Amplificatore Operazionale Ideale

Amplificatore Operazionale Ideale

Amplificatore Operazionale

Rappresenta uno dei blocchi fondamentali dell’elettronica analogica.

E’ un amplificatore con due terminali d’ingresso:

invertente, -, e non-invertente, +

Viene chiamato anche sinteticamente, "operazionale" o anche

"op amp"

Amplificatore Operazionale

In pratica, vi sono anche due terminali di alimentazione, spesso sottointesi negli schemi elettrici:

Circuito equivalente

La figura mostra uno schema equivalente.

molto semplificato, per l'operazionale.

L'uscita è proporzionale alla differenza di

potenziale fra l’ingresso + (non-invertente) e

l’ingresso - (invertente).

A = guadagno a ciclo aperto (guadagno di tensione massimo del dispositivo)

Amplificatore Operazionale Ideale

Amplificatore Operazionale Ideale

Un amplificatore con guadagno infinito sembrerebbe poco utile: un segnale di ingresso (anche molto piccolo) darebbe in uscita un segnale infinito – l'uscita sarebbe in pratica limitata dalle tensioni di alimentazione dell'operazionale.

Nell'utilizzo come amplificatore è necessario collegare una opportuna rete, realizzata molto spesso con componenti

passivi (resistenze e condensatori), che deve in qualche modo collegare l'uscita dell'operazionale con il morsetto invertente, in modo da realizzare una retroazione negativa.

Amplificatore Operazionale Ideale

Come avremo modo di studiare, il guadagno complessivo di un sistema siffatto dipenderà (entro certe approssimazioni) solo dai componenti passivi utilizzati, se il guadagno a ciclo aperto dell'operazionale è sufficientemente grande I componenti passivi possono avere delle tolleranze molto piccole e quindi è possibile realizzare amplificatori con caratteristiche predicibili con notevole precisione, anche se il guadagno a ciclo aperto dell'operazionale non è noto con esattezza oltre ad essere affetto da variazioni indotte dalle

condizioni operative (temperatura, tensione di alimentazione ecc): si richiede solo che il guadagno a ciclo aperto sia

Amplificatore Operazionale Ideale

Consideriamo un operazionale ideale: guadagno infinito, R_in infinita e R_o zero. Supponiamo che vi sia una retroazione negativa, per cui la tensione di uscita, v_o, sia limitata

v_o=A(v₂-v₁) => (v₂-v₁) =v_o/A Poiché: A→∞ e v_o è limitata si ha:

(v₂-v₁) → 0

Pertanto in un operazionale ideale, con tensione di uscita limitata, risulta: v₁-v₂=0

Poiché la resistenza d’ingresso dell'operazionale ideale è infinita, le correnti i₊ e i_- che entrano nei due morsetti di ingresso dell'operazionale sono entrambe nulle: i₊= 0; i_-= 0

Cortocircuito virtuale

In un operazionale ideale, se l’uscita è finita (limitata), la

differenza di potenziale fra i due morsetti di ingresso è nulla, ma non c’è passaggio di corrente nei morsetti stessi

(cortocircuito virtuale).

Si ricordi che la condizione di cortocircuito virtuale si manifesta solo se c'è una retroazione negativa applicata

Amplificatore Invertente: Configurazione

In questa prima configurazione, la resistenza R₂ (collegata fra uscita e morsetto invertente) introduce la presenza di una

forma di retroazione negativa.

La rete di retroazione è costituita dei resistori R₁ ed R₂

Amplificatore Invertente: Guadagno di Tensione

Studiamo l'amplificatore invertente utilizzando il concetto di

cortocircuito virtuale: la differenza di potenziale fra i morsetti di

ingresso dell'operazionale è nulla, per cui in questa configurazione l'ingresso invertente

dell’operazionale è a potenziale zero, sebbene non sia connesso direttamente a massa.

Otteniamo facilmente la corrente erogata del generatore di ingresso: i_S=v_S/R₁ La corrente nel morsetto invertente dell'operazionale è nulla (i_-=0), per cui la corrente i_S scorre anche nella resistenza R₂, e quindi: i₂= i_S

Amplificatore Invertente: Guadagno di Tensione

Il guadagno dipende dal rapporto dei valori delle due resistenze e può quindi essere controllato con precisione scegliendo opportunamente R₁ ed R₂.

