ANALISI MATRICIALE DELLE STRUTTURE - Dott. Ing. Simone Caffè
Determinare gli spostamenti incogniti dei nodi 1, 2, 3 e 4 della struttura di seguito riportata.
PASSO 1: Definizione dei materiali
Considerando il modello finito "FRAME SEMPLIFICATO", la definizione del materiale si attua con il solo inserimento del modulo elastico e del coefficiente di dilatazione termica (nel caso di analisi termiche).
E:= 30000 MPa⋅
PASSO 2: Definizione delle coordinate nodali
Nodo 1: Nodo 2: Nodo 3: Nodo 4:
x1:= 0 m⋅ x2:= 0 m⋅ x3:= 4 m⋅ x4:= 4m y1:= 0 m⋅ y2:= 4 m⋅ y3:= 4 m⋅ y4:= 0 m⋅
PASSO 3: Definizione della geometria degli elementi "FRAME"
Elemento 1:
Elemento 2:
Altezza della sezione trasversale: h1:= 40 cm⋅ Altezza della sezione trasversale: h2:= 40 cm⋅ Larghezza della sezione trasversale: b1:= 40 cm⋅ Larghezza della sezione trasversale: b2:= 40 cm⋅
Lunghezza dell'elemento frame: L1:= (x2−x1)2+ (y2−y1)2=4 m Lunghezza dell'elemento frame: L2:= (x3−x2)2+ (y3−y2)2=4 m
Angolo di inclinazione dell'elemento: α1:= 90° Angolo di inclinazione dell'elemento: α2:= 0°
Area della sezione trasversale: A1:= h1⋅b1=1600 cm⋅ 2 Area della sezione trasversale: A2:= h2⋅b2=1600 cm⋅ 2
Inerzia della sezione trasversle: I1
b1⋅h13
12 =213333 cm⋅ 4
:= Inerzia della sezione trasversle: I2
b2⋅h23
12 =213333 cm⋅ 4 :=
Elemento 3:
Elemento 4:
Altezza della sezione trasversale: h3:= 40 cm⋅ Altezza della sezione trasversale: h4:= 40 cm⋅ Larghezza della sezione trasversale: b3:= 40 cm⋅ Larghezza della sezione trasversale: b4:= 40 cm⋅
Lunghezza dell'elemento frame: L3:= (x4−x3)2+ (y4−y3)2=4 m Lunghezza dell'elemento frame: L4:= (x1−x4)2+ (y1−y4)2=4 m
Angolo di inclinazione dell'elemento: α3:= 270° Angolo di inclinazione dell'elemento: α4:= 180°
Area della sezione trasversale: A3:= h3⋅b3=1600 cm⋅ 2 Area della sezione trasversale: A4:= h4⋅b4=1600 cm⋅ 2
Inerzia della sezione trasversle: I3
b3⋅h33
12 =213333 cm⋅ 4
:= Inerzia della sezione trasversle: I4
b4⋅h43
12 =213333 cm⋅ 4 :=
PASSO 4: Costruzione delle matrici di rigidezza locali dei singoli elementi
NOTA: Le matrici di rigidezza devono essere adimensionalizzate.
