sorgenti, campi e loro interazioni

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sorgenti, campi e loro interazioni

esercitazione su:

circuitazione di Ampère

interazioni fra cariche, campi e correnti

un paio di integrali...

! x dx

(x

+a

)

= − 1

x

+ a

+ c

! dx

(x

+a

)

= 1 a

x

x

+ a

+ c

1

(x

+1)

x

(x

+1)

dE(⃗r) = 1

4πε

dq /r r

dB(⃗r) = µ

4π Id⃗l × /r

r

I d⃗l dq

⃗r

⃗r

dE

dB

ϕ

(E) = !

$

E .n dS = q

ε

3

)

B d⃗l = µ

I

F = q E

F = q v × B

dF = I d⃗l × B

1) In figura è riportata la sezione di un cavo coassiale di lunghezza infinita. Nel conduttore centrale di raggio R₁ scorre, uniformemente distribuita, una corrente di intensità I. La stessa intensità di corrente scorre, anch'essa uniformemente distribuita, nel verso opposto nel conduttore esterno di raggi R₂ e R₃. Ricavare l'espressione del campo magnetico generato in tutto lo spazio dalle correnti circolanti nel cavo coassiale.

è B r = µ_! I(r)"#$"

2πr

J_% = I

πR_%^&

conduttori guaina esterna isolante

connettori

r

⨀

J_& = −I ⨂

π R_'^& − R_&^&

B

γ

-

(

B . dl = - B r dl = B r - dl = 2πr B(r) = µ_! I(r)"#$"

se r < R₁

se R₁ < r < R₂ se R₂ < r < R₃

se r > R₃

I(r)"#$" = J_% πr^&

= I

*)

= I

*) è B r = µ_!I r

2πR_%^&

I(r)"#$" = I

è B r = µ_!I 2π r

R_'^& − r^&

R_'^& − R_&^&

I(r)"#$" = I + J_& π(r^& − R_&^&) = I 1 − π(r^& − R_&^&)

π R_'^& − R_&^&

I(r)"#$" = I − I = 0

= I R_'^& − r^&

R_'^& − R_&^&

è B r = 0 è B r = µ_! I

2πr

2) Due spire conduttrici quadrate di lato L giacciono nel piano z = 0 con i centri lungo l'asse Y nei punti P₁: {0,-¾ L, 0} e P₂: {0, +¾ L, 0}.

La spira centrata in P1 è percorsa da una corrente I1 che genera in P1 il campo B1. La spira centrata in P₂ è percorsa da una corrente I₂ che genera in P₂ il campo B₂.

Risulta | B₁| = | B₂| = B.

Calcolare lungo la linea quadrata di lato L orientata come in figura, centrata nell'origine e giacente nel piano x = 0, l'integrale ∮ B d⃗l con B campo magnetico generato nello spazio dalle due spire

= - 2 µ

I 7 B d⃗l

B ∝ I

| B

| = | B

| → I

= I

= I

3

)

B d⃗l = µ

I

3) Due conduttori rettilinei, complanari, separati da una distanza 2d, sono percorsi nello stesso verso da una corrente continua I.

Si determini a quale distanza y dal piano dei fili, lungo la linea di mezzeria, il modulo del campo induzione magnetica B è massimo.

⨀

⨀ 2d yP

B = µ

I

2πr = µ

I

2π d

+ y

B

= −2B sinθ = −2 µ

I

2πr y

r q

= − µ

I π

y d

+ y

B = µ

I

π

|y|

d

+ y

dB

dy = µ

I π

d

− y

d

+ y

d

− y

= 0 à y

= ± d dB E

dy y

= 0

y = |x|

1 + x

4) Un filo rigido percorso dalla corrente I è piegato nel piano XY in modo da formare una semicirconferenza di raggio R e due tratti rettilinei molto lunghi.

Il filo è immerso in un campo magnetico B uniforme perpendicolare al piano XY.

Determinare direzione intensità e verso della forza agente sul conduttore.

dF = I d⃗l × B

F = I L B

d⃗l dF

F = I L × B

dF = I dl B = I Rdθ B dF

= IBR cosθ dθ

dF

= −IBR sinθ dθ

− π

2 ≤ θ ≤ π 2

F

= K

5'/!

'/!

IBR cosθ dθ = IBR sinθ | π/2

−π/2 = IBR[1 − −1 ] F

= K

5'/!

'/!

−IBR sinθ dθ = IBR cosθ | π/2

−π/2 = 0 − 0 = 0

= 2IBR

5) Una spira quadratadi lato a = 1 cm, percorsa da una corrente I = 1 mA circolante in verso antiorario, è disposta col centro nell'origine del piano (x,y) e con i lati paralleli agli assi.

Nello spazio è presente un campo B di componenti B_x = B_y = 0, B_z = B₀ (1 + y/a) con B₀ = 1 mT.

Determinare intensità, direzione e verso della forza agente sulla spira.

dF = I d⃗l × B

F = I L × B

B

(-a/2) = B

1 –

= + ⁄

B

= B

(+a/2) = B

1 +

:

= + ⁄

B

=

B

(y) = B

1 +

: /

⁄

!

B

≤ B

(y) ≤ ⁄

B

=

⨀

le componenti orizzontali della forza, a parità di y, sono uguali (stesso B) e contrarie (I con versi oppoti) à Fx = 0

F

(-a/2) = −

I a B

= F

(a/2) =

I a B

F

=

I a B

−

!

I a B

= = I a B

6) Una particella di carica q > 0 si muove con velocità v nel punto O, centro di tre spire circolari di raggio R percorse, con i versi indicati in figura, dalle correnti:

Ix (spira giacente nel piano x = 0), Iy (spira giacente nel piano y = 0),

Iz (spira giacente nel piano z = 0) con Ix = Iy = Iz = I.

Determinare l'intensità della forza agente sulla particella quando si trova in O.

F = q v × B B

= µ

I

/2R

B

= µ

I

/2R B

= µ

I

/2R

𝐁_{𝐬𝐩𝐢𝐫𝐚} 𝟎 = 𝛍_𝟎 𝐈 𝟐𝐑

à

F

= 0; F

= 0; F

= µ

I

/2R

à

F

= 0; F

= -µ

I

/2R ; F

= 0

à

F

= 0; F

= 0; F

= 0

F = (0 + 0 + 0)

+ 0 + 0 + µ

I

/2R

+ 0 − µ

I

/2R + 0

= 2µ

I/2R

7) Un protone e un elettrone entrano, viaggiando parallelamente a distanza d = 10, in una regione di spazio in cui è presente un campo magnetico uniforme B = 0,6 T perpendicolare alle traiettorie. Determinare il rapporto fra le due velocità iniziali sapendo il protone esce dalla zona col campo magnetico nel punto in cui era entrato l'elettrone e viceversa.

F = q v × B F = q v B = m v

/R à R = m v/(q B)

d = 2 m

v

/(e B) = 2 m

v

/(e B) m

v

= m

v

à v

/v

= m

/m

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sorgenti, campi e loro interazioni

VENERDÌ 19 ORE 8:30-10

piano carico

spira condensatore piano

solenoide rettilineo