Sensori e Segnali
Sia dato un sensore a semiconduttore sensibile alla luce visibile
A bassa intensita’, il tempo medio di arrivo dei fotoni e’ molto piu’ grande del
tempo di raccolta, il segnale consiste di singoli impulsi. Man mano che l’intensita’
cresce anche la rate dei fotoni cresce; ad un certo punto i segnali dai singoli fotoni si sovrappongono ed in output appaiono come una corrente continua.
La corrente media di una sequenza di impulsi i(t) di durata T ad una rate R e’
iav = R R
i(t)dt
Se ciascun impulso ha una componente DC, la componente DC del treno di impulsi crescera’ man mano che cresce la rate.
Ciascun impulso ha un caratteristico spettro di Fourier, e poiche’ e’ un processo di sovrapposizione la somma di tutti gli impulsi ha lo stesso spettro di frequenza come un impulso individuale, per cui:
⇒ il S/N puo’ essere valutato usando o gli impulsi o i segnali continui.
⇒ un filtro ottimizza sia il S/N del singolo impulso, che il S/N ad alta rate.
⇒ la necessita’ di risolvere i singoli impulsi o misurare con precisione la loro ampiezza, richiede constraint sulla scelta del filtro ad alta rate.
S/N con Sorgente capacitiva di segnali
+ − C Vin R
Sensore Amplificatore
Il circuito equivalente e’ il seguente
Iin
Cdet Vin
Is
R
Sensore Amplificatore
in cui si identificano i due sistemi: il sensore e l’amplificatore. Nel sensore le cariche che si muovono inducono una variazione delle cariche sugli elettrodi, la capacita’ del sensore si scarica attraverso
l’amplificatore.
Se un amplificatore con noise costante, allora il S/N (e la carica di noise equivalente) dipende dall’ampiezza del segnale.
La forma dell’impulso registrata dall’amplificatore dipende dalla costante di tempo in input RCdet. Assumiamo dal sensore un impulso di corrente rettangolare di
durata T ed ampiezza Is.
Iin
Cdet Vin
Is
R
Sensore Amplificatore
La corrente in input all’amplificatore sara’:
0 ≤ t ≤ T : iin(t) = Is(1 − e−t/RC) (1) T ≤ t ≤ ∞ : iin(t) = Is(eT /RC − 1) · e−tRC (2) Con costante di tempo breve RC ≪ T l’impulso dell’amplificatore riproduce
approssimativamente l’impulso della corrente del sensore.
RC = 0.01 T
SEGNALE
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
RC = 0.1 T
SEGNALE
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
Come laRC in input cresce, il segnale dell’amp si allarga e l’ampiezza del picco decresce, anche se l’integrale, cioe’ la carica del segnale, rimane la stessa.
0.5
1/t
SEGNALE
0 0 1 2 3 4 6 7 8 9 10
RC = T
0.05
1/t
SEGNALE
0 0 1 2 3 4 6 7 8 9 10
RC = 10 T 0.1
RC = 100 T
1/t
SEGNALE
0 0 1 2 3 4 6 7 8 9 10
0.01 0.001
1/t
SEGNALE
0 0 1 2 3 4 6 7 8 9 10
RC = 1000 T
Per una costante di tempo molto lunga la corrente del segnale e’ integrata sulla capacita’ del
sensore e la tensione risultante sentita dall’amplificatore e’ Vin = QCdet = R iCsdt Quindi il picco del segnale dell’amp e’ inversamente proporzionale alla capacita’
totale all’input, i.e. la somma della capacita’ del sensore, capacita’ di input dell’amplificatore e capacita’ parassite.
Massimo segnale vs capacita’
1.2
Max Segnale
RC/T
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0.2 0.4 0.6 0.8
1
Per costanti di tempo piccole il segnale dell’amp approssima l’impulso del sensore ed e’ indipendente dalla capacita’. Per
costanti di tempo grandi (RC/T ) > 5), il massimo del segnale decresce
lineramente con la capacita’. 100
Max Segnale
RC/T 0.01
0.1 1
0.1 1 10
Per RC grandi rispetto alla durata dell’impulso del sensore il S/N decresce con la capacita’ del sensore.
