometria simil-periodica, è più

b a conduttore dielettrico a conduttore dielettrico b

semplice poter dare una spiegazione, sia teoricamente che da un punto di vista puramente applicativo, dell’esistenza di alcune direzioni dello spazio per le quali si ha massima irradiazione e di altre per cui essa è nulla.

Per dare un’interpretazione fisica di tale principio, si pensi ad un’onda elettromagnetica piana che incide su una FSS il cui elemento periodico è di tipo a patch: tale onda genera sulle parti metalliche dello schermo delle correnti che, a loro volta, reirradiano nello spazio circostante un campo che definiamo scatterato.

Figura 1.3 - Differenza di cammino percorso dall’onda incidente

Se la direzione d’incidenza non è quella normale allo schermo, l’onda incontra ogni singolo elemento con fase differente, dovuta alla differenza di cammino percorso (Figura 1.3).

In tal caso, le correnti generate sono sfasate di una quantità dipendente dalla frequenza dell’onda che incide e dal periodo con il quale la cella elementare si ripete nella struttura. In questo modo anche i campi scatterati risultano sfasati delle stesse quantità, determinando così un campo totale reirradiato con modulo massimo in alcune direzioni dello spazio e nullo in altre. In particolare, se le correnti indotte sono tali da generare in zona di campo lontano un’onda con le stesse caratteristiche di quella incidente, si parlerà di risonanza dello schermo: ciò vuol dire che tutta l’energia elettromagnetica

θinc Onda piana incidente Superfici equifase Differenza di cammino

associata all’onda incidente viene riflessa nel semispazio sovrastante lo schermo (Figura 1.4). Quando gli elementi periodici che costituiscono lo schermo hanno proprietà risonanti, la corrispondente superficie selettiva in frequenza di tipo induttivo esibirà trasmissione totale per lunghezze d’onda prossime a quella di risonanza mentre una di tipo capacitivo sarà totalmente riflettente.

Figura 1.4 - Condizione di risonanza.

Mano a mano che ci si allontana dalle condizioni di risonanza, l’onda incidente si propaga anche nel semispazio sottostante, fino a quando la FSS non diviene totalmente trasparente ai campi elettromagnetici.

1.1 Classificazione delle FSS

Uno schermo FSS può essere classificato in base allo spessore e al materiale usato per la realizzazione secondo le seguenti macro-categorie:

• Schermo metallico spesso;

• Schermo metallico sottile;

Si parla di schermo sottile quando gli elementi hanno uno spessore minore di 1/1000 della lunghezza d’onda alla frequenza di risonanza.

Onda riflessa Onda incidente θinc θrifl

In base alla natura dei problemi trattati, per lo svolgimento di questo lavoro di tesi si è focalizzata l’attenzione unicamente sugli schermi sottili. Per analizzare le loro proprietà, si sfrutta l’approssimazione di schermo infinitamente sottile.

In base a tale approssimazione si assume che le regioni di incidenza e di trasmissione vengano direttamente a contatto nel piano del filtro, con le condizioni al contorno imposte allo stesso. Poiché gli schermi possono essere realizzati anche con tecniche fotolitografiche, è possibile produrre delle strutture planari estremamente sottili. Il modello di schermo infinitamente sottile risulta quindi una buona approssimazione per un largo intervallo di lunghezze d’onda.

Altro parametro fondamentale nello studio delle FSS è la conducibilità elettrica del materiale utilizzato per la realizzazione dello schermo. La maggior parte dei metalli impiegati è caratterizzata da notevoli proprietà conduttive su ampi range frequenziali e ciò, unitamente all’ipotesi di schermo sottile, può ridurre l’onere computazionale del problema.

Gli schermi sottili vengono spesso realizzati a partire da sottilissimi fogli metallici cresciuti o incollati su di un substrato dielettrico; è così possibile realizzare strutture simmetriche che prevedono la presenza dello schermo inserito tra due lastre di dielettrico (soluzione detta “embedded”), come mostrato in Figura 1.5.

Figura 1.5 - Struttura “embedded”.

La presenza del dielettrico non serve solo a conferire robustezza meccanica allo schermo o a proteggerlo dagli agenti atmosferici, ma può avere anche un notevole effetto sulle curve di riflessione e di trasmissione.

In generale, si può dire che l’inserzione del dielettrico comporta fondamentalmente due variazioni nella risposta in frequenza di una FSS; la prima si manifesta nello

FSS dielettrico

spostamento della frequenza di risonanza: se f è la frequenza di risonanza dello ₀

schermo nel vuoto, lo stesso, posto fra due regioni di estensione infinita con costante dielettrica εr, risuonerà per f = f0 εr . Nel caso reale non avremo due strati di

dielettrico di spessore infinito e quindi la frequenza di risonanza della struttura non sarà esattamente quella teorica ma ci tenderà all’aumentare dello spessore del dielettrico (Figura 1.6). Possiamo vedere cosa accade considerando un semplice caso pratico: analizziamo una struttura a patch ed una ad apertura complementari. Le celle elementari hanno una dimensione di 2 cm x 2 cm e si è osservata la variazione della frequenza di risonanza nei due casi, al variare dello spessore dei dielettrici che racchiudono la struttura. Il dielettrico ha una εr pari a 4.

Figura 1.6 - Struttura su cui sono state effettuate le prove.

(a) (b) Figura 1.7 - Forma delle due celle elementari simulate.

Il risultato della prova eseguita è mostrato in Figura 1.8 e si osserva come all’aumentare dello spessore del dielettrico ci si avvicini alla frequenza di risonanza aspettata pari a 13.8GHz 4 6.9 GHz= .

εr =4

εr =4 Spessore

2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6 0 0 , 2 0 , 4 0 , 6 0 , 8 1 p a t c h a p e r t u r a F req u e nz a d i ri so nan za [G h z ] s p e s s o r e d i e le t t r i c o [ c m ]

Figura 1.8 - Effetto di carico del dielettrico per uno schermo ad apertura e per uno a patch.

Si noti che anche per spessori di dielettrico estremamente piccoli (es. d=0.2 cm pari a circa 0.05 λε) lo schermo risuona ancora a frequenze prossime a f = f₀ εr . Se il

dielettrico è presente su di un solo lato della struttura, la variazione della frequenza di risonanza sarà circa pari a f = f₀ ( (εr+1) / 2).

