Nel sistema non inerziale dell asta e parallelamente a essa, sulle due masse agiscono rispettivamente le forze. ed essendo

(1)

FISICA GENERALE I A.A. 2016-2017 3 luglio 2017

Cognome Nome matricola

Corso di Studi Docente CFU 8-9 10 12 Voto: Ritirato (barrare e firmare) :

Esercizio n. 1 Un’asta di massa trascurabile ruota a velocità angolare costante intorno a un asse normale al piano di rotazione, passante per il suo centro O. L’asta funge da guida per due anelli di massa m1 e m2 liberi di scorrere senza attrito e collegati tra loro da fili inestensibili di lunghezza L (vedi figura). Determinare le distanze r1 e r2 degli anelli da O per le quali si ha la condizione di equilibrio rispetto all’asta. m1=0.7kg, m2=0.5kg, L=0.5m

Nel sistema non inerziale dell’asta e parallelamente a essa, sulle due masse agiscono rispettivamente le forze

con

Proiettando nella direzione dell’asta

ed essendo

Esercizio n. 2 L’asta omogenea OA di massa m e lunghezza d è in equilibrio e forma un angolo

 con una parete verticale come in figura. L’estremo O dell’asta poggia sulla parete e su di esso agiscono la forza di attrito statico di coefficiente s e la molla verticale BO di costante K. L’estremo A dell’asta è legato al filo teso AB perpendicolare alla parete. Molla e filo sono ancorati alla parete nel punto B. B) Determinare l’allungamento massimo LM della molla che permetta all’asta di rimanere in quiete. Successivamente molla e filo vengono sganciati dopo aver incernierato alla parete l’estremo O dell’asta permettendole di ruotare. B) Determinare la velocità angolare F che l’asta raggiungerà in posizione verticale.

m=0.1kg, d=0.2m, =45°, s=0.3, K=50N/m [Si assumano il filo inestensibile e le masse di molla e filo trascurabili]

A) Dalle equazioni dei momenti rispetto a O e delle forze

si ottiene

Al massimo allungamento che garantisca la quiete si ha da cui

B) Durante la rotazione si conserva l’energia meccanica

da cui

o

1 0

1 T 

F_A 

2 0

2 T 

F_A 









 



 



cm m L

m r m

cm m L

m r m

2 . 29

8 . 20

2 1

1 2

2 1

T T T || |

| ₁ ₂

L r r₁  ₂













 0 0

2 2 2

2 1 1



 r m T

T r

m

 

0 2 0

















 



S N e

O

f R T g m F

T d g d m M

 



 





















 0 0

0 2 cos

mg f F

T R

Td sen d mg

S e

N



mg R

L

K _M _S _N 

tg cm K

L_M mg ^S 1 2.3

2 



 



 



  

2 2

3 2 cos 1

2

2 ^F

mg md d

d   



 

 

 

rad s

d g

F 3 1 cos 15.8 /





 



O



R 

N

fS

 Fe

T

g md

o

T2 T¹

2

FA

1

FA

(2)

Esercizio n. 3 Due sorgenti coerenti, A e B, separate dalla distanza a sono disposte come in figura ed emettono onde di lunghezza d’onda λ , e velocità c. A) Calcolare il valore di λ affinché un osservatore in quiete nel punto C (vedi figura) rilevi il minimo di interferenza di ordine n=0. Se invece l’osservatore passa per la posizione C con velocità u diretta come in figura, B) calcolare la frequenza dei battimenti percepita utilizzando il valore di λ ottenuto per il caso A).

Eseguire i calcoli per c = 340 m/s ; b = 15 m; a = 2 m; u = 40 m/s.

A)

0 con 1) 2 (2n

] ) (

[  ² ² ¹^/²   



 b b a  n



 

e quindi

m 0.27 ] ) (

[

2  ²  ² ¹^/² 

 b b a



B)

c Hz b a u c c

b ( / )-1 19.8



 

  

 

Esercizio n. 4 Una mole di gas ideale monoatomico compie un ciclo reversibile ABC, in cui AB è una isocora, BC un’espansione adiabatica e CA un’isoterma.

Sapendo che SAB =12J/K. Calcolare: A) il rapporto TB/TA e B) il rendimento del ciclo.

A) Per l’isocora

A B V

AB nc T T

S  ln /

 da cui /  2.62



V AB

c n

S A

B T e

T

B) Il rendimento è

AB CA

Q Q | 1 |

 

Per un ciclo

0





S_AB S_CA da cui Q_CA T_AS_AB

Inoltre Q_AB nc_V(T_B T_A)

41 . ) 0 1 / 1 (

)

1 ( 



 

 

 



A B V

AB A

B V

AB A

T T nc

S T

T nc

S

 T

A B

C p

V

a b u

A B

C

(3)

FISICA GENERALE I 1° Appello Sessione estiva A.A. 2016-17 03.07.2017

Cognome Nome n. matr.

Corso di Studi Docente

Voto  9 crediti  10 crediti  12 crediti Esercizio n. 1 Un'asta rigida, ruota con velocità angolare costante,  , intorno ad una asse verticale, inclinata di un

angolo α rispetto all’asse, come in figura. Un anellino di massa m si muove verso l’alto lungo l’asta ruvida caratterizzata da un coefficiente di attrito dinamico µd . Trascurando la forza di Coriolis, determinare il valore di µd per il quale si verificherà la condizione di equilibrio dell’anello rispetto all’asta ad una distanza dall’asse pari a r.

Eseguire i calcoli per 3 rad/s;  = 60 ° ; r = 1 m.

