Esercizi sugli integrali definiti

Politecnico di Torino – II Facolt` a di Architettura Corso di Istituzioni di Matematiche

Esercizi sugli integrali definiti, sulla media integrale,

sul Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale e sul calcolo di aree

1) Determinare il valor medio integrale delle seguenti funzioni negli intervalli a fianco indicati:

a) f (x) = e ^3x in [-2,2]; b) f (x) = x ² − x in [-1,3]; c) f (x) = sin x in [0; π].

d) f (x) =

½ 0 per 0 ≤ x ≤ 1

1 per 1 < x ≤ 3 in [0, 3]; e) f (x) =

½ 1 per 0 ≤ x < 1

2 per 1 ≤ x ≤ 2 in [0, 2].

Nel caso e) dire se esistono punti c che soddisfano il teorema della media integrale applicato ad f nell’intervallo [0;2].

Soluzione:

a) µ = ( ^e ₃

⁶

− ^e

⁻⁶

₃ ) ¹ ₄ b) µ = ⁴ ₃ c) ^µ=2 _π

d) µ = 3/2; non esiste c ∈ [0, 2] che soddisfa il teorema della media integrale.

2) Trovare i punti c che soddisfano il teorema della media integrale applicato a ciascuno dei seguenti casi:

a) f (x) = 4x − x ² in [0; 4], b) f (x) = sin ² x in [0; π],

c) f (x) = 1

x + 1 in [0, 2], d) f (x) = 1 + x in [−1, 0]

Soluzione:

a) c = 2 ± ^{2 √} ₃ ³ b) c = arcsin( p _π

2 )

3) Determinare l’espressione analitica delle seguenti funzioni integrali, e indicarne il dominio:

a) F (x) = R _x

1

√ 2 − t dt, b) F (x) = R _x

0 |u| du, c) F (x) = R _x

−1 |u| du, d) F (s) = R _s

−1 f (x) dx, dove f (x) =

½ 0 per x ≤ 0 x per x > 0 Soluzione:

a) F (x) = ² ₃ − ² ₃ (2 − x)

³²

per x ≤ 2 b) F (x) = ^x|x| ₂ per x ∈ < c) F (x) = ^x|x| ₂ + ¹ ₂ per x ∈ <

4) Scrivere l’espressione analitica della primitiva della funzione f (x) = √

4 − x ² che si annulla in x 0 = −1, e indicarne il dominio.

Soluzione:

F (x) = 2 arcsin( ^x ₂ ) + ^{x √ 4−x} ₂

²

+ k ; k = ^π ₃ + ^√ ₈ ¹⁵

1

5) Calcolare i seguenti integrali definiti:

a) Z ₀

− √ 2

√ 2 − x dx b) Z

1 9 ¡√

x − 1

√ x

¢ dx c) Z

−2

1 1

2x + 1 dx d) Z ₂

1/2

¡ 1 x − 1

x ²

¢ dx

e) Z ₋₃

0

√ 1

25 + 3x dx f ) Z ^√ _e

1

3x ln(x ² + 1)dx g) Z ₄

2

2x

x ² + 4 dx h) Z

^π

2

−

^π₂

sin |x| dx

i) Z _e

1

ln x √

x dx l)

Z

^π

2

−

^π₂

x sin x ² dx m) Z ₋₄

−5

5 − 2x

9 − x ² dx n) Z

^π

2

0

x cos x dx o)

Z ₂

1

(x ² − 2x + 3)dx p) Z ₈

0

( √ 2x + √

³

x)dx q)

Z ₄

1

1 + √ x

x ² dx r) Z ₁

0

dx 1 + x

Soluzioni (alcune):

c) 0 f) 3(e+1) log(e+1)

2 − 3 log 2 − ^3(e−1) ₂ h) 2 l) 0 n) ^π ₂ − 1 r) log 2

6) Calcolare la derivata delle funzioni

F 1 (x) = Z _x

1

log t dt, F 2 (x) = Z ₀

x

p 1 + t ⁴ dt, F 3 (x) = Z ₂

x

e ^−t

²

dt

7) Calcolare le derivate prime e seconde delle funzioni indicate, precisandone il dominio:

Z _x

0

e ^3t−t

²

dt

Z _x

1

ln(2 + t ² ) dt

Z _x

π

sin t 1 + t ² dt Z _t

2

2s − s ² e ^s + s ² ds

Z _x

0

√ t + 2

√ t dt

Z ₀

x

p 1 + t ² dt.

8) Si scriva il polinomio di Taylor di secondo grado relativo al punto x 0 = 0 per la funzione : F (x) = R

0

x 1

t

²

+t+e

^t

dt

9) Si scriva il polinomio di Taylor di secondo grado relativo al punto x 0 = π per la funzione : F (x) = R

π x sin t t dt

10) Si scriva il polinomio di Taylor di terzo grado relativo al punto x 0 = 0 con relativo resto di Lagrange per la funzione : F (x) = R

0 x e

^t2

2 dt.

11) Data la funzione

F (x) = Z

2 x e ^t

t ² + 1 dt

studiarne la monotonia e verificare che `e invertibile sull’ insieme dei numeri reali. Determinare quindi (F ⁻¹ ) ⁰ (0) .

12) Sia f : [a, b] → R una funzione continua, e sia F (x) = R _x

a f (t) dt la sua funzione integrale. Verificare che F soddisfa le ipotesi del Teorema di Lagrange nell’intervallo [a, b], e applicarlo. Che cosa si ottiene ? 13) Calcolare

a) lim

x→0

⁺

1 x

Z _x

0

r

3 + sin t

t dt, b) lim

x→0

⁺

R _x

0 sin ² t dt R _x

0 t log(1 + t) dt

2

14) Calcolare l’area della regione di piano

a) delimitata dalla parabola y = 4x − x ² e dall’asse delle ascisse;

b) delimitata dalla curva y = √

³

x, dalla retta y = 1 e dalla retta x = 8;

c) delimitata dalla parabola y = x ² e dalla retta y = 3 − 2x;

d) delimitata dalla curva y = ¹ _x e dalle rette y = 0, x = e, x = e ² ; e) situata fra la curva y = |x| e la curva y = 12 − x ² ;

f) delimitata dalla curva y = e ^−x e dalle rette y = 0, x = −1, x = 0;

g) situata fra le curve y = sin x e y = cos x, sull’intervallo [0, 2π].

Soluzione:

a) ³² ₃ b) ¹⁷ ₄ c) ³² ₃ d) 1 e) 45 f ) e − 1 g) 4 √ 2

3