AMPLIFICATORE OPERAZIONALE
Parametri degli Amplificatori Operazionali Ideali Reali
Resistenza di ingresso Ri Ri →→→→ ∞∞ ∞∞ Ri > 1 MΩΩΩΩ Resistenza di uscita RO RO = 0 RO < 100 ΩΩΩΩ Guadagno di tensione ad anello aperto AOL AOL →→→→ ∞∞∞∞ AOL > 60.000 Rapporto di Reiezione di Modo Comune CMRR C.M.R.R. →→→ ∞→∞∞∞ C.M.R.R. > 30.000 Larghezza di Banda o Banda Passante BW BW →→→→ ∞∞∞∞ BW < 100 MHz
−
−
−
− + + + +
V
1V
2Vd
+VCC
−
−
−
−VCC
V
O++ ++VCC
−−
−−VCC
Vd
VO
A
OLV
d= V
1– V
2V
O= A
OL·V
d= A
OL·(V
1– V
2)
Modello equivalente di Thévenin di un Amplificatore Operazionale in configurazione a catena aperta
(Open Loop)
V
1V
2VO
Ri
RO
V
dAOL·Vd
+
− − −
−
+
AMPLIFICATORE OPERAZIONALE
CONFIGURAZIONE COMPARATORE NON INVERTENTE
Comparatore: dispositivo che confronta la tensione VS applicata all’ingresso con una tensione di riferimento VR; la sua uscita indica se VS è maggiore o minore di VR; se la tensione di riferimento è VR = 0V prende anche il nome di rivelatore di zero “zero level detector”, altrimenti, quando VR ≠≠≠≠0, è detto rivelatore di livello “level detector”.
VR
VS
t
+ + + +VCC
−
−−
−VCC
VO
t
+ ++ +VCC
−−
−−VCC
VS
VO
VR
Transcaratteristica
V
O= ƒ ƒ ƒ ƒ(V
S)
del
RIVELATORE DI LIVELLO
V
d= V
S– V
RV
O= A
OL·V
d= A
OL·(V
S– V
R)
V
O= +V
CCse: V
S> V
RV
O= − − − −V
CCse: V
S< V
R−
− −
− + + + +
Vd
+VCC
−−
−−VCC
V
OA
OLRS
VR
+
−−− VS − +
−−
−−
RK
AMPLIFICATORE DI TENSIONE AD OPERAZIONALE CONFIGURAZIONE INVERTENTE
Principio della Traslazione del Potenziale
V
d= 0
V
+= V
−−−−= 0 I
1= I
fS S
f
O
V
R V = − R ⋅ + +
+ +
−
−
−
− V
S+VCC
−−
−−VCC
V
ORS
Rf
A
OLV
dI
1I
fRK
V
O+
−−
−−
V
S∞
=
=
∞
=
O OLi
R A
R 0
Modello equivalente di un Amplificatore Operazionale, a reazione negativa, in configurazione INVERTENTE
V
SAOL·Vd
V
ORi
RO
V
dR
SR
f−
−
−
−
+ + + +
If
I1
RK
+
−
−
−
−
V
+ +−
−
−
−
V
SV
OAMPLIFICATORE DI TENSIONE AD OPERAZIONALE CONFIGURAZIONE NON INVERTENTE
Principio della Traslazione del Potenziale
∞
=
=
∞
=
O OLi
R A
R 0
Modello equivalente di un Amplificatore Operazionale, a reazione negativa, in configurazione NON INVERTENTE
V
SA
OL·V
dV
ORi
R
OV
dR
1R
f−
+ + + + I
fI
1+
−
− −
−
+
−
−−
−
RK
V
SV
+V
O− − − − V
SV
d= 0
V
+= V
−−−−= V
SI
1= I
fS f
O
V
R V R ⋅
+
=
1
1 +
+ + +
−
−
−
−
+VCC
−
−
−
−VCC
V
OR1
R
fAOL
V
dV
SI
fI
1V
S+
−
−−
−
V
O− − − − V
SV
+RK
CONFIGURAZIONE NON INVERTENTE
Applicazione della legge del partitore resistivo alla maglia dell’ingresso non invertente:
S S
R V R
V R ·
2 2
= +
+
L’applicazione della relazione costitutiva afferente il legame ingresso uscita per l’amplificatore in configurazione non invertente consente di relazionare nella seguente forma:
⋅
+
+
= V
R V
OR
f1
1
