Equazioni differenziali lineari di ordine n
Equazioni differenziali lineari di ordine n
) ( )
( )
( ...
)
(
( 1) 11 )
(
a x y a x y a x y b x
y
n
n
n
n
to termine no x
b
ti coefficien x
a
i) (
)
(
Definiti inI
Se b(x)=0 l’equazione si dice omogenea, altrimenti non omogenea
sono n costanti arbitrarie
sono n soluzioni linearmente indipendenti
Teorema.
Se sono soluzioni particolari dell’equazione differenziale lineare omogenea di ordine n allora è soluzione
,
), ( ),...,
1
( x y x x I R
y
n
n n
y c y
c
1 1 ...
L’integrale generale dell’equazione differenziale lineare omogenea di ordine n è
) ( ...
) ( )
(
1 10
x c y x c y x
y
n n), ( ),...,
1
( x y x
y
n, ,...,
1
c
nc
Equazioni differenziali lineari di ordine n Definizione
sono funzioni linearmente indipendenti se 1
( x ),..., y ( x ),
y
n0 ...
0
...
1 21
1
y c
ny
n c c c
n
c
Condizione necessaria e sufficiente affinchè n soluzioni, di un’equazione differenziale lineare di ordine n, siano linearmente indipendenti è che il determinante
Wronskiano:
0 ...
...
...
....
...
) 1 ( )
1 ( 1 1
n
n
n n
y y
y y
y y
dove è l’integrale generale di (2) e è un integrale particolare di (1)
Equazioni differenziali lineari di ordine n
) ( )
( )
( ...
) (
) 1
( y
(n) a
1x y
(n1) a
n1x y a
nx y b x
e la sua omogenea associata:Data l’equazione non omogenea
0 ) ( )
( ...
) (
) 2
( y
(n) a
1x y
(n1) a
n1x y a
nx y
l’integrale generale di (1) è:
) ( ) ( )
( x y
0x y x
y
)
0
( x
y y (x )
che, per il teorema fondamentale dell’algebra, ha in n radici ciascuna contata con la propria molteplicità Equazioni differenziali lineari di ordine n
omogenee a coefficienti costanti
0
...
1) 1 ( 1 )
(
a y
a
y a y
y
n n n nA tale equazione si associa l’equazione caratteristica:
0
...
11
1
n n nn
a a a
C
n
a
a ,....,
1è soluzione dell’eq omogenea se è soluzione dell’equazione caratteristica
è soluzione dell’equazione differenziale lineare omogenea se è soluzione dell’equazione caratteristica Infatti se ,
omogenee a coefficienti costanti
e
xy
... 1 0
1
1
n n nn
x
a a a
e
e
xy
y e
x,..., y
(n)
ne
x sostituendo nell’equazione differenziale si hae
x
e l’integrale generale è
L’equazione caratteristica ammette n radici reali e distinte , allora gli n integrali linearmente indipendenti
(dell’equazione omogenea) sono:
n
1,...,
nx n x
x
o
c e c e c e
y
1 1
2 2 ...
nx n
x
x
y e y e
e
y
1
1,
2
2,...,
Equazioni differenziali lineari di ordine n 1°Caso)Es.
y 5 y 6 y 0
in generale per ogni radice di molteplicità , gli n integrali linearmente indipendenti sono
L’equazione caratteristica ammette radici reali e multiple Per es. se è di molteplicità m , allora m integrali
particolari (dell’equazione omogenea) sono:
1, ,...,
,
,
kx 2 kx mk 1 kxkx
xe x e x e
e
m x m x
x
y xe y x e
e
y
1
1,
2
1,...,
1 1 Equazioni differenziali lineari di ordine n 2°Caso)
km
kn m m
m r
k 1 ,.., ,
1
2 ...
r
Es.y y 0
allora:
L’equazione caratteristica ammette radici complesse coniugate:
i
x e
x x
xe x e
x e
x x
xe x e
x m x
x
x m x
x
sin ,...,
sin
, sin
cos ,...,
cos
, cos
1 1
Equazioni differenziali lineari di ordine n 3°Caso)
sono soluzioni dell’equazione omogenea (2m) di molteplicità m
i
di molteplicità mSi arriva a tali soluzioni considerando gli integrali
a cui vengono applicate le formule di Eulero
1 ,...
1 , 0
,
,
( ))
(
x e
k m
e
x
k i x k i xEs.