Nel caso di dielettrici sottili, si può notare che a prescindere dal tipo di schermo (induttivo o capacitivo) lo shift in frequenza rimane lo stesso. Se però lo spessore raggiunge o supera valori nell’ordine di λε 4, gli schermi si comporteranno differentemente: uno schermo a patch avrà una frequenza di risonanza indipendente dallo spessore, mentre uno ad apertura presenterà una trasmissione unitaria per valori di frequenze che, al mutare dello spessore, variano intorno a f = f₀ ε_r , nel caso di

disposizione simmetrica del dielettrico intorno allo schermo.

Questa diversità è dovuta al fatto che mentre i patch si comportano come cortocircuiti su di una linea di trasmissione, le aperture equivalgono a circuiti aperti, con proprietà fortemente dipendenti dal dielettrico.

Le altre rilevanti caratteristiche che uno schermo FSS acquisisce in presenza di dielettrico riguardano la larghezza di banda e la frequenza di risonanza che tendono a mantenersi costanti al variare della polarizzazione dell’onda incidente e dell’angolo di incidenza, specie se si utilizzano soluzioni con schermi FSS inseriti in strutture dielettriche multistrato.

1.2 Schematizzazione delle FSS

Un tipico modo per fare una descrizione analitica delle superfici selettive in frequenza è una schematizzazione per mezzo di un circuito equivalente. A seconda che l’elemento periodicizzato sia a patch o ad apertura, si rappresenta lo schermo con due circuiti equivalenti diversi come mostrato in Figura 1.9 . Nel primo caso si rappresenta la FSS con una serie di un induttore e un condensatore mentre nel secondo caso si è soliti utilizzare un parallelo LC. A seconda della forma della cella elementare cambiano i valori dei due componenti che formano il circuito equivalente.

L

C

L

C

Figura 1.9 - Schematizzazione di una FSS per mezzo di un circuito equivalente.

Per dare una spiegazione questo tipo rappresentazione analitica possiamo prendere uno schermo periodico formato da dipoli allineati (Figura 1.10) che può essere rappresentato come una serie di un induttore, che schematizza il tratto di linea, e un condensatore che è l’equivalente circuitale del gap tra le linee.

Figura 1.10 - Rappresentazione circuitale di uno schermo.

Inizialmente avevamo detto che uno schermo a patch può essere classificato come schermo capacitivo e quindi con un comportamento passa basso facendo riferimento ai circuiti a RF. In realtà, come è facile capire anche osservando il circuito equivalente, la FSS avrà un comportamento capacitivo fino alla frequenza di risonanza e diverrà induttivo subito dopo come avviene tipicamente per una serie LC. In Figura 1.11 sono rappresentati degli andamenti tipici delle celle a patch e ad apertura ed è chiaro come sarebbe più appropriato riferirsi rispettivamente a comportamenti passa banda e elimina banda. -15 -10 -5 0 6 8 10 12 14 16 18

coefficiente di trasmissione (TE)

coefficiente di trasmissione (TM) dBi Frequenza [GHz] -40 -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 6 8 10 12 14 16 18

coefficiente di trasmissione (TE)

coefficiente di trasmissione (TM)

dB

i

Frequenza [GHz]

(a) (b) Figura 1.11 - Cella con forma a croce ad apertura (a) e la complementare a patch (b).

1.3 Studio analitico delle FSS

La tecnica più diffusa per analizzare il comportamento delle superfici in frequenza si basa sul teorema di Floquet che ci consente di stabilire il comportamento di una struttura periodica infinita conoscendo la distribuzione del campo determinata dall’incidenza di un onda piana su un singolo elemento dell’array. L’analisi del singolo patch viene fatta risolvendo l’equazione integrale nota come EFIE (Electric Field

Integral Equation) a partire dalle seguenti ipotesi iniziali:

• estensione infinita dello schermo così da poter trascurare gli effetti di bordo;

• onda incidente monocromatica o somma di onde monocromatiche; • spessore infinitesimo, come assunto in precedenza.

1.3.1

Campo reirradiato da un singolo patch

Qualora si voglia analizzare il campo elettromagnetico reirradiato da una superficie selettiva in frequenza, il primo passo da compiere è quello di mettere in relazione le correnti superficiali indotte e il campo scatterato per la configurazione geometrica più semplice, ovvero quella composta da un singolo patch conduttore (Figura 1.12).

Figura 1.12 - Singolo patch conduttore.

z y Onda incidente θinc x

Per quanto affermato in precedenza, le correnti indotte sulla superficie conduttrice reirradiano un campo che può essere espresso nel seguente modo:

( )

0 0

1

s

j

j

ωµ

ωε

= −

+

∇ ∇

E

A

A

, (1.1)

dove A è il potenziale vettore, dipendente dalla distribuzione dicorrente superficiale J

indotta sulla superficie del conduttoresecondo la seguente legge:

( )

_{G , '}

(

) ( )

_' ' _G d =

∫

= ⊗ A r r r J r r J , (1.2) con

(

)

0 ' G , ' 4 ' jk e π − − = − r r r r r r (1.3)

detta funzione di Green nello spazio libero, mentre

k

₀

=

ω

µ

₀

ε

₀ è il numero d’onda. La funzione G può essere vista come la risposta del potenziale vettore prodotta da una corrente di tipo impulsivo (funzione di trasferimento del problema). Se la distribuzione di corrente è più complicata, si può sempre rappresentare come combinazione lineare di correnti di tipo impulsivo e quindi anche il potenziale vettore sarà una combinazione lineare di G.

La condizione al contorno impone che sulla superficie del conduttore la somma delle componenti tangenziali del campo incidente e del campo scatterato si annulli, ovvero

0

s inc t = t + t =

E E E ; di conseguenza l’equazione (1.1) diventa:

(

)

0 0 1 ( ) ( ) ( ) inc t j _t j ωµ ωε = − ⎡_⎣∇ ∇ ⎤_⎦ E r A r A r . (1.4)

La (1.4) rappresenta la cosiddetta equazione integrale del campo elettrico (EFIE –

Electric Field Integral Equation) per un patch perfettamente conduttore.

Nel caso di una superficie planare sottile esisteranno soltanto le componenti J e x y

J della corrente superficiale, e quindi solo A e _x A risulteranno non nulli. Si può _y

2 2 2 0 2 0 2 2 2 0 2 0 2 i x x i y y k A E j x x y A E k k x y y ωµ ⎡ ∂ ∂ ⎤ + ⎢ ⎥ ⎡ ⎤ _⎢ ∂ ∂ ∂ _⎥ ⎡ ⎤ −⎢ ⎥= − _{⎢ ⎥} ⎢ ⎥ ∂ ∂ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ _{⎢ + ⎥} ∂ ∂ ∂ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ , (1.5) con Ax = ⊗G Jx , Ay = ⊗G Jy.