Il legame ingresso uscita per la configurazione non invertente nella quale il segnale di ingresso è addotto al morsetto non invertente in modo non diretto è caratterizzato dalla seguente relazione
S S f
O
V
R R
R R
V 1 R ·
2 2
1
⋅ +
+
=
CONFIGURAZIONE DA INSEGUITORE
V
d= 0
V
+= V
−−−−I
1= I
f+ + + +
−
−
−
−
+VCC
−
−
−
−VCC
V
OR1
R
fA
OLV
dV
SI
fI
1V
++
−
−−
−
V
O− − − − V
+V
+RS
R2 RK
+ + + +
− −
− −
+VCC
−−
−−VCC
V
OA
OLV
dV
SI
f= 0
+
−−
−−
V
O= V
+V
+RS
R2
RK
V
S+ + + +
− − −
−
+VCC
−−
−−VCC
V
OA
OLV
dI
f= 0
+
−
−−
−
V
O= V
+=V
SV
+RK
CONFIGURAZIONE SOMMATORE INVERTENTE
In ossequio al Principio della Traslazione del potenziale, l’applicazione della legge di Ohm alle resistenze R1, R2, ed R3 di adduzione dei rispettivi segnali V1, V2 e V3, consente di relazionare come di seguito riportato:
1 1 1
1 1
R V R
V I V − =
=
−
;
2 2 2
2 2
R V R
V I V − =
=
−
;
3 3 3
3 3
R V R
V I V − =
=
−
Sempre con riferimento al Principio della Traslazione del potenziale, l’applicazione della legge di Ohm alla resistenza di reazione Rf consente di scrivere:
f O f
O
f R
V R
V I V
− =
=
−
L’applicazione della legge di Kirchhoff delle correnti al supernodo ΣΣΣ, valida la seguente relazione: Σ
3
0
2
1
+
I+
I+
If=
I
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
If= − (
I1+
I2+
I3)
Sostituendo l’espressione delle correnti di interesse si ottiene la relazione che di seguito si esplicita:
+ +
−
=
3 3 2 2 1 1
R V R V R V R
V
f
O
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
+ +
−
=
3 3 2 2 1
·
1R V R V R R V V
O fSi tratta della relazione costitutiva specifica della configurazione di un SOMMATORE PESATO INVERTENTE in cui il peso, cioè, l’incidenza dei segnali di ingresso vi(t) sul segnale di uscita vO(t) è “pesata” mediante i valori delle rispettive resistenze Ri.
•••• Sia R1 =R2 =R3 =R: in tal caso, la relazione costitutiva assume la forma seguente:
+ +
−
=
3 3 2 2 1
·
1R V R V R R V
V
O f⇒ ⇒ ⇒ ⇒
+ +
−
= R
V R V R R V
V
O f·
1 2 3⇒ ⇒ ⇒ ⇒
· ( V
1V
2V
3)
R
V
O= − R
f+ +
Si tratta di un SOMMATORE INVERTENTE con guadagno GV =−−(R−− f/R).
•••• Sia R1 =R2 =R3 =Rf =R: in tal caso, la relazione costitutiva assume la forma seguente:
+ +
−
=
3 3 2 2 1
·
1R V R V R R V
V
O f⇒ ⇒ ⇒ ⇒
· ( V
1V
2V
3)
R
V
O= − R + +
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
V
O= − ( V
1+ V
2+ V
3) V
d= 0
V
+= V
−−−−= 0 I
1+ I2+ I3= If
= If
+ + + +
−
− −
−
+VCC
−
−
−
−VCC
V
OR
fA
OLVd
V
1I
fI
2V
1+
−−
−−
V
OV
+V
3R2
RK
V
2R1
I
1R3
+
−
−
−
− +
−
−−
−
I
3V
2V
3Σ Σ Σ Σ
Principio della Traslazione del Potenziale
Si tratta di un SOMMATORE INVERTENTE con guadagno unitario negativo GV =−−(R−− f/R), GV =−−−−1, noto come SOMMATORE PURO INVERTENTE.