Av =v_o/ v_S = - R₂ /R₁

Resistenza d’ingresso

Consideriamo nuovamente lo schema generale al quale si può ricondurre un qualsiasi amplificatore:

La resistenza di ingresso, R_i, si calcola applicando un generatore di tensione v_i in ingresso e valutando la corrente i_i erogata dal generatore stesso.

i_i v_i

Resistenza di uscita

Consideriamo nuovamente lo schema generale al quale si può ricondurre un qualsiasi amplificatore:

La resistenza di ingresso, R_o, si calcola spegnendo il generatore di ingresso

(ponendo, quindi, v_i=0) e collegando un generatore di prova ai morsetti di uscita.

Ci sono due opzioni equivalenti. È possibile applicare un generatore di corrente i_x e valutare la tensione v_x ai suoi capi. Risulta: R_o = v_x / i_x

v_i=0 i_x v_x

Resistenza di uscita

La resistenza di ingresso, R_o, si può anche calcolare spegnendo il

generatore di ingresso (ponendo, quindi, v_i=0), collegando generatore di prova di tensione v_x e valutare la corrente i_x erogata dal generatore.

Risulta sempre: R_o = v_x / i_x

v_i=0

i_x

v_x

Amplificatore Invertente: Resistenza d'ingresso

Applichiamo la procedura per calcolare la resistenza di ingresso alla configurazione invertente:

i_i v_i

Otteniamo immediatamente: i_i=v_i/ R₁ e quindi la resistenza di ingresso della configurazione invertente è: R_i=R₁

Nota importante: la resistenza di ingresso dell'operazionale è infinita, ma questo non vuol dire che la resistenza di ingresso della configurazione invertente sia anch'essa infinita!

Amplificatore invertente: Resistenza d'uscita

Per ottenere R_o spegniamo il generatore di ingresso (v_i=0) ed applichiamo un generatore di corrente di prova i_x in uscita.

Nel circuito risulta: i₁=0 (a causa del cortocircuito virtuale ai morsetti

d'ingresso dell'operazionale). Si ha anche: i₂=i₁=0 e quindi:

v_x=(i₂ R₂ + i₁ R₁)=0 Si ottiene, pertanto: R_o=v_x/i_x= 0

Amplificatore invertente: esempio

• Problema: Progettare un amplificatore invertente

• Dati: A_v=40 dB, R_in =20kW,

• Ipotesi: Op amp ideale

• Analisi: La resistenza di ingresso è data da R₁, mentre il guadagno di tensione è pari al rapporto: R₂ / R₁.

Poichè il guadagno è 40dB abbiamo: 20log₁₀(|A_V|)=40, da cui

|A_V|=10^40/20 = 100 ; A_V= - 100 R₁=R_in=20kW

- R₂ / R₁ = - 100 => R₂ = 2MW

Scelta del valore delle resistenze

Le resistenze utilizzate nei circuiti con amplificatori operazionali (come R₁ ed R₂ nel caso dell'amplificatore

invertente) hanno un valore tipicamente compreso fra il kW ed il MW

Resistenze di valore più piccolo del kW comportano il passaggio di una corrente di intensità significativa, con conseguente elevata dissipazione di potenza.

Resistenze di valore più grandi del MW possono divenire

confrontabili con la resistenza di ingresso dell'operazionale (che in pratica non è infinita) oltre a creare problemi con la

polarizzazione dell'amplificatore (concetto che toccheremo più

Esempio

Amplificatori in Cascata

R₁

R₂

R_A

R_B

Consideriamo il circuito in Figura, costituito da due stadi invertenti in cascata.

Vogliamo calcolare: Guadagno, Resistenza di ingresso e Resistenza di uscita del sistema complessivo

Amplificatori in Cascata

Sostituiamo a ciascuno dei due stadi il modello equivalente:

R₁

v_i1 -(R₂/R₁)v_i1 v_i2 R_A -(R_B/R_A)v_i2

Amplificatori in Cascata - Guadagno

Si ottiene immediatamente: v_i2 = -(R₂/R₁) v_s e quindi: v_o = -(R_B/R_A) v_i2 = (R₂/R₁) (R_B/R_A) v_s

A_v= v_o/v_s = (R₂/R₁) (R_B/R_A)