La presenza del prodotto di convoluzione e delle derivate parziali suggerisce l’uso della trasformata e antitrasformata di Fourier, da applicare alla precedente (1.5). Operando allora le seguenti trasformazioni:

2 2 G G , , , , j x j y j x y α β αβ ⊗ ↔ ∂ _↔ ∂ ∂ ↔ ∂ ∂ _↔ ∂ ∂ J J A A A A A A , (1.6)

esprimendo il secondo membro nel dominio delle frequenze spaziali e antitrasformando la (1.5) diventa: 2 2 0 2 2 0 0 ( , ) 1 1 _{( , )} ( , ) ( , ) 2 _{( , )} i x x j x j y i y y E x y k J G e e d d E x y j k J α β α β α αβ _{α β α β} π ωε αβ β _{α β} ∞ ∞ −∞ −∞ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ − − ⎤ −⎢ ⎥= ⎢ _{− −} ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

∫ ∫

⎣ ⎦ (1.7) Dove: 2 2 2 2 2 2 0 0 1 2 2 j G k α β α β k − = = − − I + − I (1.8)

con I matrice identica.

1.3.2 Array di patch monodimensionale

Utilizzando l’EFIE ottenuta per un singolo elemento, possiamo estendere l’espressione trovata al caso periodico monodimensionale grazie al teorema di Floquet (Figura 1.13).

Figura 1.13 - Array di patch monodimensionale.

Con riferimento alla figura precedente, se

d

_xè il periodo di ripetizione della cella elementare e

J x

( )

è la corrente indotta sul singolo elemento, per il teorema enunciato in precedenza, la corrente sull’elemento distante

d

_x è pari a:

( ) ( ) inc

x x

jk d x

J x+d =J x e , (1.9)

dove kincx rappresenta il numero d’onda dell’onda incidente.

Definita allora la funzione:

'( ) ( ) inc x

jk x

J x =J x e− , (1.10)

dalle (1.9) e (1.10) segue che:

( )

'(

)

(

)

in c

( )

in c

'( )

x x x jk x d jk x x x

J

x

+

d

=

J x

+

d

e

− +

=

J x e

−

=

J

x

(1.11) Tale espressione evidenzia che '( )J x è periodica di periodo dx ed è perciò esprimibile

attraverso la sua trasformata serie di Fourier:

y Onda incidente θinc x dx z

2 '( ) x n j x d n n J x J e π ∞ =−∞ =

∑

, (1.12) Dalle (1.10) e (1.12) si ottiene: 2 ( ) ( ) inc x x n n j x k x d j x n n n n e e J x J J π α ∞ + ∞ =−∞ =−∞ =

∑

=

∑

. (1.13)

Questo vuol dire che è stata effettuata una discretizzazione della frequenza spaziale α

ottenendo 2 inc n x x n k d π

α = + , che, sostituita nella espressione della EFIE per singolo

elemento conduttore (1.7), permette di ottenere l’equazione integrale per un array di patch monodimensionale: 2 2 0 2 2 0 0 ( , ) _{1 1} ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) n i x n n x n j x j y n i n x n y y n E x y _k J G e e d d j k E x y J α β α β α α β _{α β β} ωε α β β α β ∞ ∞ =−∞ −∞ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ − − ⎤ −⎢ ⎥= ⎢ _{− −} ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∑ ∫

⎣ ⎦ (1.14)

1.3.3

Array bidimensionale

A questo punto è evidente come sia possibile operare la periodicizzazione anche lungo l’asse y, sfruttando ancora il teorema di Floquet (Figura 1.14):

Figura 1.14 - Array di patch bidimensionale.

θinc x z y Onda incidente

Discretizzando anche β come fatto per α , si ottiene: 2 inc m y y m k d π β = + . (1.15)

L’equazione integrale diventa quindi:

2 2 0 2 2 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) 2 1 ( , ) ( , ) n m i x i y x _{n m j x j y} n n m n m n m y x y n m m _{n m} E x y E x y J k G e e d d j k _J α β

α β

α

α β

π

_{α β}

ωε

α β

β

α β

∞ ∞ =−∞ =−∞ ⎡ ⎤ −_{⎢ ⎥}= ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⎡ − − ⎤ = ⎢_{− −} ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ _{⎣ ⎦}

∑ ∑

(1.16)

a cui, d’ora in avanti, ci si riferirà con il termine Equazione all’operatore.

Nel caso in cui le file di celle risultino traslate di una certa quantità lungo l’asse x (Figura 1.15), le variabili discrete α_n e β_m si modificano come segue:

2 inc nm n kx a π α = ⋅ + , (1.17)

( )

( )

2 2 cot sin inc nm m n ky b a π π β = ⋅ − ⋅ Ω + Ω . (1.18)

Figura 1.15 - Celle traslate. Ω

x a

b y

Quanto detto finora è valido per schermi a patch; per uno schermo di tipo ad apertura, è possibile applicare il concetto di dualità all’equazione all’operatore, per mettere in relazione il campo magnetico diffratto con le correnti magnetiche superficiali. Imponendo inoltre la continuità del campo magnetico totale su entrambi i lati dell’apertura, si ottiene la nota equazione integrale per il campo magnetico (MFIE –

Magnetic Field Integral Equation), la cui espressione viene riportata di seguito:

2 2 0 2 2 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) 2 1 ( , ) ( , ) n m i x i y x _{n m j x j y} n n m n m n m y x y n m m n m H x y H x y M k G e e d d j k _M α β

α β

α

α β

π

_{α β}

ωµ

α β

β

_{α β}

∞ ∞ =−∞ =−∞ ⎡ ⎤ −_{⎢ ⎥}= ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⎡ − − ⎤ = _{⎢ ⎥} ⎢ ⎥ − − _{⎢ ⎥} ⎣ ⎦ _{⎣ ⎦}

∑ ∑

(1.19)

dove

M

rappresenta la corrente magnetica superficiale.

Per rendere più compatte le espressioni delle equazioni integrali relative ad una particolare configurazione e per facilitare l’implementazione sul calcolatore, le precedenti equazioni, valide in spazio libero, possono essere riscritte nel modo seguente:

(

)

(

)

2 2 0 0 2 2 0 0 0

G( ,

)

G

,

G( ,

)

G

,

G( ,

)

G

G

,

n n m XX m n m YY n m n m XY YX

k

j

k

j

j

α

α β

ωε

β

α β

ωε

α β

α β

ωε

−

⋅

=

−

⋅

=

−

⋅

=

=

(1.20)

dove le funzioni che compaiono al primo membro prendono il nome di Funzioni

diadiche spettrali di Green. Alla luce di questa riscrittura, l’equazione all’operatore

diventa:

( ,

)

( , )

2

G

G

,

( , )

G

G

_{( ,}

₎

n m i x _{n m} x XX XY j x j y i n m y y x y YX YY _{n m}

J

E x y

e

e

E x y

d d

_J

α β

α β

π

α β

∞ ∞ =−∞ =−∞

⎡

⎤

⎡

⎤

_⎡

_⎤

−

⎢

⎥

=

_⎢

_⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦ ⎢

⎥

⎣

⎦

∑ ∑

⎣

⎦

(1.21)

e, similmente, quella per il campo magnetico:

( ,

)

( , )

2

G

G

.