•••• Sia R1 =R2 =R3 =R=3Rf: in tal caso, la relazione costitutiva assume la forma seguente:
+ +
−
=
3 3 2 2 1
·
1R V R V R R V
V
O f⇒ ⇒ ⇒ ⇒
· ( 1 2 3)
3 V V V
R V R
f f
O
= − + +
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
+ +
−
= 3
3 2
1
V V
V
OV
Si tratta di un SOMMATORE INVERTENTE avente guadagno unitario GV =−−−−1, noto come MEDIATORE INVERTENTE.
CONFIGURAZIONE DA DIFFERENZIALE
L’applicazione del principio di sovrapposizione degli effetti consente di procedere come segue a) agisce VS1 con VS2=0V
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
Configurazione NON invertente. L’uscita VO1 è definita da:1 4 3
4 1
1
1
f·
SO
V
R R
R R
V R
⋅ +
+
=
b) agisce VS2 con VS1=0V
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
Configurazione invertente. L’uscita VO2 è definita da:2 1
2 f
·
SO
V
R V = − R
In presenza dell’azione dei due generatori indipendenti di tensione VS1 e VS2 si ottiene la relazione costitutiva dell’amplificatore differenziale.
2 1 1 4 3
4 1
·
·
1
f S f SO
V
R V R
R R
R R
V R −
⋅ +
+
=
Se si procede al dimensionamento caratterizzato da (Rf/R1) = (R4/R3), si perviene alla relazione:
)
·(
1 21
S S f
O
V V
R
V = R −
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
amplificatore differenziale puro con guadagno GV=(Rf/R1)In particolare, se è R1=Rf=R3=R4, si ottiene un guadagno unitario
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
V
O= ( V
S1− V
S2)
V
d= 0
V
+= V
−−−−I
1= I
f+ + + +
−
−
−
−
+VCC
−
−−
−VCC
V
OR1
R
fA
OLV
dV
S1I
fI
1+
−−
−−
V
+R3
R4 RK
V
S2+
−
−
−
−
Principio della Traslazione del Potenziale
1. TRIGGER DI SCHMITT INVERTENTE
L’amplificatore operazionale viene “reazionato positivamente” tramite le resistenze Rf ed Rr, il segnale vs viene applicato al morsetto invertente tramite una resistenza Rin mentre la tensione di riferimento Vr viene applicata alla resistenza Rr.
La tensione V+ al morsetto non invertente, dato che l’operazionale non assorbe corrente, può essere determinata col principio di sovrapposizione degli effetti facendo agire separatamente, dapprima il segnale Vr e successivamente il segnale
V
o. Si perviene, così, alla relazione seguente:Se si suppone, come ipotesi iniziale, che la tensione del segnale vs sia minore della tensione V++++ al morsetto non invertente, la tensione differenziale vd = (V+ −−−− V−−−−) sarà positiva, sicché la tensione d’uscita risulta vo = VOH = +Vcc, nel caso di amplificatore operazionale ideale.
Se ora il segnale vs aumenta, la commutazione dell’uscita da stato alto VOH a stato basso VOL si avrà quando vs = V++++ e cioè per la tensione di soglia superiore vts, così determinata:
In tale caso la tensione di uscita diventa vo = VOL = −−−V− cc e tale si mantiene per un ulteriore aumento del segnale vs. Quando il segnale decresce, la commutazione dell’uscita dal livello basso al livello alto si avrà ancora per vs = V++++ e quindi per la tensione di soglia inferiore vti, così definita:
In tale caso la tensione di uscita diviene vo = VOH e tale si mantiene per una ulteriore diminuzione del segnale vs.
La tensione di isteresi Vh risulta:
ed è indipendente dalla tensione di riferimento Vr, che definisce solamente il centro del ciclo di isteresi. Normalmente la tensione Vh di isteresi è molto più piccola della tensione di uscita è ciò può essere ottenuto quando Rr << Rf: in tale caso, in prima approssimazione risulta:
V
oVs
Vts
Vti
VOH
VOL
Vr
r r f
f o
r f
r
V
R R
v R R R
V R
+ +
= +
÷
r f
r f OH
r r
r f
f OH
r f
r
ts
R R
V R V
V R R R
v R R R
V R
+
= + + +
= +
r f
r f OL r r
r f
f OL
r f
r
ti
R R
V R V
V R R R
v R R R
V R
+
= + + +
= +
r f
r OL
OH ti
ts
h
R R
V R V
V V
V = ( − ) = ( − ) +
f r OL OH
ti ts
h
R
V R V
V V
V = ( − ) ≅ ( − ) V
sV
rR
fR
rR
inV
o−−−
−
+ + + V+ +
V−−−−
+V
cc−
−
−
−V
cc2 . MULTIVIVRATORE ASTABILE – OSCILLATORE A ONDA QUADRA
Il multivibratore astabile, ovvero a oscillazione libera, è un circuito che presenta una uscita che commuta tra due stati quasi stabili in maniera ripetitiva e con una frequenza fO che dipende dai parametri del circuito. L’amplificatore operazionale viene “reazionato positivamente” tramite le resistenze Rf e Rr ; pertanto, NON risulta verificata la condizione relativa all’applicabilità del principio di traslazione del potenziale.