All’equilibrio, lungo la direzione perpendicolare all’asta:

) ( )

( m²rCos  mgSin

R_n  

lungo la direzione parallela all’asta:

( ) ( ) 0

)) ( )

(

(  ²   ² 

_d mgSin  m rCos  mgCos  m rSin 

Pertanto 



 

) ( )

(

) ( )

(

2 2







 

rCos gSin

gCos rSin

d 0.22

Esercizio n. 2 Un'asta rigida di lunghezza L e massa m, è vincolata tramite una cerniera ad un asse orizzontale passante per l'estremo A. Sull'asta, alla distanza L/3 da A, è fissato un corpo puntiforme di massa m1. La seconda estremità dell’asta è sostenuta da una molla ideale, di costante elastica k, e da una filo orizzontale. Se all’equilibrio, dove l'asta forma un angolo  con la verticale, la molla risulterà orientata lungo la verticale e compressa di una lunghezza d, determinare: A) la tensione lungo il filo; B) il valore della reazione vincolare in A.

Eseguire i calcoli per m = 2 kg, m1 = 1 kg, k = 5 N/m,  = 60 °; d = 10 cm.

A) Per l’equilibrio dei momenti rispetto ad A proiettati lungo la normale al foglio:

0 ) ( )

( )

2 ( )

3 (

1   LSin kdLSin TLCos  

mg LSin

g

m

da cui T=21.8 N

B) Per l’equilibrio delle forze lungo l’orizzontale: R_x  T 

21.8 N

lungo la verticale : R_y (m₁m)gkd 

28.9 N Pertanto R (R_x² R²_y)¹^/² 

36.2 N

A



d 

m²r Fa

Rn

α mg

T



Ry

mg m1g Fe

Rx

r





(4)

Esercizio n. 3 Due altoparlanti distanti d sono disposti come in figura ed emettono onde in fase, di frequenza ν e velocità c.

Un osservatore passa con velocità orizzontale u per il punto a distanza L dall’altoparlante più basso in figura. A) calcolare la frequenza dei battimenti percepita dall’osservatore. Se invece l’osservatore è fermo nella stessa posizione e l’intensità di ogni onda è I, B) calcolare l’intensità dell’onda risultante che egli percepirà in quel punto.

Eseguire i calcoli per ν = 680 Hz; c = 340 m/s ; L = 10 m; d = 2 m; u= 30 m/s; I = 2 W/m².

A)     ( ))

( c

uCos c

c u c

b

 

 1.2 Hz 0.98

) ) (

Cos(

con ₂ ₂ ₁_/₂ 

 

d L

 L

B) ) 0.84 /

( 2 4

; rad 2.48 c

]2 )

[(d²L² ¹^/²L  I_TOT  ICos²   W m²



  

Esercizio n. 4 Una mole di gas ideale monoatomico compie un ciclo ABC, in cui AB è una espansione adiabatica irreversibile, BC una isobara reversibile e CA una isocora reversibile che chiude il ciclo. Sapendo che TA = 2TB e che SBC+SCA = - 6 J/K, calcolare : A) il rapporto VB/VA ; B) il rendimento del ciclo.

A) ( ) ln( ) ln( )

A B A

B V AB CA

BC V

R V T c T S S

S    



 ; quindi VB/VA = 5.82

B)

) 1 / (

) 1 / 1 (

) (

) 1 (

1 

 

 

 







C A

C B C

A V

C B P ass

ced

T T

T T T

T c

T T c Q

Q 

 con  =1.67 ,

2 2 e

A B C B C A A

B C B C B

V V T T T T V

V V V T

T    

Pertanto  = 0.24

u

(5)

FISICA GENERALE I Compito A 2° appello estivo A.A. 2016-2017 17.07.2017

Voto 8/9 crediti 10 crediti 12 crediti Ritirato (barrare e firmare):

Esercizio n. 2 Una sbarra omogenea AB, di lunghezza l e massa m, è sospesa ad un soffitto tramite due molle ideali verticali, di uguale lunghezza a riposo e costanti elastiche k1 e k2, poste agli estremi A e B. Allo scopo di disporre la sbarra in equilibrio orizzontale, viene fissato ad essa un corpo puntiforme di massa m1 in un punto O compreso tra i due estremi. Determinare: a) la distanza di tale punto dall’estremo A; b) la frequenza delle oscillazioni quando il sistema viene spostato verticalmente dalla posizione di equilibrio.

Eseguire i calcoli per: l=34 cm, m=250 g, k₁=50 N/m e k₂=13 N/m, m1 = 750 g.

A causa delle masse sospese, le molle si allungano di una quantità y₀ rispetto alla loro lunghezza a riposo. Quindi:

(𝑘₁+ 𝑘₂)𝑦₀= (𝑚 + 𝑚₁)𝑔 da cui y0 = 0.15 m

Detta x la distanza OA, all'equilibrio Mtot=0 e quindi, scegliendo il polo in A, si ottiene:

𝑚₁𝑔𝑥 + 𝑚𝑔^𝑙

2− 𝑘₂𝑦₀𝑙 = 0 da cui𝑥 = ^𝑙

𝑚₁𝑔(𝑘₂𝑦₀−^𝑚𝑔

2 ) = 3.3𝑐𝑚

La frequenza delle oscillazioni si ricava considerando l'equazione della dinamica del sistema. Detto y lo spostamento rispetto ad y₀, si ha:

(𝑚 + 𝑚₁)𝑑²𝑦

𝑑𝑡² = (𝑚 + 𝑚1)𝑔 − (𝑘₁+ 𝑘2)(𝑦 + 𝑦₀) Si ricava quindi

𝑣 = 1

2𝜋√(𝑘₁+ 𝑘₂)

(𝑚 + 𝑚₁)= 1.26𝑠⁻¹

Esercizio n. 1 Una sferetta di massa m, sospesa ad un filo ideale di lunghezza l1, che forma un angolo θ1 con la verticale, descrive un moto circolare su un piano orizzontale, con velocità angolare ω1. Ad un certo istante, tramite un meccanismo nel punto di sospensione, il filo viene accorciato fino ad una lunghezza l2, in corrispondenza della quale l’angolo rispetto alla verticale diventa θ2. Determinare: a) la velocità angolare ω1; b) la lunghezza l2 e la corrispondente velocità angolare ω2. Eseguire i calcoli per: l1=5m, θ1=30°, θ2=45°.