( , )

G

G

_{( ,}

₎

n m i x _{n m} x XX XY j x j y i n m y y x y YX YY _{n m}

M

H x y

e

e

H

x y

d d

_M

α β

α β

π

α β

∞ ∞ =−∞ =−∞

⎡

⎤

⎡

⎤

_⎡

_⎤

−

⎢

⎥

=

_⎢

_⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦ ⎢

⎥

⎣

⎦

∑ ∑

⎣

⎦

(1.22)

Le equazioni integrali per il campo elettrico e quello magnetico appena mostrate, sono valide anche considerando la superficie selettiva in frequenza immersa in strati di materiale dielettrico. In tal caso, la presenza di materiali con costante dielettrica

ε

_r diversa da 1 viene tenuta in conto dalle funzioni di Green e le equazioni (1.21) e (1.22) si modificano come segue:

G

G

( ,

)

( , )

₂

,

G

G

( , )

_{( ,}

₎

n m i x eXX eXY n m x j x j y i n m eYX eYY y y x y _{n m}

J

E x y

e

e

E x y

d d

_J

α β

α β

π

α β

∞ ∞ =−∞ =−∞

⎡

⎤

⎡

⎤

_⎡

_⎤

−

⎢

⎥

=

_⎢

_⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦ ⎢

⎥

⎣

⎦

∑ ∑

⎣

⎦

(1.23)

G

G

( ,

)

( , )

₂

.

G

G

( , )

_{( ,}

₎

n m i x eXX eXY n m x j x j y i n m eYX eYY y y x y _{n m}

M

H x y

e

e

H

x y

d d

_M

α β

α β

π

α β

∞ ∞ =−∞ =−∞

⎡

⎤

⎡

⎤

⎡

⎤

−

⎢

⎥

=

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦ ⎢

⎥

⎣

⎦

∑ ∑

⎣

⎦

(1.24)

Se invece il conduttore presenta una conducibilità finita, è necessario apportare una

modifica alle condizioni al contorno. L’equazione s inc 0

t = t + t = E E E _diventa: i s x x x s i s y y y

J

E

E

Z

J

E

E

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎡ ⎤

+

=

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

, (1.25) dove Z_s (1 j) σδ +

= rappresenta l’impedenza superficiale. È quindi evidente che

nell’equazione all’operatore (1.21) andrà aggiunto il prodotto che figura al secondo membro dell’ultima equazione riportata.

1.4

Soluzione dell’equazione all’operatore

Le equazioni all’operatore mostrate in precedenza possono essere riscritte nella seguente maniera simbolica:

∗ =

L u

g

, (1.26)

dove

g

è un vettore noto rappresentante il campo elettrico (o magnetico) incidente;

u

è un vettore incognito riferito alla corrente superficiale elettrica (

J

) o magnetica (

M

);

L

è un operatore che mette in relazione il vettore

u

con quello

g

. Concentrandoci in particolare su ciò che accade al campo elettrico, la notazione (1.26) diventa:

∗ =

L J

E .

Un’equazione di questo genere si può risolvere con il Metodo dei Momenti

(MoM).

Innanzitutto occorre esprimere il vettore incognito J in termini di un set di funzioni base conosciute f:

n n n

C

=

∑

J

f

, (1.27)

dove con

C

_n si sono indicati i coefficienti incogniti e con

f

_n la generica funzione appartenente alla base scelta. In questo modo l’equazione all’operatore può essere riscritta nella forma:

n n

n

C

=

∑

∗

E

L f

. (1.28)

Si definisce poi il seguente prodotto scalare:

*

,

Superficie

ds

=

∫

•

a b

a

b

nel caso di patch (1.29)

,

* Apertura

ds

=

∫

× •

a b

a

b z

nel caso di apertura, (1.30)

,

,

i i j j j

C

=

∑

∗

W E

W

L f

(1.31)

che, in termini matriciali diventa:

1 1 1 2 1 3 1 2 1 2 2 2 3 2 1 2 , , , ... , ... , , , ... , ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... , , n n n n n ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ W L f W L f W L f W L f W L f W L f W L f W L f W L f W L f W 1 1 2 2 3 3 3 , , , ... ... , ... , ... , ... ... ... ... ... ... ... ... n n n n C C C C ⋅ = ∗ ∗

⎡

⎤ ⎡ ⎤ ⎡

⎤

⎢

⎥ ⎢ ⎥ ⎢

⎥

⎢

⎥ ⎢ ⎥ ⎢

⎥

⎢

⎥ ⎢ ⎥ ⎢

⎥

⎢

⎥ ⎢ ⎥ ⎢

⎥

⎢

⎥ ⎢ ⎥ ⎢

⎥

⎢

⎥ ⎢ ⎥ ⎢

⎥

⎢

⎥ ⎢ ⎥ ⎢

⎥

⎣

⎦ ⎣ ⎦ ⎣

⎦

W E W E W E L f W L f W E (1.32)

Limitando la sommatoria e invertendo la matrice, è possibile ricavare il vettore dei coefficienti incogniti

:

1 1 1 1 2 1 3 1 2 2 1 2 2 2 3 2 3 , , , ... , ... , , , ... , ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... n n n C C C C ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ =

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

W L f W L f W L f W L f W L f W L f W L f W L f 1 2 3 1 2 3 , , , . ... ... ... , , , ... , ... , ... ... ... ... ... ... ... 1 n n n n n n ⋅ ∗ ∗ ∗ ∗ −

⎡

⎤

⎡

⎤

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

⎣

⎦

W E W E W E W L f W L f W L f W L f W E (1.33)

Determinati i coefficienti

C

_j, che rappresentano quindi le ampiezze incognite delle immagini delle funzioni

f

, alle quali viene applicato l’operatore

L

nello spazio vettoriale definito da

W

, si risale al vettore

J

.

