AMPLIFICATORE OPERAZIONALE

AMPLIFICATORE OPERAZIONALE

Parametri degli Amplificatori Operazionali Ideali Reali

Resistenza di ingresso Ri Ri →→→→ ∞∞ ∞∞ Ri > 1 MΩΩΩΩ Resistenza di uscita RO RO = 0 RO < 100 ΩΩΩΩ Guadagno di tensione ad anello aperto AOL AOL →→→→ ∞∞∞∞ AOL > 60.000 Rapporto di Reiezione di Modo Comune CMRR C.M.R.R. →→→ ∞→∞∞∞ C.M.R.R. > 30.000 Larghezza di Banda o Banda Passante BW BW →→→→ ∞∞∞∞ BW < 100 MHz

−

−

−

− + + + +

V

₁

V

2

Vd

+V_CC

−

−

−

−VCC

V

_O

++ ++VCC

−−

−−VCC

Vd

VO

A

OL

V

d

= V

1

– V

2

V

_O

= A

_OL

·V

_d

= A

_OL

·(V

₁

– V

₂

)

Modello equivalente di Thévenin di un Amplificatore Operazionale in configurazione a catena aperta

(Open Loop)

V

1

V

2

VO

Ri

RO

V

_d

AOL·Vd

+

− − −

−

+

AMPLIFICATORE OPERAZIONALE

CONFIGURAZIONE COMPARATORE NON INVERTENTE

Comparatore: dispositivo che confronta la tensione VS applicata all’ingresso con una tensione di riferimento VR; la sua uscita indica se VS è maggiore o minore di VR; se la tensione di riferimento è VR = 0V prende anche il nome di rivelatore di zero “zero level detector”, altrimenti, quando VR ≠≠≠≠0, è detto rivelatore di livello “level detector”.

VR

VS

t

+ + + +VCC

−

−−

−VCC

VO

t

+ ++ +VCC

−−

−−V_CC

VS

VO

VR

Transcaratteristica

V

O

= ƒ ƒ ƒ ƒ(V

S

)

del

RIVELATORE DI LIVELLO

V

_d

= V

_S

– V

_R

V

_O

= A

_OL

·V

_d

= A

_OL

·(V

_S

– V

_R

)

V

_O

= +V

_CC

se: V

_S

> V

_R

V

_O

= − − − −V

_CC

se: V

_S

< V

_R

−

− −

− + + + +

Vd

+VCC

−−

−−VCC

V

O

A

_OL

RS

VR

+

−−− VS − +

−−

−−

RK

AMPLIFICATORE DI TENSIONE AD OPERAZIONALE CONFIGURAZIONE INVERTENTE

Principio della Traslazione del Potenziale

V

d

= 0

V

⁺

= V

⁻⁻⁻⁻

= 0 I

1

= I

f

S S

f

O

V

R V = − R ⋅ + +

+ +

−

−

−

− V

S

+VCC

−−

−−VCC

V

_O

RS

Rf

A

OL

V

_d

I

1

I

f

RK

V

O

+

−−

−−

V

_S

∞

=

=

∞

=

_{O OL}

i

R A

R 0

Modello equivalente di un Amplificatore Operazionale, a reazione negativa, in configurazione INVERTENTE

V

S

AOL·Vd

V

_O

Ri

RO

V

d

R

_S

R

f

−

−

−

−

+ + + +

If

I1

RK

+

−

−

−

−

V

⁺ +

−

−

−

−

V

S

V

_O

AMPLIFICATORE DI TENSIONE AD OPERAZIONALE CONFIGURAZIONE NON INVERTENTE

Principio della Traslazione del Potenziale

∞

=

=

∞

=

_{O OL}

i

R A

R 0

Modello equivalente di un Amplificatore Operazionale, a reazione negativa, in configurazione NON INVERTENTE

V

S

A

OL

·V

d

V

_O

Ri

R

O

V

d

R

₁

R

f

−

+ + + + I

f

I

1

+

−

− −

−

+

−

−−

−

R_K

V

_S

V

⁺

V

_O

− − − − V

_S

V

_d

= 0

V

⁺

= V

⁻⁻⁻⁻

= V

_S

I

1

= I

f

S f

O

V

R V R   ⋅

 



