Corso di ANALISI MATEMATICA II — A.A. 2002-2003 Corso di Laurea in Ingegneria Edile-Architettura
Prof. Daniela Sforza
Testo consigliato.
F. Conti, P. Acquistapace, A. Savojni – Analisi matematica. Teoria e applicazioni – McGraw-Hill.
Altri testi consigliati.
A. Avantaggiati – Analisi matematica II – Editrice Ambrosiana.
S. Campanato – Analisi matematica II – Pellegrini.
A. Ghizzetti, F. Rosati – Lezioni di analisi matematica, vol.II – Masson.
E. Giusti – Analisi matematica 2 – Bollati Boringhieri.
N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone – Analisi Matematica, vol. 2 – Liguori.
Testi di esercizi consigliati.
D. Andreucci, A. Bersani – Risoluzione di testi di esame di Analisi Matematica II – Eusculapio/Progetto Leonardo.
S. Campanato – Esercizi di analisi matematica II – Pellegrini.
B. P. Demidoviˇc – Esercizi e problemi di Analisi Matematica – Editori Riuniti.
A.Ghizzetti, F. Rosati – Esercizi e complementi di analisi matematica, vol.II – Masson.
E. Giusti – Esercizi e complementi di analisi matematica 2 – Bollati Boringhieri.
P. Marcellini, C. Sbordone – Esercitazioni di Matematica, volume II, parte prima e seconda – Liguori.
Appunti del docente, esercizi d’esame degli anni precedenti e altri esercizi disponibili sul sito internet http://www.dmmm.uniroma1.it/∼sforza/
Programma del corso.
I riferimenti sono relativi al testo consigliato o agli appunti redatti dal docente
Serie di potenze. Capitoli 2-4. §2.1 Serie di potenze a coefficienti reali. Raggio di convergenza.
Funzioni analitiche. Serie derivata e raggio di convergenza (appunti). Teorema di derivazione per serie (teorema 3.21, senza dim.). Relazione fra i coefficienti di una serie di potenze e le derivate successive della sua somma (teorema 3.24). Principio di identit`a delle serie di potenze (teorema 3.25). Esempio di funzione di classe C∞non analitica (osservazione 3.26). Serie di Taylor. Criterio sufficiente per la sviluppabilit`a in serie di una funzione (proposizione 4.43). Teorema di integrazione per serie (appunti). Sviluppi notevoli in serie di Taylor: ex, sinh x, cosh x, sin x, cos x, log(1 + x), arctan x. §2.2 Serie di potenze a coefficienti complessi.
Convergenza delle serie di numeri complessi. Funzione esponenziale complessa. Esempi ed esercizi.
Calcolo differenziale per funzioni di pi`u variabili. Capitolo 5. Funzioni di due o pi`u variabili.
Derivate parziali. Derivata direzionale. Piano tangente, retta normale. Differenziale. Derivate successive.
Funzioni composte. Massimi e minimi (proposizione 5.12, senza dim.).
Complementi di calcolo integrale. Capitolo 6. §6.3 Curve rettificabili. Lunghezza di una curva (proposizione 6.7, senza dim.). Versore tangente. Retta normale. Integrali dipendenti da parametro. Esempi ed esercizi.
Equazioni differenziali. Capitoli 7-8. §7.1 Equazioni del primo ordine. Fattore integrante. Teorema di esistenza e di unicit`a. Soluzioni locali e globali. Teoremi di esistenza gobale e teorema dell’asintoto (appunti). Analisi qualitativa delle soluzioni. Risoluzione di alcuni tipi notevoli di equazioni differen- ziali: equazioni lineari; equazioni a variabili separabili; equazioni autonome; equazioni esatte; equazioni di Bernoulli. §7.2 Equazioni differenziali lineari. Principio di sovrapposizione (proposizione 7.12). Sistema fondamentale di soluzioni per un’equazione differenziale lineare del secondo ordine. Integrale generale. Wron- skiano e sue propriet`a (proposizione 7.13 e 7.14). Esistenza di un sistema fondamentale di soluzioni (propo- sizione 7.15). Soluzioni linearmente indipendenti e loro legame con il wronskiano. Riduzione dell’ordine.
Equazioni a coefficienti costanti del secondo ordine. Equazione caratteristica. L’equazione non omoge- nea. Metodo della variazione delle costanti arbitrarie o di Lagrange. Metodo dei coefficienti indeterminati.
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Equazioni lineari di Eulero del secondo ordine. §8.3 Un’applicazione delle equazioni differenziali: vibrazioni lineari. Esempi ed esercizi.
Calcolo integrale per funzioni di pi`u variabili. Capitolo 10. Integrali doppi. Insiemi quadrabili (o misurabili) secondo Jordan. Funzioni integrabili. Integrabilit`a delle funzioni continue. Propriet`a degli integrali multipli. Domini semplici rispetto alle parallele agli assi coordinati. Teorema di integrazione suc- cessiva o di Fubini (teorema 10.3, senza dim.). Baricentro, momenti d’inerzia. Volume di solidi di rotazione.
Il teorema di Pappo. §10.2 Forme differenziali: definizione. Forme differenziali esatte (o integrabili) e chiuse.
Le forme esatte sono chiuse (proposizione 10.7). Cammini. Integrali curvilinei. Propriet`a degli integrali curvilinei. Formula di Gauss-Green (teorema 10.9). Area di un dominio limitato espressa mediante integrali curvilinei. Teorema della divergenza. Aperti semplicemente connessi. Indipendenza dal cammino degli in- tegrali curvilinei di forme chiuse in aperti semplicemente connessi (proposizione 10.11). Integrabilit`a delle forme differenziali chiuse in aperti semplicemente connessi (teorema 10.12). Cambiamento di variabili negli integrali doppi. Area di una superficie e integrali superficiali (solo definizione). Integrali doppi impropri per funzioni positive su regioni limitate e su regioni illimitate (appunti). Teorema di Fubini per integrali tripli.
Calcolo di integrali tripli. Integrazione a strati. Esempi ed esercizi.
Serie di Fourier. Capitolo11. §11.1 Funzioni periodiche. Funzioni continue a tratti e regolarizzate.
Prodotto scalare fra funzioni periodiche, continue a tratti e regolarizzate. Norma quadratica. Sistemi ortonormali. Distanza indotta dalla norma quadratica. Polinomi trigonometrici. Notazione complessa dei polinomi trigonometrici. Proiezione ortogonale delle funzioni 2π-periodiche e continue a tratti sul sottospazio dei polinomi trigonometrici di grado non superiore a n rispetto alla distanza indotta dalla norma quadratica (proposizione 11.1). Serie di Fourier. Notazione complessa dei coefficienti di Fourier. Convergenza delle serie di Fourier: convergenza in norma quadratica e convergenza puntuale (senza dim.). Serie di Fourier delle funzioni pari e delle funzioni dispari. Identit`a di Bessel (corollario 11.9). Lemma di Riemann-Lebesgue (corollario 11.10). Principio di identit`a delle serie di Fourier (corollario 11.11). Esempi ed esercizi.
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