N.B. Bisogna stare attenti quando si estrapola a piccole capacita’: se S/N = 1 a RC/T = 100, ridurre la capacita’ a 1/10 del suo valore originale (RC/T = 10), aumenta S/N a 10. Se inizialmente RC/T = 1 tuttavia la riduzione di un fattore
10 nella capacita’, RC/T = 0.1, porta solo ad un S/N = 1.6
Noise vs Capacita’ del sensore
In un sistema con preamplificatore voltage-sensitive
• la tensione di noise all’output e’ essenzialmente indipendente dalla capacita’ del sensore, cioe’ la tensione di noise equivalente in input e’vin = vno/Av
• il segnale di input diminuisce con l’aumentare della capacita’ di ingresso, cioe’ il S/N dipende dalla capacita’ del sensore.
In un preamp sensibile alla carica, il segnale all’output dell’amp e’ indipendente dalla capacita’ del sensore, se Ci ≫ Cdet, e il noise?
• il noise che appare all’output del preamp e’ fed back all’input, diminuendo cosi’
il noise di output che in open loop e’ vno = vniAv; quanto grande sia il feedback dipende dall’impedenza di shunt all’input cioe’ dalla capacita’ del sensore.
N.B. La sorgente di noise dominante e’ tipicamente interna all’amp e soltanto in configurazione fed back parte di questo noise e’ presente all’input; in altre parole, il segnale primario di noise non e’ una carica (o tensione) fisica all’input dell’amp a cui loop rispone alla stessa maniera come ad un segnale del sensore.
⇒ Il S/N all’output dell’amp dipende dal feedback
Noise nel preamplificatore sensibile alla carica
Sia la tensione di noise in output Vno che e’ riportata all’input attraverso il divisore di tensione capacitivo Cf − Cd.
Vni Vno
Cd Zi infinita
vno = Vni XCf + XCd
XCd = vni(ωC1
f + ωC1
d )
ωC1d
= vni[1 + Cd
Cf ] (3)
La carica equivalente di noise di input Qni = vno
AQ = vnoCf = vni(Cd + Cf) (4)
Il S/N per il preamp charge sensitive e’:
Qs
Qni = Qs
vni(Cd + Cf) = 1 C
Qs
vni (5)
Stesso risultato come per l’amp voltage-sensitive, ma in piu’
• il segnale e’ costante e
• il noise cresce con l’aumentare di C
Come si e’ visto in precedenza la salita dell’impulso all’uscita dell’amp cresce con il carico capacitivo totale di input, a causa del feedback ridotto.
In contrasto la salita dell’impulso di un amp voltage-sensitive non e’ sensibile alla capacita’ di input, sebbene la carica equivalente di noise aumenti co C proprio come l’amp charge-sensitive.
Conclusioni
In generale si puo’ dire che
• il S/N ottimale e’ indipendente da dove la tensione, corrente o carica e’ sentita.
• il S/N non puo’ essere migliorato col feedback
Limiti quantici del noise negli amp
Qual’e’ il limite inferiore al noise elettronico? Puo’ essere eliminato, ad esempio usando superconduttori ed eliminando i device che generano shot noise?
Come punto di partenza c’e’ il principio di indeterminazione
∆E∆t ≥ ~/2 (6)
Si consideri una banda di frequenza stretta alla frequenza ω, l’incertezza
sull’energia e’ equiparata all’incertezza sul numero di quanti del segnale e quella sul tempo all’incertezza in fase, cosi’
∆E = ~ω∆n, ∆t = ∆φ/ω percui ∆φ∆n ≥ 1/2 (7)
Se le distribuzioni nei numeri e nella fase sono gaussiane, allora vale il segno di uguaglianza.
L’amplificatore sia senza noise e con guadagno G, cosicche’ a n1 quanti in input corrisponderanno n2 = Gn1 quanti in output e la fase φ2 sara’ spostata di una costante relativa all’input.
La stessa relazione di indeterminazione deve valere in output
∆φ2∆n2 = 1/2 (8)
Ma poiche’ ∆n2 = G∆n1 e ∆φ2 = ∆φ1 si ha ∆φ1∆n1 = 1/(2G) che e’ minore di quanto previsto dal principio di indeterminazione!
La contraddizione si risolvere assumendo che anche l’amplificatore introduca noise per unita’ di bandwidth di tipo
dPno
dω = (G − 1)~ω (9)
che riferito all’input e’
dPni
dω = [1 − 1
G]~ω (10)
Se il noise da questo stadio deve essere basso, il guadagno del primo stadio deve essere molto grande e allora il noise minimo dell’amp sara’
dPni
dω = ~ω (11)
Per una lunghezza d’onda di 2mm il noise minimo corrisponde a circa 7K.