I prodotti scalari che figurano all’interno della matrice possono essere calcolati efficacemente ricorrendo ad una integrazione numerica di tipo gaussiano (Gaussian

quadrature), mentre quelli che costituiscono il vettore a secondo membro sono, per la

forma di i

E

, le trasformate di Fourier delle funzioni

W

di prova, calcolate in inc x

k

α

=

e inc y k β = .

1.5

Le Funzioni di Base

Alla luce della disamina precedente, il problema che si pone è quello di scegliere in maniera opportuna le funzioni di base, visto che esse determinano la velocità e la convergenza dell’algoritmo. Esse devono essere scelte in modo che:

• la matrice risultante sia di ordine minimo; • siano soddisfatte le condizioni al contorno;

• siano trasformabili analiticamente secondo Fourier in modo che non sia richiesta un calcolo numerico della trasformata;

• le loro trasformate debbano decadere rapidamente affinché i prodotti scalari nei quali compaiono abbiano un numero di termini ridotto.

Le funzioni che soddisfano i requisiti elencati si suddividono in due categorie: esistono funzioni definite sull’intero dominio mentre ve ne sono altre definite solo sui sottodomini. Le prime consentono di sfruttare una matrice risultante di ordine ridotto ovvero invertibile secondo il metodo dell’eliminazione gaussiana, ma dovendo soddisfare condizioni al contorno sull’intero dominio si prestano ad un utilizzo efficace solo per geometrie caratteristiche; le seconde, invece, danno luogo spesso ad elevato numero di incognite e quindi a matrici risolventi piuttosto grandi che vengono risolte in maniera più efficiente tramite schemi iterativi come il metodo del gradiente coniugato. In particolare, per geometrie arbitrarie, la scelta delle funzioni di base ricade sulla classe di funzioni definite sui sottodomini. In tal caso, tutte le funzioni hanno lo stesso andamento, il numero necessario per rappresentare le correnti aumenta. Un caso in cui il numero delle incognite è molto grande è quello delle FSS multischermo.

Nonostante questi svantaggi, che possono comunque esser compensati dall’uso di metodi di calcolo rapidi quali la FFT (Fast Fourier Trasformer), l’uso di funzioni definite su sottodomini è comunque preferibile rispetto a quello di funzioni definite sull’intero dominio in quanto, usando le prime, viene a cadere la dipendenza dalla geometria della cella elementare. Il solver elettromagnetico realizzato presso il

laboratorio di propagazione e microonde utilizza delle funzioni vettoriali definite sui sottodomini che prendono il nome di funzioni Roof-Top.

1.5.1

Le Funzioni Roof-Top

Le funzioni base comunemente utilizzate per questo tipo di problema sono le cosiddette funzioni roof-top (Fig. 1.16 b). Queste sono funzioni di tipo vettoriale che assumono valore unitario allo spigolo congiungente una coppia di rettangoli e valore nullo agli spigoli opposti.

Nel caso fosse sufficiente utilizzare delle funzioni di base definite su dei sottodomini rettangolari (come accade per le superfici selettive in frequenza), le funzioni roof-top sono definite su ogni coppia di elementi rettangolari attigui come mostrato in Figura 1.16. In questo caso il vettore che rappresenta la funzione di base è ortogonale allo spigolo in comune. Questo tipo di funzione è molto indicata per approssimare adeguatamente le componenti lungo le due direzioni principali delle correnti.

ε_r y x 1 0 0

Figura 1.16 - Funzioni di base roof-top su sottodomini rettangolari.

Facendo riferimento al particolare problema in esame e alla Figura 1.17, riscriviamo l’espressione analitica delle funzioni roof-top come prodotto delle seguenti funzioni:

( )

( )

1, , 2 0 , 1 , . 0 , y x y y m y H m altrove x n x x n x x n x altrove ∆ ⎧ _{− ∆ ≤} ⎫ ⎪ ⎪ = ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎧ − ∆ ⎫ − − ∆ ≤ ∆ ⎪ ⎪ Λ =_{⎨ ∆ ⎬} ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ (1.34)

Figura 1.17 - Funzioni di base roof-top per FSS.

Al fine di rappresentare la corrente su di una superficie per mezzo di tali funzioni di base, è necessario discretizzare la cella elementare, di dimensioni (a b× ), in (N×N)

sottocelle elementari di dimensioni ∆ =x a N/ e ∆ =y b N/ . In tal modo, per ogni

subcella viene definito un vettore superficiale di corrente e, nell’equazione all’operatore, è possibile utilizzare la FFT al posto della trasformata continua di Fourier (TCF).

Le espressioni analitiche delle componenti della densità di corrente lungo le due direzioni spaziali sono le seguenti:

(

) (

)

(

) (

)

2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2

,

, ,

,

, .

N N x x x n N m N N N y y y n N m N

J

I

m n B m n

J

I

m n B m n

− − =− =− − − =− =−

=

=

∑ ∑

∑ ∑

(1.35)

dove I e _x I sono le ampiezze delle correnti elementari, mentre _y B e _x B sono le _y

funzioni della base la cui espressione è:

(

)

( )

(

)

( )

1

,

,

2

1

,

.

2

x x x y y y

B n m

n

H

m

B n m

H

n

m

⎛

⎞

= Λ

_⎜

+

_⎟

⎝

⎠

⎛

⎞

=

Λ

_⎜

+

_⎟

⎝

⎠

(1.36)

Imponiamo inoltre le seguenti condizioni e notazioni semplificative:

( )

_0,0

12

_,

inc inc x y i j k n x k m y i x

B

d

e

⎛ ⎛ ₊ ⎞_{∆ + ∆} ⎞ ⎜ ⎜_⎝ ⎟_⎠ ⎟ ⎝ ⎠

⋅ ⋅

=

⋅

∫

E

S

W

(1.37)

(

) (

)

(

) (

)

TCF

,

,

,

TCF

,

,

,

x x x x n m y y y y n m

J

J

I

m n B m n

J

J

I

m n B m n

∞ ∞ =−∞ =−∞ ∞ ∞ =−∞ =−∞

⎡

⎤

=

_⎢

=

_⎥

⎣

⎦

⎡

⎤

=

_⎢

=

_⎥

⎣

⎦

∑ ∑

∑ ∑

(1.38)

(

) (

)

(

)

(

)

(

) (

)

(

)

(

)

TCF

, , ,

,

,

, , ,

,

TCF

, , ,

,

,

, , ,

.

x x x x y y y y

B m n x y

I

n m

I

m n

B

m n

B m n x y

I

n m

I

m n

B

m n

α β

α β

⎡

⋅

⎤

=

⋅

⎣

⎦

⎡

⋅

⎤

=

⋅

⎣

⎦

∑∑

∑∑

∑∑

∑∑

(1.52)

La (1.35) può essere riscritta nella seguente forma, utile per una rappresentazione in termini matriciali: n n n

C

=

∑

I

f

. (1.39)

A questo punto, è possibile applicare i seguenti prodotti scalari:

,

,

i i j j j

C

=

∑

∗

W E

W

L f

(1.40)

all’equazione all’operatore per il campo elettrico:

( ,

)

( , )

₂

G

G

.