Il sistema è un pendolo conico. Detta T la tensione del filo si ha:

a)

𝑇𝑠𝑖𝑛𝜃₁=𝑚𝜔₁² 𝑟₁

𝑇𝑐𝑜𝑠𝜃₁=𝑚𝑔 e quindi 𝑡𝑔𝜗₁=^𝜔¹²_𝑔^𝑟¹ con 𝑟₁= 𝑙₁𝑠𝑖𝑛𝜗₁ e dunque 𝜔₁= √^{𝑔𝑡𝑔𝜗}_𝑟 ¹

1 = 1.5𝑟𝑎𝑑/𝑠 b)

La componente del momento angolare Lz rispetto al punto di sospensione si conserva:

𝑚𝜔₁𝑟₁²= 𝑚𝜔₂𝑟₂², 𝑡𝑔𝜗₂=^𝜔²²^𝑟²

𝑔 e dunque 𝜔₂ = 𝜔₁^𝑟¹²

𝑟₂² da cui 𝑟₂= √^𝜔¹²^𝑟¹⁴

𝑔 𝑡𝑔𝜗₂

3 = 2.1𝑚

Da qui 𝑙₂=_{𝑠𝑖𝑛𝜗}^𝑟²

2= 3𝑚 e 𝜔₂= 2.1𝑟𝑎𝑑/𝑠

m θ 1

l1

(6)

Esercizio n. 3 Un cilindro omogeneo, di massa M, area di base S e altezza h, è in equilibrio quando è immerso per metà della sua altezza in un grande recipiente contenente acqua, con le basi parallele alla superficie del liquido. Ad un certo istante, il cilindro viene abbassato di una quantità x0=h/4 e, successivamente, il corpo viene lasciato libero. Trascurando ogni attrito, determinare l’altezza h del cilindro, l’equazione del moto e la velocità massima. Assumere che durante il moto il cilindro resti sempre verticale. Eseguire i calcoli per: M=0.1kg, S=10cm².

All’equilibrio si ha : 𝑀𝑔 − 𝜌_𝑎𝑆^ℎ

2𝑔 = 0 da cui ℎ = ^2𝑀

𝜌_𝑎𝑆= 0.2𝑚 Quando viene abbassato si ha: 𝑀^𝑑²^𝑥

𝑑𝑡² = 𝑀𝑔 − 𝜌_𝑎𝑆𝑔 (^ℎ

2+ 𝑥) e quindi ^𝑑²^𝑥

𝑑𝑡² +^𝜌^𝑎^𝑆𝑔

𝑀 𝑥 = 0

cioè l’equazione è quella di un moto armonico con 𝜔²=^𝜌^𝑎^𝑆𝑔

𝑀

Quindi 𝜔 = √^𝜌^𝑎_𝑀^𝑆𝑔≅ 10𝑠⁻¹ e 𝑣𝑚𝑎𝑥= 𝑥0𝜔 = 0.5𝑚/𝑠

Esercizio n. 4 Un recipiente adiabatico di volume V0 è diviso in due parti uguali da una parete rigida di sezione S che può scorrere senza attrito. Una metà è riempita con n moli di gas perfetto monoatomico, mentre nell’altra metà si trova una molla di costante elastica K. La parete mobile è in equilibrio quando la molla è compressa di una quantità Δx. Praticando un foro molto piccolo nella parete, il gas inizia a riempire molto lentamente la metà in cui si trova la molla e la velocità con cui si sposta la parete può considerarsi istante per istante trascurabile. Alla fine del processo, la parete mobile raggiungerà una nuova posizione di equilibrio. Calcolare la variazione di energia interna e di entropia del gas. Eseguire i calcoli per: V0=0.04m³, S=100cm², n=0.9, K=10³ N/m, Δx=1m.

All’equilibrio 𝑝_𝑖𝑆 = 𝐾∆𝑥 e quindi 𝑝_𝑖 = 10⁵𝑃𝑎 da cui 𝑇_𝑖 =_𝑛𝑅^𝑝^𝑖^𝑉₂⁰= 267𝐾

Nello stato finale di equilibrio, la pressione nel recipiente deve essere uniforme e quindi la molla sarà a riposo. Essendo il sistema isolato, la variazione di energia interna sarà nulla, quindi

∆𝑈_{𝑚𝑜𝑙𝑙𝑎} = −¹

2𝐾∆𝑥² e ∆𝑈_{𝑚𝑜𝑙𝑙𝑎} + ∆𝑈_𝑔𝑎𝑠 = 0 da cui ∆𝑈_𝑔𝑎𝑠 =¹

2𝐾∆𝑥²= 500𝐽 Da qui si ottiene 𝑇_𝑓 =

1

2𝐾∆𝑥²+𝑛𝑐_𝑣𝑇_𝑖

𝑛𝑐_𝑣 = 312𝐾

Per la variazione di entropia del gas si ottiene: ∆𝑆 = 𝑛𝑐𝑣𝑙𝑛^𝑇_𝑇^𝑓

𝑖+ 𝑛𝑅𝑙𝑛^𝑉_𝑉^𝑓

𝑖 = 6.9𝐽/𝐾 con 𝑉𝑓= 𝑉0

0

x

(7)