Il guadagno complessivo è dato dal prodotto del guadagno dei

v_s v_o

Amplificatori in Cascata – R

ed R

l'analisi del circuito equivalente mostra immediatamente che:

R_i = R₁

R_o = 0

La resistenza di ingresso complessiva è quella del primo stadio La resistenza di uscita complessiva è quella dell'ultimo stadio

Amplificatore sommatore

Consideriamo il circuito in Figura, caratterizzato da due ingressi, v₁ e v₂, ed una sola uscita:

Poiché l'ingresso invertente

dell'amplificatore è virtualmente a massa (cortocircuito virtuale) si ha:

i₁ = v₁ / R₁ ; i₂ = v₂ / R₂ ;

Poiché i_- = 0 abbiamo anche:

i₃=i₁ + i₂ = v₁ / R₁ + v₂ / R₂ La tensione di uscita si può quindi calcolare come:

v₀ = - R₃ i₃ = - (R₃ / R₁) v₁ - (R₃ / R₂) v₂

Amplificatore sommatore

v₀ = - (R₃ / R₁) v₁ - (R₃ / R₂) v₂

Seguendo procedimento analogo a quello visto in precedenza, è facile valutare le due resistenze di ingresso e la resistenza di uscita:

R_i1 = R₁ ; R_i2 = R₂ ; R_o = 0

Amplificatore Sommatore

Amplificatore non-invertente

Il segnale di ingresso è applicato al morsetto non-invertente dell'operazionale.

Si noti che una frazione del segnale di uscita è riportata al morsetto invertente dell'operazionale (retroazione negativa).

Amplificatore non-invertente: Guadagno di tensione

Grazie al cortocircuito virtuale, il potenziale sul morsetto invertente dell'operazionale è:

v_- = v₊ = v_s

Abbiamo quindi:

i₁ = i₂ = v_s / R₁ v_s

i₁

i₂

Risulta ancora: v₀ = v_- + R₂ i₂ = v_s + (R₂ / R₁) v_s

v₀ = [1 + (R₂ / R₁)] v_s

Amplificatore non-invertente: Resistenze di ingresso e di uscita

R_o si ottiene applicando un generatore di corrente di prova al morsetto di uscita dell'amplificatore e ponendo v_i= 0. L'analisi è identica a quella condotta per la configurazione invertente e si ha quindi, anche in questo caso: R_o = 0

i_i v_i

i_i = i_- = 0

Abbiamo quindi:

R_i = v_i / i_i = ∞

Stadio separatore (buffer) a guadagno unitario

• È un caso particolare dell'amplificatore non-invertente, con R₁= ∞ ed:

R₂= 0; risulta quindi: A_v =1.

• Il circuito è caratterizzato da resistenza di ingresso infinita e resistenza di uscita nulla, pertanto non assorbe corrente dal generatore di ingresso e può pilotare una qualunque resistenza di carico, senza perdita di

segnale.

• Stadi separatori a guadagno unitario sono utili, ad esempio, nel caso in

Confronto configurazioni invertente e non-invertente

v_i

A_v = - R₂ / R₁ A_v = 1 + (R₂ / R₁) R_i = R1 R_i = ∞

R_o = 0 R_o = 0

Esempio

Amplificatore differenziale

In numerose applicazioni è necessario amplificare la differenza di due segnali v₁ e v₂, indipendentemente dai valori individuali dei due segnali.

Un caso tipico è quello in cui si vuole inviare un segnale attraverso una linea di collegamento. L'approccio più semplice consiste nell'utilizzare un unico conduttore (oltre quello di riferimento o massa). Questo semplice approccio diviene inaffidabile nel caso in cui vi siano disturbi captati della linea di collegamento, che possono corrompere il dato trasmesso.

sorgente ricevitore

segnale trasmesso

segnale ricevuto, affetto da disturbi

uscita

Trasmissione differenziale

Per ottenere una elevata immunità ai disturbi, si può effettuare una trasmissione differenziale, in cui si utilizzano (oltre al conduttore di riferimento o massa) due linee di collegamento, fra loro vicine, per trasmettere il segnale.