 +

=

1

1 +

+ + +

−

−

−

−

+VCC

−

−

−

−VCC

V

O

R1

R

f

AOL

V

d

V

_S

I

_f

I

₁

V

S

+

−

−−

−

V

O

− − − − V

S

V

⁺

RK

CONFIGURAZIONE NON INVERTENTE

Applicazione della legge del partitore resistivo alla maglia dell’ingresso non invertente:

S S

R V R

V R ·

2 2

 

 





= +

+

L’applicazione della relazione costitutiva afferente il legame ingresso uscita per l’amplificatore in configurazione non invertente consente di relazionare nella seguente forma:

⋅

+

 

 



 +

= V

R V

_O

R

^f

1

1

Il legame ingresso uscita per la configurazione non invertente nella quale il segnale di ingresso è addotto al morsetto non invertente in modo non diretto è caratterizzato dalla seguente relazione

S S f

O

V

R R

R R

V 1 R ·

2 2

1

 

 





⋅ +

 

 



 +

=

CONFIGURAZIONE DA INSEGUITORE

V

_d

= 0

V

⁺

= V

⁻⁻⁻⁻

I

1

= I

f

+ + + +

−

−

−

−

+VCC

−

−

−

−VCC

V

O

R1

R

_f

A

_OL

V

_d

V

S

I

_f

I

₁

V

⁺

+

−

−−

−

V

_O

− − − − V

⁺

V

⁺

RS

R2 RK

+ + + +

− −

− −

+VCC

−−

−−VCC

V

O

A

OL

V

d

V

_S

I

f

= 0

+

−−

−−

V

O

= V

⁺

V

⁺

RS

R2

RK

V

S

+ + + +

− − −

−

+VCC

−−

−−VCC

V

O

A

_OL

V

d

I

_f

= 0

+

−

−−

−

V

O

= V

⁺

=V

S

V

⁺

RK

CONFIGURAZIONE SOMMATORE INVERTENTE

In ossequio al Principio della Traslazione del potenziale, l’applicazione della legge di Ohm alle resistenze R1, R2, ed R3 di adduzione dei rispettivi segnali V1, V2 e V3, consente di relazionare come di seguito riportato:

1 1 1

1 1

R V R

V I V − =

=

−

;

2 2 2

2 2

R V R

V I V − =

=

−

;

3 3 3

3 3

R V R

V I V − =

=

−

Sempre con riferimento al Principio della Traslazione del potenziale, l’applicazione della legge di Ohm alla resistenza di reazione Rf consente di scrivere:

f O f

O

f R

V R

V I V

− =

=

−

L’applicazione della legge di Kirchhoff delle correnti al supernodo ΣΣΣ, valida la seguente relazione: Σ

3

0

2

1

+

I

+

I

+

I_f

=

I

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

I_f

= − (

I₁

+

I₂

+

I₃

)

Sostituendo l’espressione delle correnti di interesse si ottiene la relazione che di seguito si esplicita:

 

 



 + +

−

=

3 3 2 2 1 1

R V R V R V R

V

f

O

⇒ ⇒ ⇒ ⇒





 



 + +

−

=

3 3 2 2 1

·

1

R V R V R R V V

_{O f}

Si tratta della relazione costitutiva specifica della configurazione di un SOMMATORE PESATO INVERTENTE in cui il peso, cioè, l’incidenza dei segnali di ingresso vi(t) sul segnale di uscita vO(t) è “pesata” mediante i valori delle rispettive resistenze Ri.

•••• Sia R1 =R2 =R3 =R: in tal caso, la relazione costitutiva assume la forma seguente:

 

 



 + +

−

=

3 3 2 2 1

·

1

R V R V R R V

V

_{O f}

⇒ ⇒ ⇒ ⇒ 



 



 + +

−

= R

V R V R R V

V

_{O f}

·

^{1 2 3}

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

· ( V

₁

V

₂

V

₃

)

R

V

_O

= − R

^f

+ +

Si tratta di un SOMMATORE INVERTENTE con guadagno GV =−−(R−− f/R).