FISICA GENERALE I Compito B 2° appello estivo A.A. 2016-2017 17 Luglio 2017

Corso di Studi Docente CFU 8-9 10 12

Voto: Ritirato (barrare e firmare) :

Esercizio n. 1 Un punto materiale è posto alla distanza r dall'asse di una piattaforma ruotante con velocità angolare ₀, restando fermo rispetto ad essa. Imprimendo alla piattaforma una accelerazione angolare  si osserva che dopo un intervallo di tempo t* il punto materiale inizia a muoversi. Determinare il coefficiente di attrito statico. Utilizzare per i calcoli:

r= 10 cm, ₀= 2 rad/s, = 2 rad/s2 , t* = 1.5 s

Nel riferimento inerziale la forza agente sul punto materiale è sRn = ma dove s e il coefficiente di attrito statico ed Rn = mg la reazione normale.

a= (a2t+a2n)^1/2

con at = r ed an = 2 r : Trascorso l'intervallo di tempo t*, la velocità angolare assume il valore

 = ₀ + t* = 5 rad/s; quindi

s=a/g=(r/g)(²+⁴^1/2

Esercizio n. 2 Un corpo puntiforme di massa m scende su un piano inclinato liscio partendo da fermo e, dopo aver percorso una distanza d, urta in modo totalmente anelastico l’estremo di una sbarretta verticale di lunghezza l e massa M che può ruotare senza attrito intorno all’estremo O. Calcolare la posizione del centro di massa del sistema, rispetto ad O, subito dopo l’urto e la massima variazione di quota che esso subisce in seguito all’urto. Eseguire i calcoli per: m=1kg, θ=60°, d=1.2m, l=0.8m, M=3kg.

𝑦_𝑐𝑚 =𝑀𝑙 2 + 𝑚𝑙

𝑀 + 𝑚 = 0.5𝑚

Al momento dell’urto 𝑣 = √2𝑔𝑑𝑠𝑖𝑛𝜃 = 4.5 𝑚/𝑠

Conservazione del momento angolare rispetto ad O: 𝐿⃗⃗⃗ = 𝑙 ∧ 𝑚𝑣 𝐿_𝑖 _𝑖 = 𝑚𝑣𝑙 sin 30°

𝐿_𝑓

⃗⃗⃗⃗ = 𝐼𝜔⃗⃗ con 𝐼 =¹₃𝑀𝑙²+ 𝑚𝑙² = 1.28 𝑘𝑔𝑚² 𝐿_𝑖

⃗⃗⃗ = 𝐿⃗⃗⃗⃗ _𝑓

da cui 1.4 rad/s

Dopo l’urto si conserva l’energia meccanica: ¹

2𝐼𝜔²= (𝑀 + 𝑚)𝑔Δℎ da cui Δℎ = 3 𝑐𝑚

d M, l m

θ O

(8)

Esercizio n. 3 Un cubo omogeneo, di massa M e lato L, è in equilibrio quando è immerso di L/3 in un grande recipiente contenente un liquido, con la base parallela alla superficie del liquido. Ad un certo istante, il cubo viene abbassato di una quantità x0=L/5 e, successivamente, viene lasciato libero. Trascurando ogni attrito, determinare la densità del fluido, l’equazione del moto del cubo e la velocità massima. Assumere che nel moto le facce del cubo non cambino mai orientazione. Eseguire i calcoli per: M=50g, L=5cm.

All’equilibrio si ha : 𝑀𝑔 − 𝜌_𝑙𝐿^{2 𝐿}

3𝑔 = 0 da cui 𝜌_𝑙 =^3𝑀

𝐿³ = 1.2 ∙ 10³𝑘𝑔/_𝑚³ Quando il cubo viene abbassato si ottiene:

𝑀^𝑑²^𝑥

𝑑𝑡²= 𝑀𝑔 − 𝜌_𝑙𝑔𝐿²(^𝐿

3+ 𝑥) e quindi ^𝑑²^𝑥

𝑑𝑡² +^𝜌^𝑙^𝑔𝐿²

𝑀 𝑥 = 0 cioè l’equazione è quella di un moto armonico con 𝜔²=^𝜌^𝑙^𝑔𝐿²

𝑀

Quindi 𝜔 = √^𝜌^𝑙_𝑀^𝑔𝐿²≅ 24.3𝑠⁻¹ e 𝑣_𝑚𝑎𝑥= 𝑥₀𝜔 = 0.24𝑚/𝑠 :

Esercizio n. 4 A una mole di gas biatomico inizialmente a volume V1 ideale viene fatto percorrere un ciclo reversibile seguendo una trasformazione isoterma a Ta fino a triplicare il volume, quindi una trasformazione isocora ed infine una trasformazione adiabatica che riporta il gas allo stato iniziale. Si determini:

a) il lavoro ed il calore scambiati dal gas in tutti e tre i processi b) la variazione di entropia del gas in tutti e tre i processi.