( , )

_G

_G

_{( ,}

₎

n m i x XX XY _{n m} x j x j y i n m y y x y YX YY _{n m}

J

E x y

e

e

E x y

d d

_J

α β

α β

π

α β

∞ ∞ =−∞ =−∞

⎡

⎤

⎡

⎤

⎡

⎤

−

⎢

⎥

=

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥ ⎢

⎥

⎣

⎦

∑ ∑

⎣

⎦ ⎣

⎦

(1.41)

Scegliamo di imporre la condizione di Galerkin, assumendo le funzioni di base uguali a quelle di prova:

= =

W

f

B

. (1.42)

Tale espressione può essere risolta mediante un metodo diretto oppure con l’impiego di metodi iterativi, quale quello del gradiente coniugato.

Una volta noti i coefficienti delle funzioni base e, quindi, le correnti superficiali, è possibile ricostruire la componente tangenziale del campo elettrico reirradiato, la cui espressione in termini di armoniche di Floquet vale:

0 0 0 00 p q pq j x j y j z j x j y j z s s pq p q

e

α

e

β

e

γ

e

α

e

β

e

γ ∞ ∞ − − =−∞ =−∞

=

+

∑ ∑

E

E

E

(1.43) dove 2 2 2 0 pq p p k γ = α +β − .

Volendo esprimere il campo scatterato in termini di potenziali elettrico e magnetico l’espressione precedente diventa:

(

)

0 0

1

s s s s

j

j

ωµ

ωε

= −∇ ×

−

+

∇ ∇ ⋅

E

F

A

A

, (1.44) dove con s

A e F si sono indicati, appunto, i potenziali vettore elettrico e magnetico la s

cui espressione analitica, valutata per z=0 è:

ˆ

,

ˆ

.

p q pq p q pq j x j y j z s TM pq p q j x j y j z s TE pq p q

z

R

e

e

e

z

R e

e

e

α β γ α β γ ∞ ∞ =−∞ =−∞ ∞ ∞ =−∞ =−∞

=

=

∑ ∑

∑ ∑

A

F

(1.45)

Come si può notare, i potenziali sono funzione dei coefficienti di riflessione; sostituendo allora tali espressioni nella (1.44) e sfruttando l’ortogonalità delle armoniche di Floquet, è possibile risalire ai coefficienti di riflessione e, in maniera analoga, a quelli di trasmissione per una superficie selettiva in frequenza. Di seguito si riportano le espressioni di questi ultimi per la polarizzazione TE e quella TM, ottenibili dalle relazioni precedenti mediante alcuni semplici passaggi:

(

)

(

)

{

}

(

)

(

)

(

)

{

}

(

)

2 2 2 2 0 , , , , , , / n m n mn m m n mn TE mn m n m m n mn n m n mn TM mn m n mn j R R β α β δ α α β δ α β α α β δ β α β δ α β γ ωε ⎡ ₊ ⎤₋ ⎡ ₊ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ = + ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ − _⎢ + _⎥+ _⎢ + _⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ = + s r s r x x y y s r s r x x y y E E E E E E E E (1.46)

(

)

(

)

{

}

(

)

(

)

(

)

{

}

(

)

2 2 2 2 0 , , , , , . / n m n mn m m n mn TE mn m n m m n mn n m n mn TM mn m n mn j R R β α β δ α α β δ α β α α β δ β α β δ α β γ ωε ⎡ ₊ ⎤₋ ⎡ ₊ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ = + ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ − _⎢ + _⎥+ _⎢ + _⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ = + s t s t x x y y s t s t x x y y E E E E E E E E (1.47)

In tali espressioni, la trasformata di Fourier è stata indicata per mezzo dell’operatore E .

1.6

Il Solver elettromagnetico FSS2

Il programma di simulazione, che viene anche utilizzato dall’Algoritmo Genetico, permette di analizzare lo scattering da superfici selettive in frequenza, risolvendo l’equazione all’operatore EFIE mostrata nei paragrafi precedenti, attraverso l’applicazione del Metodo dei Momenti.

Esso approssima le correnti indotte con le funzioni roof-top definite sui sottodomini, utilizza funzioni di prova uguali a quelle di base (secondo il metodo di Galerkin) e risolve l’equazione matriciale mediante il metodo di eliminazione gaussiano. Si suppone implicitamente che la FSS sia di estensione infinita e che essa sia composta da:

• uno o più strati di dielettrico;

• uno schermo FSS composto di materiale perfettamente conduttore (PEC) o di materiale con perdite (nel tal caso, sarà necessario fornire al simulatore il valore dell’impedenza superficiale complessa);

• un piano di massa perfettamente conduttore (opzionale) come ultimo

strato.

Il programma accetta come cella elementare della FSS una sua versione discretizzata attraverso una matrice di dimensione 16x16, composta di 1 o 0 a seconda che la sottocella sia di materiale conduttore o di dielettrico. Il programma controlla ognuna delle 256 locazioni di questa griglia: se una qualsiasi sottocella e quella immediatamente alla sua sinistra o alla sua destra sono ambedue fatte di materiale perfettamente conduttore (ovvero nella matrice corrisponde ad entrambe un 1), viene assegnata alle due locazioni una funzione roof-top, centrata tra le due e rappresentante la corrente diretta lungo x; la stessa operazione viene ripetuta lungo le colonne della matrice: ovviamente, in questo caso, la funzione roof-top rappresenterà la corrente diretta lungo y. La Figura 1.18 mostra come vengono assegnate le funzioni di base e, quindi, il meccanismo illustrato in precedenza:

Figura 1.18 - Dettaglio delle funzioni di base assegnate alle sottocelle della FSS.