•••• Sia R1 =R2 =R3 =Rf =R: in tal caso, la relazione costitutiva assume la forma seguente:

 

 



 + +

−

=

3 3 2 2 1

·

1

R V R V R R V

V

_{O f}

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

· ( V

₁

V

₂

V

₃

)

R

V

_O

= − R + +

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

^V

_O

= − ( ^V

₁

+ ^V

₂

+ ^V

₃

) V

_d

= 0

V

⁺

= V

⁻⁻⁻⁻

= 0 I

₁

⁺ I

₂

⁺ I

₃

= I

_f

+ + + +

−

− −

−

+VCC

−

−

−

−VCC

V

_O

R

f

A

OL

V_d

V

₁

I

_f

I

2

V

1

+

−−

−−

V

O

V

⁺

V

₃

R2

RK

V

2

R1

I

1

R3

+

−

−

−

− +

−

−−

−

I

₃

V

₂

V

₃

Σ Σ Σ Σ

Principio della Traslazione del Potenziale

Si tratta di un SOMMATORE INVERTENTE con guadagno unitario negativo GV =−−(R−− f/R)^, GV =−−−−1, noto come SOMMATORE PURO INVERTENTE.

•••• Sia R1 =R2 =R3 =R=3Rf: in tal caso, la relazione costitutiva assume la forma seguente:

 

 



 + +

−

=

3 3 2 2 1

·

1

R V R V R R V

V

_{O f}

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

^· (

_{1 2 3}

)

3 V V V

R V R

f f

O

= − + +

⇒ ⇒ ⇒ ⇒





 



 + +

−

= 3

3 2

1

V V

V

_O

V

Si tratta di un SOMMATORE INVERTENTE avente guadagno unitario GV =−−−−1, noto come MEDIATORE INVERTENTE.

CONFIGURAZIONE DA DIFFERENZIALE

L’applicazione del principio di sovrapposizione degli effetti consente di procedere come segue a) agisce VS1 con VS2=0V

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

Configurazione NON invertente. L’uscita VO1 è definita da:

1 4 3

4 1

1

1

^f

·

_S

O

V

R R

R R

V R  

 





⋅ +

 

 



 +

=

b) agisce VS2 con VS1=0V

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

Configurazione invertente. L’uscita VO2 è definita da:

2 1

2 ^f

·

_S

O

V

R V = − R

In presenza dell’azione dei due generatori indipendenti di tensione VS1 e VS2 si ottiene la relazione costitutiva dell’amplificatore differenziale.

2 1 1 4 3

4 1

·

·

1

^f _S ^f _S

O

V

R V R

R R

R R

V R   −

 





⋅ +

 

 



 +

=

Se si procede al dimensionamento caratterizzato da (Rf/R1) = (R4/R3), si perviene alla relazione:

)

·(

_{1 2}

1

S S f

O

V V

R

V = R −

_{⇒ ⇒ ⇒ ⇒}

amplificatore differenziale puro con guadagno GV=(Rf/R1)

In particolare, se è R1=Rf=R3=R4, si ottiene un guadagno unitario

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

V

_O

= ( V

_S1

− V

_S2

)

V

d

= 0

V

⁺

= V

⁻⁻⁻⁻

I

₁

= I

_f

+ + + +

−

−

−

−

+VCC

−

−−

−VCC

V

_O

R1

R

f

A

OL

V

d

V

S1

I

f

I

₁

+

−−

−−

V

⁺

R3

R4 RK

V

S2

+

−

−

−

−

Principio della Traslazione del Potenziale

MULTIVIVRATORE ASTABILE – OSCILLATORE A ONDA QUADRA

Il multivibratore astabile, ovvero a oscillazione libera, è un circuito che presenta una uscita che commuta tra due stati quasi stabili in maniera ripetitiva e con una frequenza fO che dipende dai parametri del circuito. L’amplificatore operazionale viene “reazionato positivamente” tramite le resistenze Rf e Rr ; pertanto, NON risulta verificata la condizione relativa all’applicabilità del principio di traslazione del potenziale.