In questa configurazione, la prima linea trasmette il segnale v(t) mentre la

seconda il segnale opposto –v(t). Un eventuale disturbo apparirà su entrambe le linee. Il ricevitore potrà quindi eliminarne l'effetto, amplificando la

differenza delle tensioni ricevute sulle due linee.

sorgente segnale trasmesso segnale ricevuto, ricevitore

affetto da disturbi uscita

Amplificatore differenziale

In generale, date due tensioni v₁ e v₂ possiamo definire il segnale differenziale: v_d = v₂ – v₁

ed il segnale di modo comune: v_cm = (v₂ + v₁) / 2

Nessun amplificatore reale sarà in grado di amplificare solo la componente di modo differenziale. L’uscita sarà dipendente anche dal modo comune:

v_O= Ad v_d + Acm v_cm Ad=guadagno di modo differenziale

Acm=guadagno di modo comune (idealmente 0)

Il parametro di merito di un amplificatore differenziale è il rapporto di reiezione del modo comune (CMRR):

CMRR=|Ad/ Acm|

Amplificatore differenziale

Applichiamo la sovrapposizione degli effetti per studiare il circuito

Un amplificatore differenziale può essere realizzato con un operazionale, come mostra la figura seguente:

Sovrapposizione degli effetti

Se v₂=0 abbiamo un amplificatore in configurazione invertente. Si noti che le resistenze R₄ ed R₃ sono influenti in questo caso, in quanto la corrente che le attraversa è nulla (l'operazionale ha una resistenza di ingresso infinita) e quindi il potenziale del morsetto non- invertente dell'operazionale è zero.

2

1 1

1 O

v R v

= - R

Sovrapposizione degli effetti

se v₁=0 abbiamo un amplificatore in configurazione non-invertente. Il segnale di ingresso è applicato al

morsetto non-invertente attraverso un partitore di tensione, si ha quindi:

4 2

2 2

3 4 1

O

1

R R

v v

R R R

 

= +   +  

Sovrapposizione degli effetti

Applicando la sovrapposizione degli effetti si ha:

2 4 2

1 2 1 2

1 3 4 1

O O O

1

R R R

v v v v v

R R R R

 

= + = - + +   +  

Scegliamo le resistenze in modo che: ^{4 2}

3 1

R R

R = R

Si ottiene: ²

(

)

1 O

v R v v

= R -

Guadagno di modo comune

Il guadagno di modo comune è zero se è rispettata esattamente la condizione:

Spesso si scelgono le resistenze in modo che:

R₃= R₁ e: R₄= R₂

Se i valori delle resistenze non sono esattamente gli stessi (mismatch) ci sarà un guadagno di modo comune diverso da zero.

4 2

3 1

R R

R = R

Guadagno di modo comune

Il circuito studiato richiede che sia verificata la condizione:

R₄ /R₃ = R₂/R₁ In pratica, però, i segnali di ingresso non saranno provenienti da generatori ideali di tensione, ma da circuiti

caratterizzati da un equivalente di Thevenin con delle resistenze serie. Tali resistenze possono inficiare la condizione di corretto dimensionamento.

Esempio

Consideriamo un amplificatore differenziale in cui i valori delle resistenze, a causa di inevitabili tolleranze costruttive o delle resistenze equivalenti dei generatori di ingresso, non soddisfano esattamente la

condizione ideale: R₄/R₃=R₂/R₁

Calcolare il guadagno di modo comune ed il guadagno di

3

1 2

5.1 , 4

5 , 50 ,

50 ,

R K R K

R

R K K

= W = W

=

= W W

Esempio (continua)

Applicando il principio di sovrapposizione degli effetti si ha:

2 4 2

1 2 1 2

1 3 4 1

1 10 9.982

O

R R R

v v v v v

R R R R

 

= - + +   +   = - +

Ricordiamo le definizioni di segnale differenziale, v_d, e segnale di modo comune, v_cm:

v_d = v₂ – v₁

v_cm = (v₂ + v₁) / 2 Si ha:

v₂ = v_cm + v_d /2 v₁ = v_cm - v_d /2

Esempio (continua)

Sostituendo:

( ) ( )

( )

1 2

10 9.982 10 / 2 9.982 / 2

9.982 10

9.982 10 2

9.991 0.018

O cm d cm d

d cm

d cm

v v v v v v v

v v

v v

= - + = - - + + =

= + + - =

= -

Risulta quindi:

