Settembre 2002

Fisica Generale 2 Settembre 2002

1) Una lastra di materiale omogeneo di costante dielettrica relativa εr = 2, si trova in un campo elettrico uniforme di intensita` E0 = 5 10<sup>4</sup> V/m. Le facce della lastra sono piane e parallele, inclinate di un angolo α rispetto alla direzione del campo. Nei casi α = 0 ed α = π/3 di calcolino il modulo D dell’induzione elettrica all’interno della lastra e le densita` σ1 ed σ2 delle cariche di polarizzazione sopra le due facce.

[Suggerimento: si sfruttino le condizioni di continuita` dei campi E e D alla superficie di separazione fra due mezzi.]

2) Un anemometro è costituito da due superfici semisferiche poste alle estremità di una sbarra lunga L = 1 m, che può ruotare attorno al suo centro. Sull’asse di rotazione è montata una spira quadrata di lato a = 20 cm. Supponendo che il campo magnetico terrestre valga B = 0.5 10^-5 T e che la f.e.m. indotta massima sia E0 = 10^-4 V, calcolare la velocità v del vento.

3) Nel circuito in figura e` possibile annullare la corrente nell’amperometro A variando opportunamente le resistenze R1 ed R2. In questa configurazione, determinare il coefficiente di mutua induzione M fra le induttanze L ed L₃, sapendo che R₃ = 100Ω, L3 = 0.5 H, R4 = 125 Ω ed L4 = 0.7 H.

E` consentita la consultazione di libri di testo ma e` severamente vietato l’utilizzo di eserciziari, appunti e telefonini, pena il RITIRO del compito.

Le soluzioni e le valutazioni del compito di potranno trovare alla pagina web:

http://www.mi.infn.it/~sleoni/TEACHING/FISICA2 R₂

~

L₃ L₄ R₄

R₁ R₃

M

I I₁

I₂

A

SOLUZIONI

ESERCIZIO 1

Le componenti di E normali e tangenziali alla superficie di separazione tra i due mezzi soddisfano le relazioni

t t

n r n

E E

E E

0 1

1 0 0

0

=

= ε ε ε

In base alla geometria del problema (vedi figura) si ottiene che

α ε

α ε

ε ε

ε ε ε

ε

2 2 2

0 0

2 0 2

0 0

2 1 2

1 0

0

cos sin

) (

) (

) ( ) (

r t r n

t n

r r

E

E E

E E

E D

+

=

+

=

+

=

=

da cui segue che:

α

ε

ε

α

π

Per il calcolo della carica superficiale di polarizzazione si applica il teorema di Gauss ad una superficie cilindrica di basi infinitesime, ciascuna di area dS, poste da parti opposte rispetto alla superficie di separazione, e di altezza infinitesima di ordine superiore al primo (come in figura).

Detta σp la densita` di cariche superficiali di polarizzazione, la carica Qp di polarizzazione interna al cilindretto e` σp⋅ dS, ed il flusso del campo elettrico attraverso le due basi e`:

0 0

1

) 0

(

ε

σ ε

dS dS Q

E dS E

E

=

−

=

=

Φ

→E α

E_0n E_ot

→n

dS

n₁ dS

→

n₂

→

Le densita` di cariche di polarizzazione alle superfici del dielettrico risultano quindi

1 ) 1 ( sin 1 )

1 ( )

( _{0 1 0 0 0 0}

0 2 1

r r

n n

n p

p E E E E

α ε ε ε

ε ε

σ

σ = − = − = − = −

In particolare:

per α = 0 σp1 = -σp2 = 0

per α = π/3 σp1 = -σp2 = 0.19 ⋅ 10^-6 C/m²

ESERCIZIO 2

In presenza di vento l’anemometro ruota ad una velocità angolare ω tale che le superfici sferiche abbiano la stessa velocità v del vento. Essendo L la lunghezza della sbarra a cui sono fissate le superfici sferiche e T il periodo di rotazione si ha:

L v v L T

2 2 / 2

2

2 = =

= π

π ω π

In queste condizioni anche la spira ruota con velocita` angolare ω, cosi` che il flusso magnetico concatenato con la spira varia nel tempo secondo la legge:

t B

a a n

B

=

⋅

=

ω

Φ

da cui segue che la f.e.m. indotta vale:

t E

t B

dt a

E=−dΦ^B = ² ωsinω = ₀sinω

ove

L Bv B a

a E

2 2

0

= 2

= ω

La velocita` del vento e` quindi:

s m s

B m a

v LE / 250 /

10 5 10 4 2

10 1

2 ^{2 6}

4 2

0 =

⋅

×

⋅

×

= ×

= ₋ ⁻ ₋

ESERCIZIO 3

Quando l’amperometro A non segna passaggio di corrente la medesima corrente I1 fluisce nelle resistenze R1, R3 e nell’induttanza L3, ed analogamente I2 fluisce nelle resistenze R2, R4 ed L4.

Varranno quindi le relazioni:

(1) I = I1 + I2

(2) I1R1 = I2R2

(3) I1(R3+iωL3) + iωΜ Ι = I2(R4+iωL4) Sostituendo (1) in (3) si ottiene:

I1 [R3 + iω(L3+ Μ )] = I2 [ R4 + iω(L4 - M)]

Che divisa membro a membro per (2) fornisce:

2 1

3

R ( R

) M (

i

R

+ ω

+ =

+

ω

− Μ )

Tale eguaglianza e` verificata se parte reale e parte immaginaria a primo e secondo membro sono uguali, ossia se:

2 4 1

3

2 4 1

3

R M L R

M L

R R R

R

= − +

=

da cui segue che

R H R

R L R

M L ³

4 3

4 3 3

4 =33⋅10⁻

+

= −