Utilizzare per i calcoli Ta=300K

Per la trasformazione isoterma: Lab Qab nRTaln (3V/V) RTaln3=2739J Per l’isocora: Lbc=0, Qbc=Ubc=ncv(Tc-Tb)=(5/2)R (Tc-Tb)

𝑇𝑐𝑉_𝑐^(𝛾−1)= 𝑇_𝑎𝑉_𝑎^(𝛾−1), da cui Tc=3^(-2/5)Ta=193K, Qbc=-2220 J

Per la trasformazione adiabatica ca: Lca=-Uca=-ncv(Tc- Ta)=-2220 J, Qca=0

Sca=0,

dato che Sciclo=0 abbiamo Sab=-Sbc e quindi

Sab=Qab/Ta=Rln3=9.13 J/K Sbc=-Rln3=-9.13 J/K

0

x

(9)

FISICA GENERALE I A.A. 2016-2017 1 Settembre 2017

Corso di Studi Docente CFU 8-9 10 12 Voto: Ritirato (barrare e firmare) :

Esercizio n. 1 Un punto materiale di massa m è tenuto a contatto con l’esterno di una guida orizzontale circolare di raggio R tramite una molla di costante elastica k e lunghezza a riposo l0 il cui altro estremo è fissato nel centro O della circonferenza. Il punto si muove, in assenza di forza peso, partendo da fermo (al tempo t= 0) dal punto A sotto l’azione di una forza F costante in modulo e sempre tangente alla guida.

Determinare l’istante in cui avviene il distacco tra punto materiale e guida.

Eseguire i calcoli per: k= 25 N/m, m= 200 g, R= 0.5 m, l0= 20 cm, F= 1 N.

In direzione radiale si ha 𝑚𝑣²

𝑅 = 𝑘(𝑅 − 𝑙₀) − 𝑅_𝑁

Il distacco avviene quando RN= 0, ossia 𝑚𝑣_𝑑²

𝑅 = 𝑘(𝑅 − 𝑙₀) → 𝑣_𝑑 = √𝑘𝑅(𝑅 − 𝑙₀)

𝑚 = 4.33 𝑚/𝑠 Ma in direzione tangenziale

𝑚𝑑𝑣

𝑑𝑡 = 𝐹 → 𝑣 = 𝐹

𝑚𝑡 → 𝑡 =𝑚 𝐹 𝑣 Il momento di distacco td è quindi 𝑡_𝑑 =𝑚

𝐹𝑣_𝑑 = √𝑘𝑚𝑅(𝑅 − 𝑙₀)

𝐹² = 0.87 𝑠

Esercizio n. 2 Una sbarretta omogenea di lunghezza L è vincolata da un perno a ruotare, su un piano verticale, attorno al suo estremo A posto su un piano orizzontale (vedi figura). La sbarretta è inizialmente inclinata di un angolo 0 rispetto al piano orizzontale.

Una forza F costante e sempre orizzontale viene applicata all’estremo opposto B della sbarretta. Determinare il minimo valore di F ed il lavoro W effettuato dalla forza per portare la sbarretta in posizione verticale.

Eseguire i calcoli per: m= 1 kg, L= 80 cm, 0= 40°.

La forza deve assicurare il momento necessario alla rotazione, maggiore o uguale in modulo (ma opposto) a quello della forza peso, e quindi per il generico angolo di rotazione  (tra 0 e /2) vale

𝐹𝐿 𝑠𝑒𝑛𝜃 ≥ 𝑚𝑔 ^𝐿₂𝑐𝑜𝑠𝜃 → 𝐹 ≥^𝑚𝑔₂ 𝑐𝑜𝑡𝑔𝜃

Poiché cotg è massimo nella posizione iniziale (= 0), la forza minima necessaria è 𝐹 =^𝑚𝑔

2 𝑐𝑜𝑡𝑔𝜃₀= 5.84 N Il lavoro effettuato è

𝑊 = ∫ 𝑴 𝒅𝜽

𝜋/2 𝜃0

= ∫ 𝐹𝐿 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝜃 = 𝑚𝑔

2 𝑐𝑜𝑡𝑔𝜃₀ 𝐿 ∫ 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝜃 = 𝑚𝑔𝐿

2 𝑐𝑜𝑡𝑔𝜃₀ 𝑐𝑜𝑠𝜃₀

𝜋/2

0 = 3.58 𝐽

𝜋/2

0

0 A B F

A

O

(10)

Esercizio n. 3 Un satellite di massa M percorre un’orbita circolare alla quota h dalla superficie terrestre. Calcolare la velocità del satellite.

Ad un certo istante il satellite urta in maniera completamente anelastica un detrito di massa m avente velocità trascurabile. Calcolare la velocità con cui il satellite colpisce il suolo. Trascurare la resistenza dell’atmosfera.

Massa e raggio terrestri valgono rispettivamente MT= 6 10²⁴ kg e R= 6400 km , e la costante gravitazionale G= 6.67 10^-

11 Nm²kg^-2.

Eseguire i calcoli per: M= 200 kg , m= 40 kg, h= 50 km.

Il satellite compie inizialmente un moto circolare uniforme di raggio R+h, e di conseguenza la sua velocità si ricava dalla

𝑀 𝑣₀²

(𝑅 + ℎ)= 𝐺𝑀𝑀𝑇

(𝑅 + ℎ)² → 𝑣₀= √𝐺𝑀𝑇

𝑅 + ℎ= 7880 𝑚/𝑠

La velocità v dopo l’urto si determina dalla conservazione della quantità di moto sull’asse del moto iniziale del satellite :

(𝑀 + 𝑚)𝑣 = 𝑀𝑣₀ → 𝑣 = ^𝑀𝑣⁰

𝑀+𝑚= 6570 𝑚/𝑠

Successivamente si conserva l’energia. Detta V la velocità di impatto al suolo 1

2(𝑚 + 𝑀)𝑉²−𝐺𝑀_𝑇(𝑚 + 𝑀)

𝑅 =1

2(𝑚 + 𝑀)𝑣²−𝐺𝑀_𝑇(𝑚 + 𝑀) 𝑅 + ℎ da cui

𝑉² = 𝑣²+ 2𝐺𝑀_𝑇(¹

𝑅− ¹

𝑅+ℎ) → 𝑉 = 6640 𝑚/𝑠

Esercizio n. 4 Un numero n di moli di un gas perfetto monoatomico inizialmente in uno stato A viene bruscamente compresso fino a dimezzarne il volume (stato B) mantenendolo a contatto con una sorgente a temperatura TA, con cui scambia una quantità di calore Q0. Determinare la variazione di entropia del gas e il lavoro effettuato.