La realizzazione circuitale, comporta la presenza di una reazione negativa attuata tramite il filtro passa basso RC, che fornisce la tensione al morsetto invertente V⁻⁻⁻⁻ “integrando” la tensione d’uscita VO, nonché una reazione positiva espressa tramite il partitore Rf, Rr che determina la tensione di soglia al morsetto NON invertente. Con riferimento alla figura 1, risulta poi ovvia la seguente relazione:

) (

· )

( v t

R R t R

v

_O

f r

r

= +

+

OL OL

f r

r TI

OH OH

f r

r TS

V R V

R V R

t v

V R V

R V R

t v

β β + =

=

=

+ =

=

=

+ +

· )

(

· )

(

con:

f r

r

R R

R

= + β

Si osservi che la configurazione dell’astabile di figura utilizza un amplificatore operazionale ad alimentazione duale (+Vcc,−−−−Vcc); in tale circostanza, e nell’ipotesi di amplificatore ideale, deve considerarsi VOH=+Vsat=+Vcc e VOL=-Vsat=-Vcc. In realtà negli amplificatori reali la tensione vO, quando l’uscita è in saturazione, risulta assumere valori inferiori all’alimentazione: di solito con alimentazione duale ±±±V± cc =±±15V si ottiene ±±± ±±Vsat± =±±13.5V. ±±

Supponiamo, come ipotesi iniziale, che la tensione in uscita siaVOLe che il condensatoreC tenda a portarsi a tale valore con costante di tempo ττττ = RC. Durante questo transitorio la tensione del condensatore raggiunge il valore vc(t)=VTI =ββVββ OL e tende poi a diminuire cosicché la tensione differenziale vd =(V⁺−−−−V⁻⁻⁻⁻) tende a divenire positiva per cui l’uscita VO commuterà dallo stato basso VOL allo stato alto VOH.

In tale istante consideriamo l’origine per lo studio temporale del funzionamento del dispositivo.

L’uscita è ora a VOH, il condensatore tende a caricarsi a tale valore partendo dalla tensione di pre carica VC(0) = VTI; il fenomeno è gestito dall’equazione:

τ t C

C C

C

t v v v e

v ( ) = ( ∞ ) + [ ( 0 ) − ( ∞ )]·

⁻

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

v

_C

( t ) = V

_OH

+ ( V

_TI

− V

_OH

)· e

^−tτ

Tuttavia, non appena vc(t) raggiunge il valore VTS, e tende a superarlo, risulta vd <0 e, pertanto, il trigger commuta l’uscita dal valore VOH al VOL e il condensatore inizierà una nuova fase di carica gestita dalla tensione VOL.

V

_d

≠ ≠ ≠ ≠ 0

v

⁺

(t) ≠ ≠ ≠ ≠ v

⁻⁻⁻⁻

(t)

i

_f

(t) = ± ± ± ±i

_C

(t)

v

_O

(t) =

± ±V ± ±

_CC

+ + + +

−

−

−

−

+VCC

−−−

−V_CC

V

_O

(t) R

A

_OL V_d

I

f

i

C

(t) v

_C

(t)

V

⁺

C

RK

Rf

R

r

(figura – 1)

LaduratadellacondizioneVO=VOH,cioèilperiodoT1dellostatometastabileVO=VOH,è fornito dalla relazione:

) (

) ) (

( )

(

₁ ^{1 1}

OH TI

OH CR TS

T CR

T OH TI

OH TS

C V V

V e V

e V V V

V T

v

−

= −

⇒

− +

=

=

^{− −}

Il valore del periodo T1 è pertanto:

 

 





−

= −

−

= −

OH OH

OH OL

e OH

TS

OH TI

e V V

V CR V

V V

V CR V

T

β

·log β )

(

)

·log (

1

All’istante t=T1, come già asserito, l’uscita vO dell’astabile commuta a VOL e il condensatore C si dovrà caricare al nuovo valore VOL con la stessa costante di tempo ττττ=CR. Considerando la l’origine degli assi traslata in T1, la legge che governa il transitorio è espressa dalla scrittura:

CR t OL TS

OL

C t V V V e

v

( ) = + ( − )