Ad = 9.991; Acm = -0.081 CMRR = 123.3 = 41.8dB

Resistenze di ingresso

La resistenza di ingresso vista dal segnale v₁ corrisponde a quella di un amplificatore invertente e si ha quindi:

R_in1= R₁

Resistenze di ingresso

La resistenza di ingresso vista dal segnale v₂ è data invece dalla serie di R₃ ed R₄ (ricordando che la resistenza di

ingresso dell'operazionale è infinita). Si ha: R_in2= R₃+R₄

Resistenze di uscita

Come si può facilmente verificare (azzerando i due segnali di ingresso ed applicando un generatore di test in uscita) la resistenza di uscita è zero:

R_o = 0

Amplificatore differenziale

Per aumentare la resistenza di ingresso e per rendere il circuito indipendente dalle resistenze equivalenti dei generatori di

segnale, è possibile inserire due amplificatori non invertenti sugli ingressi:

L'operazionale A3 è l'amplificatore

differenziale, mentre A1 ed A2 costituiscono gli amplificatori non-

invertenti sui due ingressi

Amplificatore differenziale

Inconveniente: i due amplificatori del primo stadio devono essere esattamente identici. Ad esempio, se le due resistenze R₁ in figura non avessero esattamente lo stesso valore, ci

sarebbe un sbilanciamento che introdurrebbe un guadagno di modo comune

Amplificatore per strumentazione

Eliminiamo il collegamento evidenziato

Amplificatore per strumentazione

Grazie al cortocircuito virtuale, nella resistenza 2R₁ circola la corrente: v_id/(2R₁). Questa corrente percorre anche le

resistenze R₂, generando una tensione v_O2-v_O1 all’ingresso dell’amplificatore differenziale finale.

Amplificatore per strumentazione

Vantaggi:

- C'è una resistenza in meno

- Non è necessario che le resistenze del primo stadio siano perfettamente

Risposta in Frequenza degli amplificatori

Segnali Periodici

Sappiamo che un qualsiasi segnale periodico può essere espresso come una serie di segnali sinusoidali.

Esempio: onda quadra:



 



 + + +

= sin5 ....

5 3 1

3sin sin 1

) 4

( V ₀t ₀t ₀t

t

v   



Spettro di un segnale periodico



 



 + + +

= sin5 ....

5 3 1

3sin sin 1

) 4

( V ₀t ₀t ₀t

t

v   



Esempio: onda quadra:

La serie di Fourier contiene infiniti termini (armoniche) ognuno dei quali ad una pulsazione multiplo intero della pulsazione fondamentale ω₀. Lo spettro riporta in ascissa la pulsazione ed in ordinata l’ampiezza

dell’armonica a quella pulsazione. Poiché l’onda quadra contiene armoniche solo alle pulsazioni ω₀ 3ω₀ e così via, si dice che il suo spettro è costituito da righe.

Segnali non periodici

Segnale Spettro

Se il segnale non è periodico è ancora possibile, sotto certe condizioni, la sua rappresentazione come combinazione di segnali sinusoidali.

Il suo spettro è però continuo, costituito cioè da infinite armoniche in ogni intervallo di frequenze.

In pratica, l’ampiezza delle armoniche diminuisce a frequenze molto alte ed il

Frequenze di alcuni segnali di uso comune

• Segnali audio 20 Hz - 20 KHz

• Radio AM 565 - 1620 KHz

• Radio FM 88 - 108 MHz

• Televisione (canali 21-69) 471 - 855 MHz

• Telefoni cellulari 900, 1800 MHz

• Bluetooth 2.4 GHz

• WiFi 2.4, 5 GHz

• TV satellitare 10.7 - 12.75 GHz

Risposta in frequenza

Applichiamo una sinusoide in ingresso ad un amplificatore lineare.

L’uscita è ancora una sinusoide alla stessa frequenza dell’ingresso;

l’ampiezza V0 è maggiore di Vi (il sistema amplifica) infine l’uscita è sfasata di un angolo Φ rispetto all’ingresso.

Sia l’amplificazione che lo sfasamento sono in generale funzione della

Frequenza, scala logaritmica

Grafico della risposta in frequenza

|Vo/Vi|espresso in dB Fase

Il diagramma di Bode riporta ampiezza e fase del segnale di uscita, riferite all’ingresso, in funzione della frequenza. La frequenza è in scala

logaritmica, mentre l'ampiezza è espressa in Decibel

Nell’esempio, l’ampiezza è rappresentata dalla linea intera, la fase da quella tratteggiata.

