Appunti da L’Alenia 15/10
È possibile definire vari sottospazi partendo da una matrice A in Rm,n. Si considerino
• lo spazio generato delle righe:
R(A) = L (r1, . . . , rm);
è sottospazio di Rn.
• lo spazio generato delle colonne:
C(A) = L (c1, . . . , cn);
è sottospazio di Rm.
• il nucleo o il kernel di A ,
N (A) =ker A = {X ∈ Rn,1 : AX = 0},
l’insieme delle soluzioni del sistema omogeneo definito da A . È effettivamente un sottospazio di Rn.
Un insieme L (v1, . . . , vk) di CL è sempre un sottospazio; abbiamo verificato questo fatto per k = 2 . Invece, per vedere che ker A è sempre un sottospazio, verifichiamo le due condizioni adesso:
AX = 0, AY = 0 =⇒ A(X + Y ) = 0,
AX = 0, λ ∈ R =⇒ A(λX) = λ(AX) = 0.
Sia r = r (A) il rango di A . Usando la teoria di riduzione per righe e gli indicatori (che indicano le colonne L I della matrice di partenza A ) si può mostrare che
dim R(A) = r = dim C (A).
Dall’altra parte, segue (essenzialmente da RC2) che dim(ker A) = n − r .
1
Esempio: La matrice A = 0 1 1 2 3 5 8 13
!
ha rango 2 e abbiamo
R(A) = L ((0, 1, 1, 2), (3, 5, 8, 13)), C (A) = L 0 3
! , 3
5
!
= R2. Come previsto, i due sottospazi hanno la stessa dimensione. Inve- ce, per calcolare ker A dobbiamo ridurre:
A ∼ 1 53 83 133 0 1 1 2
!
∼ 1 0 1 1 0 1 1 2
! .
Otteniamo da qui una base più semplice dello spazio delle righe:
R(A) = L ((1, 0, 1, 1), (0, 1, 1, 2)).
Inoltre, tenendo liberi s = x3 e t = x4, abbiamo soluzioni
X =
x1 x2 x3 x4
=
−s − t
−s −2t s t
= s
−1
−1 1 0
+ t
−1
−1 1 0
.
Quindi
ker A = L
−1
−1 1 0
,
−1
−1 1 0
.
Il seguente risultato (che non dimostriamo) spiega finalmente il legame tra la riduzione per righe e due dei sottospazi definiti oggi.
Teorema Siano A, A′ due matrici. Le seguenti condizioni sono equivalenti:
(i) A ∼ A′, cioè si può passare da A a A′ facendo operazioni sulle righe (e per forza A, A′ hanno lo stesso numero di colonne).
(ii) R(A) = R(A′), cioè le righe di A e quelle di A′ generano lo stesso spazio.
(iii) ker A = ker A′, cioè i sistemi AX = 0 e A′X = 0 hanno le stesse soluzioni.
Il risultato vale in particolare quando A′ è la matrice totalmente ridotta associata a A .
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