Elemento 1:
K1_LOC
E A⋅ 1 L1
m N
⋅
0
0
−E⋅A1 L1
m N
⋅
0
0
0
12 E⋅ ⋅I1 L13
m N
6 E⋅ ⋅I1 L12
1 N
0
−12⋅E⋅I1 L13
m N
6 E⋅ ⋅I1 L12
1 N
0
6 E⋅ ⋅I1 L12
1 N
4 E⋅ ⋅I1 L1
1 N m⋅
0
−6⋅E⋅I1 L12
1 N
2 E⋅ ⋅I1 L1
1 N m⋅
−E⋅A1 L1
m N
⋅
0
0
E A⋅ 1 L1
m N
⋅
0
0
0
−12⋅E⋅I1 L13
m N
−6⋅E⋅I1 L12
1 N
0
12 E⋅ ⋅I1 L13
m N
−6⋅E⋅I1 L12
1 N
0
6 E⋅ ⋅I1 L12
1 N
2 E⋅ ⋅I1 L1
1 N m⋅
0
−6⋅E⋅I1 L12
1 N
4 E⋅ ⋅I1 L1
1 N m⋅
:=
Elemento 2:
K2_LOC
E A⋅ 2 L2
m N
⋅
0
0
−E⋅A2 L2
m N
⋅
0
0
0
12 E⋅ ⋅I2 L23
m N
6 E⋅ ⋅I2 L22
1 N
0
−12⋅E⋅I2 L23
m N
6 E⋅ ⋅I2 L22
1 N
0
6 E⋅ ⋅I2 L22
1 N
4 E⋅ ⋅I2 L2
1 N m⋅
0
−6⋅E⋅I2 L22
1 N
2 E⋅ ⋅I2 L2
1 N m⋅
−E⋅A2 L2
m N
⋅
0
0
E A⋅ 2 L2
m N
⋅
0
0
0
−12⋅E⋅I2 L23
m N
−6⋅E⋅I2 L22
1 N
0
12 E⋅ ⋅I2 L23
m N
−6⋅E⋅I2 L22
1 N
0
6 E⋅ ⋅I2 L22
1 N
2 E⋅ ⋅I2 L2
1 N m⋅
0
−6⋅E⋅I2 L22
1 N
4 E⋅ ⋅I2 L2
1 N m⋅
:=
Elemento 3:
K3_LOC
E A⋅ 3 L3
m N
⋅
0 0
−E⋅A3 L3
m N
⋅
0 0
0
0 0
0
0 0
0
0 0
0
0 0
−E⋅A3 L3
m N
⋅
0 0 E A⋅ 3
L3 m N
⋅
0 0
0
0 0
0
0 0
0
0 0
0
0 0
:=
Elemento 4:
K4_LOC
E A⋅ 4 L4
m N
⋅
0
0
−E⋅A4 L4
m N
⋅
0
0
0
12 E⋅ ⋅I4 L43
m N
6 E⋅ ⋅I4 L42
1 N
0
−12⋅E⋅I4 L43
m N
6 E⋅ ⋅I4 L42
1 N
0
6 E⋅ ⋅I4 L42
1 N
4 E⋅ ⋅I4 L4
1 N m⋅
0
−6⋅E⋅I4 L42
1 N
2 E⋅ ⋅I4 L4
1 N m⋅
−E⋅A4 L4
m N
⋅
0
0
E A⋅ 4 L4
m N
⋅
0
0
0
−12⋅E⋅I4 L43
m N
−6⋅E⋅I4 L42
1 N
0
12 E⋅ ⋅I4 L43
m N
−6⋅E⋅I4 L42
1 N
0
6 E⋅ ⋅I4 L42
1 N
2 E⋅ ⋅I4 L4
1 N m⋅
0
−6⋅E⋅I4 L42
1 N
4 E⋅ ⋅I4 L4
1 N m⋅
:=
Elemento 1:
K1_LOC
1200000000 0 0 1200000000
− 0 0
0 12000000 24000000
0 12000000
− 24000000
0 24000000 64000000
0 24000000
− 32000000
1200000000
− 0 0 1200000000
0 0
0 12000000
−
24000000
− 0 12000000
24000000
−
0 24000000 32000000
0 24000000
− 64000000
=
Elemento 2:
K2_LOC
1200000000 0 0 1200000000
− 0 0
0 12000000 24000000
0 12000000
− 24000000
0 24000000 64000000
0 24000000
− 32000000
1200000000
− 0 0 1200000000
0 0
0 12000000
−
24000000
− 0 12000000
24000000
−
0 24000000 32000000
0 24000000
− 64000000
=
Elemento 3:
K3_LOC
1200000000 0 0 1200000000
− 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
1200000000
− 0 0 1200000000
0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
=
Elemento 4:
K4_LOC
1200000000 0 0 1200000000
− 0 0
0 12000000 24000000
0 12000000
− 24000000
0 24000000 64000000
0 24000000
− 32000000
1200000000
− 0 0 1200000000
0 0
0 12000000
−
24000000
− 0 12000000
24000000
−
0 24000000 32000000
0 24000000
− 64000000
=
PASSO 5: Costruzione delle matrici di trasformazione
NOTA: Le matrici di trasformazione consentono di riscrivere le matrici locali nelle coordinate globali.