Banda Passante

Convenzionalmente, le ‘frequenze di taglio’ dell’amplificatore sono quelle per cui l’uscita si attenua di 3dB (0.71) rispetto centro banda.

La banda passante, o larghezza di banda, dell’amplificatore è definita dall’intervallo di frequenze compreso fra questi due limiti

3dB 3dB

Esempio

Banda dell’amplificatore

Spettro del segnale

Supponiamo di applicare

un’onda quadra di pulsazione

₁ all'ingresso

dell’amplificatore avente la risposta in frequenza

mostrata in Figura.

In questo caso, l'armonica fondamentale dell'onda quadra viene attenuata di 3dB, mentre la 3a, 5a, 7a armonica non sono attenuate

Esempio

Forma d’onda in uscita:

Segnale di ingresso

Circuiti a singola costante di tempo

Ricapitoliamo il funzionamento dei due circuiti elementari passa mostrati in figura. La quasi totalità dei problemi che ci troveremo a risolvere ricade in una di queste due categorie.

Passa-alto

Questa configurazione è di tipo passa-alto: i segnali di ingresso di frequenza sufficientemente elevata non vengono attenuati (passano

attraverso il filtro), mentre vengono attenuati i segnali a frequenza più bassa.

Supponiamo di applicare un segnale sinusoidale in ingresso: al crescere della frequenza del segnale di ingresso il modulo

dell'impedenza del condensatore si riduce e quindi l'ampiezza del segnale di uscita aumenta. Viceversa, la componente

Passa-basso

Questa configurazione è di tipo

passa-basso: i segnali di ingresso di frequenza sufficientemente bassa non vengono attenuati (passano

attraverso il filtro), mentre vengono attenuati i segnali a frequenza più alta.

Supponiamo di applicare un segnale sinusoidale di ingresso: al crescere della frequenza del segnale di ingresso il modulo

dell'impedenza del condensatore si riduce e quindi l'ampiezza del segnale di uscita si riduce. La componente continua

dell'ingresso passa indisturbata attraverso il filtro.

Passa basso

Il sistema ha una singola costante di tempo t=RC (ha un solo polo nel dominio s). La pulsazione caratteristica  è data dal

1/ 1 1 1

1/ 1 1 1 /

o

i H

v j C

v R j C j RC j j



  t  

= = = =

+ + + +

Ricordiamo che l'impedenza del condensatore è: Z_C=1/jC.

Dal partitore di tensione:

V_O= V_i Z_C/(R+Z_C)

Diagramma del modulo

In corrispondenza della pulsazione caratteristica _H (punto di rottura del diagramma), il modulo si attenua di 3dB rispetto al limite per le basse pulsazioni. _H è detta pulsazione di taglio a 3dB. Per >_H il diagramma del modulo decresce, con una pendenza di -20 dB /decade

Amplificatore passa-basso

La risposta è analoga a quella del filtro RC passa-basso, con pulsazione di taglio  . In bassa frequenza si ha un guadagno

Passa Alto

Anche in questo caso, il sistema è caratterizzato da una singola costante di tempo t=RC (nel dominio s ha uno zero nell'origine ed un polo). Anche per il passa-alto la pulsazione caratteristica

_Lè data dal reciproco della costante di tempo: _L=1/ t

1 1

o i

v R j RC

v R j RC

j C



 

= =

+ +

/

1 /

o L

i L

v j

v j

 

=  

+

Passa Alto

In corrispondenza della pulsazione caratteristica _L (punto di rottura del diagramma), il modulo si attenua di 3dB rispetto al limite per le alte frequenze.  è detta pulsazione di taglio a

Filtri Attivi con Amplificatori

Operazionali

Configurazione invertente

Il guadagno si ottiene generalizzando l'espressione ottenuta per l'amplificatore invertente:

V (o ) 2

( ) j Z ( j )

A s  

= =-

Estendiamo la configurazione dell'amplificatore invertente, sostituendo le due resistenze R₁ ed R₂ con due impedenze, Z₁ e Z₂.