La convergenza della soluzione si ha se il passo di discretizzazione è inferiore a λ/10. In via alternativa, una versione modificata del programma consente una discretizzazione della cella attraverso una matrice 32x32; ciò ci permette di suddividere il sottodominio

in ben 1024 locazioni alle quali sono assegnate le funzioni roof-top come visto in precedenza. Questo maggiore accuratezza spaziale non è altro che un affinamento della mesh che ci consente di avere risultati più vicini a quelli reali. Questo naturalmente si paga con un aumento piuttosto consistente dei tempi di simulazione e deve naturalmente essere il progettista a valutare l’utilità di questo affinamento delle soluzioni. L’eventualità di ricorrere a questa discretizzazione più fitta è decisa in base alla lunghezza d’onda relativa alla più alta frequenza per la quale si analizza il problema elettromagnetico in questione. Ad esempio si esamini il caso in cui sia da compiere una analisi fino a 20 GHz: per tale frequenza la lunghezza d’onda è 1,5 cm. Si supponga altresì di stare utilizzando una cella di 1,6 cm: una discretizzazione 16x16 porta a una suddivisione della cella elementare in locazioni di 0.1 cm x 0.1 cm e quindi, essendo rispettata una discretizzazione del dominio con passo inferiore a λ/10, ci aspettiamo risultati abbastanza accurati senza ricorrere a una mesh più fitta. Nel caso in cui la cella elementare fosse stata di 3,2 cm una discretizzazione 16x16 non avrebbe garantito la convergenza della soluzione.

Per quanto concerne le prestazioni, il suddetto programma si è dimostrato affidabile ed accurato poiché permette di determinare, per entrambe le polarizzazioni (TE e TM) e per qualunque forma della cella elementare (nei limiti della discretizzazione) le seguenti quantità, con un grado di attendibilità dei risultati ottenuti grazie al calcolo della potenza di ogni singola armonica di Floquet:

• modulo e fase dei coefficienti di riflessione e trasmissione sia quando è fissata la direzione d’incidenza (θ ϕ_inc, _inc) sia quando è fissata la frequenza e uno degli angoli che individuano la direzione di incidenza;

• i coefficienti delle correnti indotte;

1.7

FSS in configurazione multischermo

Le FSS multischermo (Figura 1.19) si ottengono alternando strutture a singolo schermo le cui geometrie possono anche differire tra loro. Tali strutture sono impiegate quando le soluzioni offerte da singoli schermi non riescono a soddisfare le specifiche di progetto:

la possibilità di utilizzare configurazioni a più schermi ci permette di aumentare il numero dei gradi di libertà su cui agire al fine di ottenere una FSS con la risposta in frequenza desiderata.

Figura 1.19 - FSS in configurazione multischermo.

Lo studio di schermi selettivi compositi è stato affrontato in diversi modi. Ad esempio, un metodo è quello di studiare lo schermo nella sua interezza, vale a dire esaminando in successione le interazioni dell’onda incidente con i vari strati. Ogni interazione è valutata con le tecniche d’analisi esaminate nei paragrafi precedenti. In tal caso, però, il numero delle variabili necessarie a rappresentare le correnti dipende fortemente dalla geometria delle celle elementari: se N N₁, ₂,…N_N sono il numero delle

incognite relative al primo, secondo…ennesimo schermo, l’applicazione del metodo dei momenti porta all’inversione di una matrice con un numero di elementi pari a

2 1 2

(N +N + +… N_N) . Come ben si può immaginare, matrici di dimensioni elevate non solo richiedono tempi di calcolo proibitivi ma spesso non possono essere neppure utilizzate con il MoM.

Per ovviare a tali inconvenienti, è necessario ricercare un approccio generale che si svincoli dalla configurazione specifica e ricerchi un parametro complessivo che descriva efficientemente tutto il sistema. Ad esempio, una matrice di “scattering” è un valido parametro complesso: questa si ricava modellizzando una struttura con un insieme di dispositivi (teorici e non fisici) dotati di porte d’ingresso e di uscita.

Per calcolare i parametri di “scattering” si fa uso delle armoniche di Floquet. Si è esaminata la scomposizione dei vettori elettrico e magnetico in armoniche di Floquet:

ˆ

( , , )

( , )

( , )

,

ˆ

( , , )

( , )

( , )

,

zmn rmn rmn zmn rmn rmn jk z t rmn z r m n jk z t rmn z r m n

x y z

x y

e

x y

e

x y z

x y

h

x y

e

α

α

± ±

⎡

⎤

=

_⎣

+

⋅

_⎦

⎡

⎤

=

_⎣

+

⋅

_⎦

∑∑∑

∑∑∑

E

e

z

H

h

z

(1.48)

dove i coefficienti modali α_mn, insieme alla componente z del vettore d’onda k, identificano un’armonica spettrale di Floquet. Il segno che precede l’argomento dell’esponenziale vale + se il verso della direzione dell’armonica è concorde con il verso ˆn della direzione di propagazione dell’onda incidente, vale – nel caso contrario. Le variabili discrete m e n appartengono allo spazio di Floquet e rappresentano l’ordine dell’armonica, mentre il simbolo r può assumere i valori 0 o 1 qualora ci si riferisca, rispettivamente, alla componente TE o a quella TM dell’onda incidente. Le somme in m ed in n coinvolgono teoricamente un numero infinito di elementi, ma possono essere limitate mediante l’impiego di un criterio di troncamento.

La componente lungo z del numero d’onda k è:

2 2 2 2

_,

mn m n

z x y

k

=

k

−

k

−

k

dove k rappresenta la costante di propagazione:

2 2 k =ω µε

e contiene le informazioni sulla natura del mezzo nel quale le armoniche si manifestano. La differenza fra i modi evanescenti e quelli d’effettiva propagazione è data dal valore di kz. Se quest’ultimo è immaginario, cioè se:

2 2 2

_,

m n

x y

k

<

k

−

k

l’armonica associata, invece di propagarsi, si attenua.

In corrispondenza della superficie di discontinuità, le componenti trasversali e parallele del campo elettrico sono definite come:

ˆ ( , ) ( , ), ˆ ( , ) ( , ), TEmn TMmn mn mn x y x y x y x y ψ ψ = −∇× ⋅ = ∇× ⋅ t t e z h z (1.49) 2 2 2 2 1 ( , ) ( ) ( , ), 1 ( , ) ( ) ( , ). TEmn mn TEmn mn z z mn z z mn e x y K K x y j h x y K K x y j ψ ωε ψ ωµ = − = − (1.50)

Esiste inoltre una relazione fra i vettori del campo elettricoe e del campo magneticot h t dovuta alla natura d’onda piana d’ogni singola armonica:

ˆ , 1 ˆ , TEmn TEmn TMmn TMmn TEmn TMmn η η × = ± × = ± t t t t n e h h n e (1.50)

dove i simboli

η

sono definiti impedenze d’armonica:

, . TE mn Zmn Zmn TM mn K K ωµ η η ωε = = (1.51)

Nella (1.50) sono state impiegate le componenti trasversali delle armoniche scalari di Floquet: ( ) 1 ( , ) xm yn , mn x y j k x k y x y e T T

ψ

= + ⋅

con Tx e Ty dimensioni della cella elementare. Le informazioni riguardo l’angolo

d’incidenza sono contenute nelle componenti trasversali del numero d’onda: 2 sin( ) cos( ), 2 sin( )sin( ). xm x yn y k m k T k n k T π _{θ θ} π _{θ θ} = + = +

Per quanto riguarda la direzione d’incidenza e la direzione di armonica in corrispondenza di ogni interfaccia, occorre tener presente che deve essere verificata la continuità dei campi trasversali; qualora i mezzi siano uguali, vi è corrispondenza fra direzione d’incidenza e direzione d’ogni singola armonica. In caso contrario, ognuna di tali direzioni deve essere calcolata mediante la relazione di Snell.