Elemento 1: Elemento 2:
T1
cos α( )1
sin α( )1
− 0 0 0 0
sin α( )1
cos α( )1
0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 cos α( )1
sin α( )1
− 0
0 0 0 sin α( )1
cos α( )1
0 0 0 0 0 0 1
0
−1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 0
−1 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 1
=
:= T2
cos α( )2
sin α( )2
− 0 0 0 0
sin α( )2
cos α( )2
0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 cos α( )2
sin α( )2
− 0
0 0 0 sin α( )2
cos α( )2
0 0 0 0 0 0 1
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
= :=
Elemento 3: Elemento 4:
T3
cos α( )3
sin α( )3
− 0 0 0 0
sin α( )3
cos α( )3
0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 cos α( )3
sin α( )3
− 0
0 0 0 sin α( )3
cos α( )3
0 0 0 0 0 0 1
0 1 0 0 0 0
−1 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0
−1 0 0
0 0 0 0 0 1
=
:= T4
cos α( )4
sin α( )4
− 0 0 0 0
sin α( )4
cos α( )4
0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 cos α( )4
sin α( )4
− 0
0 0 0 sin α( )4
cos α( )4
0 0 0 0 0 0 1
−1 0 0 0 0 0
0
−1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0
−1 0 0
0 0 0 0
−1 0
0 0 0 0 0 1
= :=
PASSO 6: Trasformazione da matrici locali a matrici globali
Elemento 1:
K1_GLOB T1T⋅K1_LOC⋅T1
12000000 0 24000000
−
12000000
−
−0 24000000
−
0 1200000000
0
−0 1200000000
− 0
24000000
− 0 64000000 24000000
−0 32000000
12000000
−
−0 24000000 12000000
0 24000000
−0 1200000000
−
−0 0 1200000000
−0
24000000
− 0 32000000 24000000
−0 64000000
= :=
Elemento 2:
K2_GLOB T2T⋅K2_LOC⋅T2
1200000000 0 0 1200000000
− 0 0
0 12000000 24000000
0 12000000
− 24000000
0 24000000 64000000
0 24000000
− 32000000
1200000000
− 0 0 1200000000
0 0
0 12000000
−
24000000
− 0 12000000
24000000
−
0 24000000 32000000
0 24000000
− 64000000
= :=
Elemento 3:
K3_GLOB T3T⋅K3_LOC⋅T3 0 0 0 0
−0 0
0 1200000000
0
−0 1200000000
− 0
0 0 0 0 0 0
0
−0 0 0 0 0
−0 1200000000
− 0 0 1200000000
0
0 0 0 0 0 0
= :=
Elemento 4:
K4_GLOB T4T⋅K4_LOC⋅T4
1200000000
−0
−0 1200000000
− 0
−0
−0 12000000
24000000
− 0 12000000
−
24000000
−
−0 24000000
− 64000000
0 24000000 32000000
1200000000
− 0 0 1200000000
−0 0
0 12000000
− 24000000
−0 12000000 24000000
−0 24000000
− 32000000
0 24000000 64000000
= :=
PASSO 7: Costruzione delle matrici di connettività
NOTA: Le matrici di connettività consentono di connettere tra loro le matrici globali di ciascun elemento riferendole all'intera struttura. In questo caso il numero di nodi globali è pari a 4x3DOF ovvero 12 colonne e 6 righe pari al numero di DOF di ciascun elemento.
Elemento 1: Elemento 2:
C1 1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
:= C2
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
:=
Elemento 3:
Elemento 4:
C3 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
:= C4
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
:=
PASSO 8: Costruzione della matrice globale di rigidezza
K1:= C1T⋅K1_GLOB⋅C1 K2:= C2T⋅K2_GLOB⋅C2 K3:= C3T⋅K3_GLOB⋅C3 K4:= C4T⋅K4_GLOB⋅C4 KTOT:= K1+ K2 +K3+ K4
PASSO 9: Costruzione della matrice di contrazione
La matrice di contrazione consente di ridurre di righe e colonne della matrice globale in funzione del numero di DOF incogniti da determinare. Nel nostro caso gli spostamenti incogniti sono 3DOF per i nodi 2 e 3 ed 1DOF (la rotazione) dei nodi 1 e 4. La matrice avrà tante colonne quanti sono i DOF complessivi 4x3DOF = 12 e tante righe quanti sono i DOF incogniti, ovvero 3x2+1+1 = 8.
OC 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1
:=