Filtro attivo passa-basso

( )

1 1 ^j

Z  =R

2 1 2

( )

2 2 1 1 2

R j C R

Z j R j CR

j C

 

 

= =

+ +

2

1 2

( ) ; ; 1

1 ^M/ con: _{M H}

H

A R

A j j A R  R C

=   - =

+ =

2 2 1

1 2

( ) /

1

Z R R

A j Z j R C

= - = -  +

Filtro attivo passa-basso

( )

1 /

M

H

A j A

 j

=   +

log 

La pulsazione di taglio è: _H=1/R₂C Per frequenze molto più basse di _H il condensatore è assimilabile ad un circuito aperto ed il sistema si

comporta come un amplificatore

invertente, il cui guadagno è dato dal rapporto dei resistori R₂ e R₁.

Per frequenze maggiori di _H, il

guadagno decresce con la frequenza, riducendosi di 20dB/decade.

Modificando resistenze e capacità è

Filtro attivo passa-basso: esempio

• Problema: Progettare un filtro attivo passa-basso

• Dati: A_v=40 dB, R_in =5 kW, f_H =2 kHz

• Ipotesi: Operazionale ideale.

• Analisi:

La resistenza di ingresso è controllata da R₁ ed il guadagno di tensione dal rapporto R₂ / R₁.

Poiché il guadagno è 40dB abbiamo: 20log₁₀(|A_V|)=40, da cui

|A_V|=10^40/20 = 100 ; A_V= - 100

R₁=R_in = 5kW |A_V|= R₂/ R₁ => R₂= 500kW

La capacità si ottiene dalla specifica sulla frequenza di taglio:

C=1/(2  f_HR₂) = 156 pF

Filtro attivo passa-basso

Cosa accade se aumentiamo il valore della resistenza R₂?

• _H si riduce.

• il modulo del guadagno

aumenta.

2

1 2

( ) ; ; 1

1 ^M/ con: _{M H}

H

A R

A j j A R  R C

=   - =

+ =

60

40

20

|A|_dB

(scala log) R2 moltiplicata

 10 R2 moltiplicata

 100

Integratore

Se R₂ è infinita, il diagramma di Bode perde l'asintoto orizzontale e diviene una retta con pendenza 20 dB/decade.

60

40

20

|A|_dB

10 10² 10³ 10⁴ 10⁵

(scala log) R₂ →∞

Otteniamo così un integratore

Integratore

Z₁=R

Z₂=1/(jC)

La funzione di trasferimento presenta un polo nell'origine.

2 1

( ) Z 1

A j Z j RC

= - = - 

Integratore

Analisi nel dominio del tempo:

Rs s v

i = dt

dvo c C

i =-

Poiché i_c= i_s abbiamo:

0 0

0

( ) (0) 1 ( )

t

v t v v t dtS

- = - RC



Si noti che la tensione di uscita al tempo 0 è pari alla tensione iniziale presente sul condensatore.

0 1

S

dv v

dt = - RC Integrando si ottiene:

0 0

0

( ) (0) 1 ( )

t

v t v v t dtS

= - RC



Integratore

Ad esempio, un segnale di ingresso a gradino produrrà una rampa in uscita

0 0

0

( ) (0) 1 ( )

t

v t v v t dtS

= - RC



Filtro attivo passa-alto

1 1 1

( ) 1

1 ^j _{j C j C}^{j CR}

Z  R ^

 

+ = +

=

( ) 2

Z j2  =R

2 2 1 2

1 2 1 1 1 1

/

1 1 1 /

( ) ^L

L

Z j C R j CR R j

Z j CR R j CR R j

A j R

v  = ^_ = ^_ = ^{ }_{ }

+ + +

=- - - -

1

2 f 1

L L CR

 =  = ^{2 2 1}

1 2

( ) /

1

Z R R

A j Z j R C

= - = -  +

Filtro attivo passa-alto

(scala log)

|A|_dB

C

20 log(R₂/R₁)

La pulsazione di taglio è:

_L=1/R₁C

Per frequenze molto più altee di _L il condensatore è assimilabile ad un

cortocircuito ed il sistema si comporta come un

amplificatore invertente, il cui guadagno è dato dal rapporto dei resistori R₂ e R₁.

