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Definiti in

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Academic year: 2021

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(1)

Equazioni differenziali lineari di ordine n

Equazioni differenziali lineari di ordine n

) ( )

( )

( ...

)

(

( 1) 1

1 )

(

a x y a x y a x y b x

y

n

n

 

n

 

n

 

 

to termine no x

b

ti coefficien x

a

i

) (

)

(

Definiti in

I  

Se b(x)=0 l’equazione si dice omogenea, altrimenti non omogenea

(2)

sono n costanti arbitrarie

sono n soluzioni linearmente indipendenti

Teorema.

Se sono soluzioni particolari dell’equazione differenziale lineare omogenea di ordine n allora è soluzione

,

), ( ),...,

1

( x y x x I R

y

n

 

n n

y c y

c

1 1

 ... 

L’integrale generale dell’equazione differenziale lineare omogenea di ordine n è

) ( ...

) ( )

(

1 1

0

x c y x c y x

y   

n n

), ( ),...,

1

( x y x

y

n

, ,...,

1

c

n

c

Equazioni differenziali lineari di ordine n Definizione

sono funzioni linearmente indipendenti se 1

( x ),..., y ( x ),

y

n

0 ...

0

...

1 2

1

1

y   c

n

y

n

  cc   c

n

c

Condizione necessaria e sufficiente affinchè n soluzioni, di un’equazione differenziale lineare di ordine n, siano linearmente indipendenti è che il determinante

Wronskiano:

0 ...

...

...

....

...

) 1 ( )

1 ( 1 1

 

n

n

n n

y y

y y

y y

(3)

dove è l’integrale generale di (2) e è un integrale particolare di (1)

Equazioni differenziali lineari di ordine n

) ( )

( )

( ...

) (

) 1

( y

(n)

a

1

x y

(n1)

  a

n1

x y   a

n

x yb x

e la sua omogenea associata:

Data l’equazione non omogenea

0 ) ( )

( ...

) (

) 2

( y

(n)

a

1

x y

(n1)

  a

n1

x y   a

n

x y

l’integrale generale di (1) è:

) ( ) ( )

( x y

0

x y x

y  

)

0

( x

y y (x )

che, per il teorema fondamentale dell’algebra, ha in n radici ciascuna contata con la propria molteplicità Equazioni differenziali lineari di ordine n

omogenee a coefficienti costanti

0

...

1

) 1 ( 1 )

(

a y

  a

y   a y

y

n n n n

A tale equazione si associa l’equazione caratteristica:

0

...

1

1

1

   

n n n

n

aaa

C

n

a

a ,....,

1

(4)

è soluzione dell’eq omogenea se è soluzione dell’equazione caratteristica

è soluzione dell’equazione differenziale lineare omogenea se è soluzione dell’equazione caratteristica Infatti se ,

omogenee a coefficienti costanti

e

x

y

...

1

0

1

1

   

n n n

n

x

a a a

e

  

e

x

y

y    e

x

,..., y

(n)

 

n

e

x sostituendo nell’equazione differenziale si ha

e

x

 

e l’integrale generale è

L’equazione caratteristica ammette n radici reali e distinte , allora gli n integrali linearmente indipendenti

(dell’equazione omogenea) sono:

n

1

,...,

nx n x

x

o

c e c e c e

y

1 1

2 2

 ... 

nx n

x

x

y e y e

e

y

1

1

,

2

2

,..., 

Equazioni differenziali lineari di ordine n 1°Caso)

Es.

y   5 y   6 y  0

(5)

in generale per ogni radice di molteplicità , gli n integrali linearmente indipendenti sono

L’equazione caratteristica ammette radici reali e multiple Per es. se è di molteplicità m , allora m integrali

particolari (dell’equazione omogenea) sono:

1

, ,...,

,

,

kx 2 kx mk 1 kx

kx

xe x e x e

e

m x m x

x

y xe y x e

e

y

1

1

,

2

1

,..., 

1 1 Equazioni differenziali lineari di ordine n 2°Caso)

k

m

k

n m m

m r

k  1 ,.., ,

1

2

 ... 

r

Es.

y   y   0

allora:

L’equazione caratteristica ammette radici complesse coniugate:

   i

x e

x x

xe x e

x e

x x

xe x e

x m x

x

x m x

x

   

sin ,...,

sin

, sin

cos ,...,

cos

, cos

1 1

Equazioni differenziali lineari di ordine n 3°Caso)

sono soluzioni dell’equazione omogenea (2m) di molteplicità m

   i

di molteplicità m

(6)

Si arriva a tali soluzioni considerando gli integrali

a cui vengono applicate le formule di Eulero

1 ,...

1 , 0

,

,

( )

)

(

x e

km

e

x

k i x k i x

Es.

y

(4)

 2 y   y  0

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