Nome Cognome
Matricola # fogli
COMPITO DI
MATHEMATICS FOR DATA SCIENCE TRENTO, 15 GENNAIO 2019
Istruzioni:
(1) Scrivete subito nome, cognome e numero di matricola qui sopra, e su ogni foglio che consegnate. Alla fine, consegnateci questo foglio, e solo la bella copia: consegnate cioè solo quello che volete che leggiamo.
(2) Al momento di consegnare, scrivete qui sopra il numero di fogli protocollo che consegnate.
(3) Questo compito consiste di due facciate e sette esercizi.
(4) Risolvete tutti gli esercizi seguenti.
(5) Giustificate, possibilmente in modo conciso ed esauriente, le risposte che date.
Esercizio 1. Definite il rango (per righe, per colonne) di una matrice, e calcolate il rango delle matrici seguenti, illustrando in dettaglio il procedimento che adottate.
1 2 1 1 1 1 1 1 0
,
1 2 1
1 1 2
0 1 −1
Esercizio 2. Scrivete tre vettori non nulli in R3 che non formino una base di R3, spiegando in dettaglio perché non formano una base.
2 COMPITO DI MFDS
Esercizio 3. Si ricavi la forma RREF delle matrici complete dei seguenti sistemi, riportando tutti i passaggi intermedi dell’algoritmo di Gauss, e indicando ogni volta quale operazione elementare avete compiuto.
Per ognuno dei sistemi, si dica quindi se ammette soluzioni, e in caso affermativo le si trovino tutte.
x1 + x2+ x3+ x4 = 1 x1 + 23− x4 = 2 x1 − x2 − x4 = 3 x1 + 2x2+ x3− x4 = 4
x1 + x2+ x3+ x4 = 1
−x1+ x2+ 2x3− 2x4 = 2 2x1+ x2+ x3+ x4 = 3 2x1+ 3x2+ 4x3 = 6
x1 + x2+ x3+ x4 = 1
−x1+ x2+ 2x3− 2x4 = 2 2x1+ x2+ x3+ x4 = 3 2x1+ 3x2+ 4x3 =−1
Esercizio 4. Si scriva un’equazione parametrica del piano avente equazione carte- siana
−3x + 2y − 5z = 1.
Esercizio 5. Siano p1(x) = 1− x3, p2(x) = 1− x2 e p3(x) =−x2− x3 tre polinomi dello spazio vettoriale R3[x] dei polinomi aventi grado al più 3 a coefficienti in R.
Si estendano i 3 polinomi sopra ad una base di R3[x].
Esercizio 6. Si definiscano i concetti di (1) autovalore,
(2) autovettore,
(3) molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore.
Esercizio 7. Per ognuna delle matrici seguenti A, calcolate il polinomio caratte- ristico e gli autovalori, dite se è diagonalizzabile, in caso negativo fermatevi, in caso affermativo trovate una base di autovettori, e una matrice S tale che S−1AS sia diagonale (svolgere quest’ultimo calcolo). Di tali matrici S si calcoli anche l’inversa S−1.
[ 4 3
−2 −1
]
,
[13 −49 4 −15
]
,
9 8 4
−8 −7 −4
−4 −4 −1
Se per caso durante l’esercizio siete già in grado di dire che la matrice sarà diagonalizzabile, allora fatelo notare!
.