La scomposizione dei campi appena descritta suggerisce di trattare le strutture multischermo allo stesso modo dei circuiti a microonde; definendo infatti un’onda di

tensione normalizzata come:

ˆ

( )

zmn

,

rmn rmn

jk z

V

±

z

=

α

∗

±

∫

e

_t

× ⋅

h n

*_t

dS e

⋅

± _(1.52)

è possibile relazionare i vettori d’onda di tensione normalizzata incidente VI _{(noto) e}

quello reirradiato VS _{(incognito) attraverso l’introduzione della cosiddetta matrice di}

scattering S:

.

S I

V = S V

(1.53)

L’integrale sotto radice nella (1.52) è risolvibile grazie alla relazione (1.50): ˆ

( )

× * = × ×

t t t t

e h e n e (1.54)

ed alle proprietà di ortogonalità delle armoniche di Floquet:

2 ' ' 0 mn m n per m,n = m',n', dS altrimenti. ∗ ⎧⎪ ⋅ _{= ⎨} ⎪⎩

∫

_{e e} et (1.56) 2 ' ' 0 t mn m n per m,n = m',n', dS altrimenti. ∗ ⎧⎪ ⋅ _{= ⎨} ⎪⎩

∫

h h h (1.57)

La relazione (1.52) può essere anche espressa come: 1 ( ) , ( ) , zmn TEmn zmn TM mn jK z TEmn TEmn TEmn jK z TMmn TMmn TMmn V z e V z e α η α η ± ± ± ∗ ± ± ± ∗ = = t t e h (1.58) ed il modulo dei vettori tangenziali è esprimibile come:

2 2 ( ), TM mn = TM mn = Kxm+Kyn t t h h (1.60) essendo

ˆ

( , )

(

)

( , ),

ˆ

( , )

(

)

( , ).

mn xm yn mn mn xm yn mn

x y

j K

K

x y

x y

j K

K

x y

ψ

ψ

ψ

ψ

−∇ × ⋅

= −

−

∇ × ⋅

=

−

z

x

y

z

x

y

(1.61)

La notazione matriciale mostrata in precedenza, con similitudine al caso dei circuiti a microonde, può essere allora riscritta come:

1 1 2 2 11 12 21 22 , S I S I V V V V ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = ⋅ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ S S S S (1.62)

dove il generico elemento della matrice è, in realtà, una sottomatrice del tipo:

S S I I S S I I TE TE pqTE pqTM pq TM TM pqTE pqTM ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ S S S S S (1.63)

i cui elementi sono a loro volta suddivisi in:

1 1 1 2 2 2 1 2 / / . . . . . . . . . . . . S I TE M pqTE M p p ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ S S S S S S (1.64)

Nella precedente espressione, i pedici 1 e 2 si riferiscono ai semispazi divisi dalla superficie di discontinuità mentre gli indici si riferiscono ai punti dello spazio di Floquet.

Il procedimento mostrato coincide, nella pratica, con il considerare i due semispazi divisi da una superficie di discontinuità che può essere assimilata ad un circuito a due porte rappresentabile come mostrato in Figura 1.20.

Figura 1.20 - Discontinuità schematizzata attraverso un dispositivo a due porte

Per questo generico dispositivo si può facilmente definire il seguente parametro di “scattering”: ( ) ( ) ' ' '( ) ( ) ( ) ( ) Sp rmn S rmn S pq r m n I Iq rmn S V z S V z = (1.65)

Configurazioni simmetriche (S12=S21=T) e/o reciproche (S11=S22=R) agevolano il

computo della matrice S e snelliscono la procedura di calcolo.

I parametri di “scattering” si dividono quindi in trasmissione (sottomatrici S₁₂ e S₂₁) e

cross-polarizzazione ( TM TE

S oppure STETM). Questi parametri sono detti generalizzati

perché si riferiscono indifferentemente ad onde evanescenti o viaggianti.

La forza di questo metodo consiste nella possibilità di riunire matrici di “scattering” relative a sistemi diversi connessi in cascata e determinare un’unica matrice complessiva che descriva completamente il sistema composito. In tal modo, il problema si riduce ad un puro esercizio di geometria analitica: ponendo, infatti, due sistemi in cascata (Figura 1.21),

Figura 1.21 - Schematizzazione della cascata di due dispositivi.

le due matrici risultano:

' ' ' ' ' ' , Sa Ia aa ab Sb Ib b a b b ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ S S V V S S V V (1.66) ' ' ' ' ' ' , Sa Ia aa ab Sb Ib b a b b ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ S S V V S S V V (1.67) '' '' ' '' '' '' Sb Ib b b b c Sc Ic cb cc ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ S S V V S S V V . (1.68)

Per le armoniche non evanescenti vale la relazione: '' ' ' '' Ib Sb Ib Sb = = V PV V PV (1.69)

dove P è la matrice di propagazione, ovvero una matrice diagonale che introduce uno sfasamento puro di valore:

d jK_zmn

e

− _.

Mettendo in relazione le due matrici tramite la (1.69), si ottengono le sottomatrici di scattering del sistema complessivo:

' 2 '' '' ' '' 1 ' ' '' ' 2 '' '' 1 '' , , , , aa aa ab b b b a cc cc cb b b b c ac ab b c ca b a ab Σ Σ Σ Σ = + = + = = S S S H S PS S S S H S PS S S H S S S H S (1.70) con . ) ( , ) ( 1 ' ' '' '' 1 2 1 '' '' ' ' 1 1 − − − − − = − = b b b b b b b b PS S P H PS S P H

Come affermato all’inizio del paragrafo, il programma di simulazione prevede anche la possibilità di calcolare i parametri di “scattering”. Un secondo programma ha il compito di ricavare la risposta in frequenza del sistema composito, mediante la combinazione delle varie matrici Si.