⁻

Il persistere della condizione vO(t)=VOL, cioè il periodo T2, è fornito dalla relazione:

OL TS

OL CR TI

T CR

T OL TS

OL TI

C V V

V e V

e V V V

V T

v

−

= −

⇒

− +

=

= ( )

^{− 2 − 2}

) (

₂

Il valore del periodo T2 è pertanto:

 

 





−

= −

−

= −

OL OL

OL OH

e OL

TI

OL TS

e V V

V CR V

V V

V CR V

T

β

·log β )

(

)

·log (

2

È evidente che all’istante T2 si raggiunge la condizione che si aveva all’istante t=0 e, pertanto, il processo si ripeterà con il periodo TO definito, insieme alla relativa frequenza delle oscillazioni, dalle posizioni seguenti:

O O

O T T f T T T

T

1 1

2 1 2

1

=

= +

⇒ +

=

In figura 2 viene mostrato il grafico dell’andamento temporale della tensione vC(t) alle armature del condensatore nel caso in cui sia nullo l’eventuale segnale di riferimento VR e il multivibratore astabile presenti alimentazione simmetrica duale VOL=−−V−− OH. In tali ipotesi i periodi relativi allo stato alto e allo stato basso dell’uscita vO(t) sono forniti, rispettivamente, dalle scritture seguenti:

 





 



 +

 =



 





−

= +

 

 





−

= −

f r e

e OH

OH OL

e

R

CR R V CR

V CR V

T ·log 1 2

1

·log 1 )·

1

·log (

1

β

β β

β

 





 



 +

 =



 





−

= +

 

 





−

= −

f r e

e OL

OL OH

e

R

CR R V CR

V CR V

T ·log 1 2

1

·log 1 )·

1

·log (

2

β

β β

β

t

=0

t

=T1

t

=T1+T2

t v

c

V

_OH

V

_OL

V

TS

V

_TI

vC(t)

Grafico della tensione VC(t) del condensatore nel caso in cui sia:

V

_r

= 0

v

OH

= − − − −v

OL (figura – 2)

Sempre nell’ipotesi di V_r=0 e di una alimentazione duale simmetrica VOH=−−−−VOL, il periodo TO

e, quindi, la frequenza delle oscillazioni fO, sono forniti dalle relazioni seguenti:

 





 



 +

 =







 



 +

 +







 



 +

= +

=

f r e

f r e

f r e

O

R

CR R R

CR R R

CR R T

T

T

_{1 2}

·log 1 2 ·log 1 2 2 ·log 1 2 f

_O

= 1/T

_O

La figura 3 mostra, sempre nel caso di alimentazione simmetrica duale VOH =−−−−VOL, l’andamento temporale della tensione di uscita VO(t) e della tensione al morsetto non invertente V⁺(t). Si può inoltre constatare che T1 =T2 e che, pertanto, l’oscillazione presenta un duty cycle del 50%, infatti risulta:

% 50 2 100

100 1 2

1

·log 2

2 1

·log 100

%

¹

= =

 





 



 +

⋅

 





 



 +

=

=

f r e

f r e

O

R CR R

R CR R

T DC T

Appare utile ricordare che la resistenza R che realizza la reazione negativa ed il condensatore C definiscono un filtro passa basso secondo lo schema mostrato in figura 4. L’andamento temporale della tensione vC(t) alle armature del condensatore è definito dalla legge generale della carica del

condensatore dal valore iniziale VIN al valore finale Vf con costante di tempo ττττ = CRth, in cui Rth rappresenta la “resistenza equivalente” di Thévenin sentita dal condensatore C stesso.

La legge è espressa dalla relazione:

CR t C

C

C

t v v v e

v ( ) = ( ∞ ) + [ ( 0 ) − ( ∞ )]·

⁻

ovvero, anche dalla scrittura seguente:

CR t f IN f

C

t V V V e

v ( ) = + ( − )·

⁻

t

V

TI

t’=T2

v

O

t=0 t=T1

V

_OH

V

OL

V

TS

V⁺(t)

T1

t’=0

T2

TO

VO(t) VO(t)

(figura – 3)

C

R

v

_O

(t) v

C

(t)

(figura – 4)