Derivatore

Caso limite del filtro passa-alto, per R₁=0 Z₁=1/(jC)

Z₂=R

La funzione di trasferimento presenta uno zero nell'origine.

Il guadagno cresce

indefinitamente con la , con una pendenza di 20 dB/decade.

Un sistema reale non può avere questo comportamento: il

guadagno inevitabilmente decresce quando la frequenza supera un certo valore

2 1

( ) Z

A j j RC

 = - Z = - 

(scala log)

|A|_dB

Derivatore

Ro v iR =- dts

Cdv

i =s Poiché i_R= i_s si ha: dvdts

o RC v =- Analisi nel dominio del tempo:

Applicazioni non-lineari degli

Operazionali

Comparatore

• Per tensioni di ingresso maggiori di V_REF, l'uscita satura a V_CC.

• Per tensioni di ingresso minori di V_REF, l'uscita satura a –V_CC.

• Un comparatore ha lo scopo di indicare in uscita se la tensione di ingresso è maggiore o minore di una prestabilita tensione di riferimento. Trova

numerose applicazioni, ad esempio nei convertitori Analogico/digitali.

• La figura mostra una possibile realizzazione circuitale:

Comparatore

• Per tensioni di ingresso maggiori di V_REF, l'uscita satura a V_CC.

• Per tensioni di ingresso minori di V_REF, l'uscita satura a –V_CC.

Da notare che l’uscita dell’operazionale è in pratica limitata dai valori della tensione di alimentazione.

Da notare ancora che in questo caso non vale il modello del

cortocircuito virtuale, non essendoci alcuna forma di retroazione negativa

Comparatore

Se il segnale di ingresso è affetto da rumore, ci possono essere transizioni multiple, indesiderate, quando il

segnale di ingresso raggiunge il livello di riferimento

Segnale di ingresso affetto da rumore

uscita del comparatore

Schmitt Trigger

• Il comparatore con isteresi (trigger di Schmitt) viene introdotto per risolvere i problemi legati alle transizioni spurie dell'uscita.

• Il circuito utilizza una forma di retroazione positiva, ed è di tipo bistabile.

Schmitt Trigger

Analisi del circuito per v_i crescente:

L’uscita è inizialmente saturata al valore massimo V_CC All’ingresso non-invertente avremo una tensione:

V_TH = V_CCR₁/(R₁+R₂) = b V_CC.

Quando v supera V , l’uscita satura al valore negativo

V_CC

-V_CC

Schmitt Trigger

Analisi del circuito per v_i decrescente:

L’uscita è inizialmente saturata al valore minimo -V_CC. All’ingresso non-invertente avremo una tensione:

V_TL = -V_CCR₁/(R₁+R₂) = - b V_CC.

Quando v_i diviene inferiore a V_TL, l’uscita satura al valore positivo

V_CC

-V_CC

Schmitt Trigger

Caratteristica complessiva

La caratteristica complessiva presenta una isteresi, di ampiezza V_TH -V_TL = 2 b V_CC

V_CC

-V_CC

Applicazioni del Schmitt Trigger

Grazie alla isteresi si evitano commutazioni multiple indesiderate quando l’ingresso è affetto da rumore

Multivibratore astabile

Supponiamo che l’uscita si trovi al valore positivo, V_CC

La capacità si carica attraverso R e la tensione ai suoi capi cresce.

Quando la tensione sulla C raggiunge V_TH l’uscita commuta al valore

V_TH=bV_CC V_TL=-bV_CC

V_CC -bV_CC

Multivibratore astabile

Multivibratore astabile

verso V_CC

verso -V_CC

V_TH=bV_CC V_TH=bV_CC V_TL=-bV_CC

V_CC

-V_CC

Multivibratore astabile

( )

^{( )}

( ) _{finale iniziale finale} ^t _{CC CC CC} ^t

v t = v + v -v e^{- t} =V + -bV -V e^{- t}

verso V_CC

verso -V_CC V_TH=b V_CC

V_TL=-b V_CC

costante di tempo=RC

Analizziamo il transitorio a partire dal tempo t=0. La tensione sul condensatore è inizialmente -bV_CC; il condensatore si carica verso la tensione V_CC

Al tempo T₁ la tensione sul condensatore raggiunge il valore bV_CC; il processo di carica termina ed il condensatore inizia a scaricarsi verso la tensione -V_CC