Al gas viene poi fatto chiudere il ciclo in figura, dove BC è una isocora e CA una trasformazione in cui p aumenta linearmente con V, entrambe reversibili.

Determinare il lavoro compiuto dal gas nel ciclo.

Eseguire i calcoli per: n= 4, TA= 400 K, TC= 250 K, Q0= -9500 J.

La variazione di entropia tra gli stati A e B si può calcolare su una isoterma reversibile

∆𝑆_𝐴𝐵 = 𝑛𝑅𝑙𝑛𝑉_𝐵

𝑉_𝐴 = −23.1 𝐽/𝐾 mentre

WAB= QAB= Q0. Il lavoro totale è

𝑊 = 𝑊_𝐴𝐵+ 𝑊_𝐶𝐴= 𝑄₀+1

2(𝑉_𝐴− 𝑉_𝐶)(𝑝_𝐴+ 𝑝_𝐶) = 𝑄₀+1 2

𝑉_𝐴 2 𝑛𝑅 (𝑇_𝐴

𝑉_𝐴+𝑇_𝐶

𝑉_𝐶) = 𝑄₀+1 2𝑛𝑅 (𝑇_𝐴

2 + 𝑇_𝐶) = −2012 𝐽 A B

C p

V

(11)

FISICA GENERALE I 2° appello autunnale A.A. 2016-2017 18 Settembre 2017

Cognome Nome matricola

Corso di Studi Docente CFU 8-9 10 12

Voto: Ritirato (barrare e firmare):

Esercizio n. 1 Una massa puntiforme m si muove con velocità orizzontale all’interno di una scodella semisferica liscia di raggio R, percorrendo una traiettoria circolare alla quota costante h (vedi figura). Trovare il modulo della sua velocità v. Effettuare i calcoli per: h = 45 cm ed R = 80 cm

La massa percorre una traiettoria circolare di raggio con velocità costante . Le equazioni del moto sono:

→ → → 3.8 /

con 64°

Esercizio n. 2 Una sbarra lunga L poggia in posizione di equilibrio instabile su un piano orizzontale liscio (vedi figura). Essa è vincolata al piano al suo estremo A. Ad un certo istante, viene fornito un impulso trascurabile all’estremo B, che pone la barra in rotazione in presenza di gravità. Calcolare la velocità del centro di massa della barra quando esso tocca il piano. Quale sarebbe la velocità del centro di massa all’impatto sul piano in assenza del vincolo in A ? Effettuare i calcoli per L = 50 cm

Nel primo caso la sbarra è vincolata in A. Essa ruota rispetto a tale estremo conservando la sua energia:

→ →

Nell’istante in cui il centro di massa tocca il piano:

2 3

4 1.9 /

Nel secondo caso, l’estremo della sbarra a contatto con il piano è invece libero di muoversi. Si conserva l’energia, il centro di massa cade lungo la verticale e contemporaneamente la sbarra ruota rispetto al centro di massa stesso. Per la conservazione dell’energia:

→ → → 1.9 /

La velocità del centro di massa quando esso tocca il piano orizzontale è la stessa del caso precedente, ma questa volta il centro di massa non trasla orizzontalmente.

B A z

g

x z

O h

R



y

(12)

Esercizio n. 3 Un tubo di portata Q1 versa liquido ideale all’interno di un recipiente inizialmente vuoto. Il recipiente ha sezione S, profondità H ed un foro sul fondo di sezione s2 (vedi figura). Quale sarà l’altezza raggiunta dal liquido nel recipiente in condizioni di equilibrio dinamico ? A partire da tale condizione di equilibrio, il foro sul fondo viene tappato. Quanto tempo occorrerà per riempire completamente il recipiente ? Effettuare i calcoli per: Q1= 0.01 m³s^-1 , S = 0.28 m² , s2 = 0.005 m² , H = 40 cm

La condizione di equilibrio dinamico si ha quando la portata in ingresso è uguale a quella in uscita. Utilizzando il teorema di Torricelli, si ricava una quota h* pari a:

2 ^∗ → ^∗

2 20.4

Quando il foro viene tappato, il recipiente si riempie di acqua con una portata . Sapendo che per riempire completamente il recipiente bisogna fornire un volume di acqua pari a ^∗ , si ottiene che il tempo necessario per il riempimento è pari a :

∗ ∗

5.5

Esercizio n. 4 Una macchina termica opera facendo compiere ad un gas perfetto monoatomico un ciclo composto da: espansione isoterma AB, isocora BC con pC<pB , compressione isoterma CD, isocora DA.

Determinare la minima variazione di entropia dell’universo per ciclo nel caso in cui si disponga di: 1) tutte le infinite sorgenti tra TA e TC e 2) delle sole sorgenti a temperatura TA e TC .

Effettuare i calcoli per: TA = 500 K, TC = 320 K, n = 2 moli.