La realizzazione circuitale, comporta la presenza di una reazione negativa attuata tramite il filtro passa basso RC, che fornisce la tensione al morsetto invertente V−−−− “integrando” la tensione d’uscita VO, nonché una reazione positiva espressa tramite il partitore Rf, Rr che determina la tensione di soglia al morsetto NON invertente. Con riferimento alla figura 1, risulta poi ovvia la seguente relazione:
) (
· )
( v t
R R t R
v
Of r
r
= +
+
OL OL
f r
r TI
OH OH
f r
r TS
V R V
R V R
t v
V R V
R V R
t v
β β + =
=
=
+ =
=
=
+ +
· )
(
· )
(
con:
f r
r
R R
R
= + β
Si osservi che la configurazione dell’astabile di figura utilizza un amplificatore operazionale ad alimentazione duale (+Vcc,−−−−Vcc); in tale circostanza, e nell’ipotesi di amplificatore ideale, deve considerarsi VOH=+Vsat=+Vcc e VOL=-Vsat=-Vcc. In realtà negli amplificatori reali la tensione vO, quando l’uscita è in saturazione, risulta assumere valori inferiori all’alimentazione: di solito con alimentazione duale ±±±V± cc =±±15V si ottiene ±±± ±±Vsat± =±±13.5V. ±±
Supponiamo, come ipotesi iniziale, che la tensione in uscita siaVOLe che il condensatoreC tenda a portarsi a tale valore con costante di tempo ττττ = RC. Durante questo transitorio la tensione del condensatore raggiunge il valore vc(t)=VTI =ββVββ OL e tende poi a diminuire cosicché la tensione differenziale vd =(V+−−−−V−−−−) tende a divenire positiva per cui l’uscita VO commuterà dallo stato basso VOL allo stato alto VOH.
In tale istante consideriamo l’origine per lo studio temporale del funzionamento del dispositivo.
L’uscita è ora a VOH, il condensatore tende a caricarsi a tale valore partendo dalla tensione di pre carica VC(0) = VTI; il fenomeno è gestito dall’equazione:
τ t C
C C
C
t v v v e
v ( ) = ( ∞ ) + [ ( 0 ) − ( ∞ )]·
−⇒ ⇒ ⇒ ⇒
v
C( t ) = V
OH+ ( V
TI− V
OH)· e
−tτTuttavia, non appena vc(t) raggiunge il valore VTS, e tende a superarlo, risulta vd <0 e, pertanto, il trigger commuta l’uscita dal valore VOH al VOL e il condensatore inizierà una nuova fase di carica gestita dalla tensione VOL.