Nel primo caso, il ciclo può essere effettuato in modo reversibile. Le variazioni di entropia associate alle quattro trasformazioni termodinamiche si elidono a coppie, cosicché la variazione di entropia complessiva è nulla:

∆ 0

Nel secondo caso, invece, il riscaldamento ed il raffreddamento isocoro del gas possono essere ottenuti solo per contatto diretto con le sorgenti a temperatura maggiore e minore rispettivamente. Le due isocore saranno quindi irreversibili e le rispettive variazioni di entropia saranno differenti. In particolare:

∆ ∆ ∆ ∆ ∆ 5.05 /

La variazione di entropia è maggiore di zero, poiché il ciclo è complessivamente irreversibile.

s₁

s₂ S

H O z

Q1

(13)

FISICA GENERALE I 1° appello invernale A.A. 2016-2017 05.02.2018

Esercizio n. 2 Si consideri un corpo rigido costituito da un cilindro di massa M e raggio R su cui e incollato un altro cilindro di massa m e raggio R/3 (vedi figura). La distanza tra gli assi dei due cilindri è R/2. Il corpo è poggiato su un piano orizzontale sul quale può rotolare senza strisciare. All’istante iniziale il cilindro è posto nella posizione di equilibrio instabile, con il cilindro piccolo nella posizione più alta. Ad un certo istante il corpo inizia a rotolare per effetto di una perturbazione infinitesima. Determinare la velocità angolare del sistema nell’istante in cui il cilindro piccolo si troverà nella posizione più bassa. Eseguire i calcoli numerici con: M = 1 kg, m = 0.2 kg, R = 5 cm.

Dalla conservazione dell’energia, calcolando l’energia potenziale a partire dalla quota dell’asse del cilindro grande, si ha:

 

2 ² ²

2 2

1 2

m R 2 I 1

2 R 1 2M I 1

2 1 2 mgR 2

mgR 



 



 





    

Dove ₁ MR²

2

I 1 e

9 mR 2 I 1

2

2  sono i momenti di inerzia dei due cilindri calcolati rispetto agli assi dei propri centri di massa.

Sostituendo si ottiene

s rad 09 7 18 11 m

M R 3

g

4  . /



 



 

 

Esercizio n. 1 Si consideri il sistema mostrato in figura costituito da due masse m1 ed m2, collegate tramite molle identiche di costante elastica k. Il sistema è ancorato nel punto O in presenza della forza peso. Alla massa m2 è applicata una forza F diretta verticalmente verso il basso. Determinare gli allungamenti Δl1 e Δl2

delle due molle in condizioni di equilibrio. Ad un certo istante la forza F viene rimossa. Determinare l’accelerazione delle due masse e l’accelerazione del centro di massa immediatamente dopo la rimozione della forza. Eseguire i calcoli con m1 = 100 g, m2 = 200 g, k = 50 N/m, F = 2 N.

In condizioni di equilibrio si ha per la massa m2: cm 9 k 7

F g l m 0

F g m l

k₂  ₂    ₂  ²   . per la massa m1:

cm 9 k 9

g l m l

0 g m l k l

k₁ ₂  ₁   ₁ ₂ ¹  .

Immediatamente dopo la rimozione della forza, gli allungamenti delle molle non saranno variati. Si ha quindi per le due masse:

2 2

2 10m s

m a F F

a m a

m g m l

k        /

0 a a

m g m l k l

k₁ ₂  ₁  ₁ ₁  ₁ 

L’accelerazione del centro di massa è data da:

2 2

1 2 2

CM 667m s

m m

a

a m  . /

 

F

m

₁

m

₂

O

R R/3 M R/2

m

(14)

Esercizio n. 3 All’interno di un recipiente cilindrico di sezione S viene versato un volume Vl di un liquido di densità  l. Nel contenitore viene poi posto un solido di volume Vs e densità s (vedi figura). Determinare la pressione in un punto P del liquido posto alla quota h rispetto al fondo. Effettuare i calcoli numerici con

 l = 1000 kg/m³, s = 600 kg/m³, Vl = 2 m³, Vs = 0.4 m³, h = 1.6 m, S = 0.8 m², Patm = 10⁵ Pa

Per il principio di Archimede, il volume sommerso del solido è dato da:

3 s

l s Somm s

s Somm

lV  V  V  V 0.24m



 



Il livello raggiunto dal liquido è dato da:

m 8 S 2

V

h_l V^l  ^Somm  .



La pressione nel punto P è quindi:



h h



112 10 Pa g

P

P  _atm _l _l   .  ⁵

Esercizio n. 4 n moli di gas perfetto sono contenute in un recipiente di volume V in condizioni di equilibrio termico con l’ambiente esterno alla temperatura Ta. Il recipiente è collegato ad un altro contenitore dotato di un pistone mobile di massa trascurabile, tramite un tubicino chiuso da un rubinetto. Tutte le pareti del sistema sono diatermiche. Ad un certo istante il rubinetto viene aperto e il pistone sale compiendo lavoro contro la pressione atmosferica, fino a che tutto il sistema si porta in equilibrio con l’ambiente. Determinare il calore scambiato dal gas e la variazione di entropia dell’universo, Effettuare i calcoli con n = 3, V = 20 L, Pa = 10⁵ Pa, Ta = 300 K

Per l’equazione di stato dei gas perfetti, il volume finale del gas sarà:

3 a

a

f 00748m

P nRT

V   .