V
d≠ ≠ ≠ ≠ 0
v
+(t) ≠ ≠ ≠ ≠ v−−−−(t)
i
f(t) = iC(t)
v
O(t) = ± ±V ± ±
CC
+ + + +
−
−
−
−
+VCC
−
−−
−VCC
V
O(t) R
A
OLVd
I
fi
C(t)
v
C(t)
V
+C
RK
Rf
R
r(figura – 1)
LaduratadellacondizioneVO=VOH,cioèilperiodoT1dellostatometastabileVO=VOH,è fornito dalla relazione:
) (
) ) (
( )
(
1 1 1OH TI
OH CR TS
T CR
T OH TI
OH TS
C V V
V e V
e V V V
V T
v
−
= −
⇒
− +
=
=
− −Il valore del periodo T1 è pertanto:
−
= −
−
= −
OH OH
OH OL
e OH
TS
OH TI
e V V
V CR V
V V
V CR V
T
β
·log β )
(
)
·log (
1
All’istante t=T1, come già asserito, l’uscita vO dell’astabile commuta a VOL e il condensatore C si dovrà caricare al nuovo valore VOL con la stessa costante di tempo ττττ=CR. Considerando la l’origine degli assi traslata in T1, la legge che governa il transitorio è espressa dalla scrittura:
CR t OL TS
OL
C t V V V e
v
( ) = + ( − )
−Il persistere della condizione vO(t)=VOL, cioè il periodo T2, è fornito dalla relazione:
OL TS
OL CR TI
T CR
T OL TS
OL TI
C V V
V e V
e V V V
V T
v
−
= −
⇒
− +
=
= ( )
− 2 − 2) (
2Il valore del periodo T2 è pertanto:
−
= −
−
= −
OL OL
OL OH
e OL
TI
OL TS
e V V
V CR V
V V
V CR V
T
β
·log β )
(
)
·log (
2
È evidente che all’istante T2 si raggiunge la condizione che si aveva all’istante t=0 e, pertanto, il processo si ripeterà con il periodo TO definito, insieme alla relativa frequenza delle oscillazioni, dalle posizioni seguenti:
O O
O T T f T T T
T
1 1
2 1 2
1
=
= +
⇒ +
=
In figura 2 viene mostrato il grafico dell’andamento temporale della tensione vC(t) alle armature del condensatore nel caso in cui sia nullo l’eventuale segnale di riferimento VR e il multivibratore astabile presenti alimentazione simmetrica duale VOL=−−V−− OH. In tali ipotesi i periodi relativi allo stato alto e allo stato basso dell’uscita vO(t) sono forniti, rispettivamente, dalle scritture seguenti:
+
=
−
= +
−
= −
f r e
e OH
OH OL
e
R
CR R V CR
V CR V
T ·log 1 2
1
·log 1 )·
1
·log (
1
β
β β
β
+
=
−
= +
−
= −
f r e
e OL
OL OH
e
R
CR R V CR
V CR V
T ·log 1 2
1
·log 1 )·
1
·log (
2
β
β β
β
t
=0t
=T1t
=T1+T2t v
cV
OHV
OLV
TSV
TIvC(t)
Grafico della tensione VC(t) del condensatore nel caso in cui sia:
V
r= 0
v
OH= − − − −v
OL (figura – 2)Sempre nell’ipotesi di Vr=0 e di una alimentazione duale simmetrica VOH=−−−−VOL, il periodo TO
e, quindi, la frequenza delle oscillazioni fO, sono forniti dalle relazioni seguenti:
+
=
+
+
+
= +
=
f r e
f r e
f r e
O
R
CR R R
CR R R
CR R T
T
T
1 2·log 1 2 ·log 1 2 2 ·log 1 2 f
O= 1/T
OLa figura 3 mostra, sempre nel caso di alimentazione simmetrica duale VOH =−−−−VOL, l’andamento temporale della tensione di uscita VO(t) e della tensione al morsetto non invertente V+(t). Si può inoltre constatare che T1 =T2 e che, pertanto, l’oscillazione presenta un duty cycle del 50%, infatti risulta:
% 50 2 100
100 1 2
1
·log 2
2 1
·log 100
%
1= =
+
⋅
+
=
=
f r e
f r e
O
R CR R
R CR R
T DC T
Appare utile ricordare che la resistenza R che realizza la reazione negativa ed il condensatore C definiscono un filtro passa basso secondo lo schema mostrato in figura 4. L’andamento temporale della tensione vC(t) alle armature del condensatore è definito dalla legge generale della carica del
condensatore dal valore iniziale VIN al valore finale Vf con una costante di tempo ττττ=CRth, in cui Rth rappresenta la resistenza equivalente di Thévenin sentita dal condensatore C stesso.
La legge è espressa dalla relazione:
CR t C
C
C
t v v v e
v ( ) = ( ∞ ) + [ ( 0 ) − ( ∞ )]·
−ovvero, anche dalla scrittura seguente:
CR t f IN f
C
t V V V e
v ( ) = + ( − )·
−t
V
TIt’=T2
v
Ot=0 t=T1
V
OHV
OLV
TSV+(t)
T1
t’=0
T2
TO
VO(t) VO(t)
(figura – 3)
C
R
v
O(t) v
C(t)
(figura – 4)