Considerando che le temperature iniziale e finale sono uguali, per cui ΔU = 0, e che il lavoro è compiuto contro la pressione atmosferica, per il primo principio della termodinamica si ottiene:

J 5480 V

P L

Q  _a 

La variazione di entropia del gas si può calcolare lungo un’isoterma reversibile:

K J 9 V 32

nR V

S_Gas ln ^f  . /



 



 



Considerando che l’ambiente scambia il calore –Q alla temperatura Ta, la variazione di entropia dell’ambiente è data da:

K J 3 T 18

S Q

a

Amb   . /





Per cui la variazione di entropia dell’universo è: S_Univ S_Gas S_Amb 14.6J/K

_s

_l P_atm

h P

S

P_a; T_a

n; V; T_a

(15)

FISICA GENERALE I 2° Appello invernale A.A. 2016-17 26.02.2018

Esercizio n. 1 Un punto materiale di massa m è collegato mediante due fili ideali ad un'asta rigida verticale che ruota con velocità angolare ω. I fili sono fissati all'asta in modo che, nella rotazione, il filo più lungo, di lunghezza l1, formi un angolo di 90° con quello più corto di lunghezza l₂e un angolo θ con l’asta verticale. Determinare le tensioni dei due fili quando ω

= 11,5 rad/s.

Eseguire i calcoli con: m = 1 kg, l₁ = 1 m, θ = 30°

Nel riferimento ruotante: 𝑇_!+ 𝑇_!+ 𝑚𝑔 + 𝑚𝜔^!𝑟 = 0 Proiettando sugli assi orizzontale e verticale, si ha:

T1 senθ + T2cosθ = mω²l1 senθ;

T1 cosθ – T2 sin θ= mg T2= 3 T1-2mg

T₁= mω²l₁/4 + [ 3/2]mg T2 = 3/4 (mω²l1)-1/2 mg

Per ω = 11,5 rad/s T1 = 41,5 N, T2 = 52,36 N

Esercizio n. 2 Una sbarra omogenea di massa M e lunghezza l è saldata tramite una sua estremità lungo un raggio di un disco di raggio r e di massa trascurabile rispetto a quella della sbarra. Un corpo di massa m è agganciato ad un estremo di un filo ideale, avvolto sul bordo del disco. Il sistema può ruotare senza attrito attorno all'asse del disco, disposto orizzontalmente. Inizialmente il sistema è tenuto fermo con l’asta in posizione orizzontale (come in fugura). Ad un certo istante, il blocco viene rimosso. Calcolare l’accelerazione angolare iniziale e la velocità angolare quando l’asta raggiunge la posizione verticale.

Eseguire i calcoli per M = 0.8 kg, m = 2 kg, l = 30 cm, r = 10 cm,

mgr– Mgl/2 = Iα

α = (mgr - Mgl/2)/I = (mgr -Mgl/2)/(Ml²/3+mr²) = 17. 8 rad/s² Ei = -mgh

Ef = -mg(h+rπ/2) + Mgl/2 + ½ Iω² Ef = Ei

ω = 9.2 rad/s

m

M r l

θ ω

l1

l2

m

M r l

(16)

Esercizio n. 3 Una automobile, che viaggia con velocità ve = 20 m/s verso una parete rigida piana, emette un suono di frequenza f = 150 Hz mentre si allontana da un ascoltatore che viaggia in verso opposto con velocità vr = 20 m/s. Calcolare la frequenza dei battimenti percepiti dall’ascoltatore, assumendo per la velocità del suono in aria il valore 340 m/s.

Se v è la velocità del suono, l’ascoltatore percepisce per effetto Doppler un suono di frequenza

f1 = f x(v-vr)/(v + ve) = 150 (340-20)/(340 + 20) = 133,3 Hz La parete piana di fronte alla sorgente in moto riflette un suono di frequenza

f2 = f x v /(v – ve) = (150 x 340)/(340 – 20) = 159,4 Hz

Il suono riflesso dalla parete viene percepito dall’ascoltatore, che si allontana a velocità vr, con frequenza:

f3 = f2x(v-vr)/v = 159,4 x (340-20)/340 = 150 Hz

(si poteva direttamente arguire dal fatto che le velocita ve e vr sono uguali in modulo e quindi i due effetti si cancellano) Le onde sonore che giungono all’ascoltatore direttamente dalla sorgente e quelle riflesse dalla parete si

sovrappongono originando battimenti di frequenza f3 – f1 = 16.7 Hz.

Esercizio n. 4 Un gas biatomico è contenuto in un cilindro con pistone di area S e massa trascurabile, che può scorrere senza attrito ed è vincolato tramite una molla di costante elastica K a un sostegno rigido. Inizialmente la molla è nella sua posizione di riposo. La pressione del gas è pari a quella esterna p0, con volume iniziale Vi e temperatura Ti. Lasciando il sistema a contatto termico con l’ambiente esterno, il gas si porta alla temperatura ambiente T0 ed il pistone si solleva di h.

Calcolare K, il lavoro compiuto dal gas durante la trasformazione e la quantità di calore assorbita dal sistema.

Svolgere i calcoli con S = 0,02 m², p0 = 10⁵ Pa, Vi = 0,002 m³, Ti = 200 K, T0 = 300 K, h = 0,02 m n = p₀V_i/RT_i = 10⁵ Pa x 0,002 m³/(8.314 J/Kmoli x 200 K) = 0,12 moli

V_f = V_i + Sh = 0,002 m³+ 0,02m²*0,02m = 0,0024 m³; p_f = nRT₀/V_f = 1,25 x10⁵Pa Ma la pf è anche uguale a pf = p0 + Kh/S

K = (p_f-p₀)S/h = 0.2 x 10⁵ Pa x 1m = 0.2 x 10⁵ N/m

L = ½ K h² +p₀ΔV = ½ 0.2 x 10⁵ N/m x 0,02² m² + 10⁵ Pa x 0,0004 m³= 44 J Q = L + ΔU = L + ncvΔT =44 J + 0.12 moli x (5/2)R (T0-Ti) = 293,4 J

v_r v_e

(17)