→F ∈ C1(A), con A insieme aperto contenente T e il sostegno di Γ Formule di Gauss-Green (1) ZZ T ∂F2 ∂x dxdy = I Γ F2 dy (2

Formule di Gauss-Green

Richiami di teoria

• Γ curva chiusa in R², regolare a tratti, per- corsa in senso antiorario

• T ⊂ R² regione “interna” a Γ

• Sia −→

F : A ⊂ R² → R², −→

F = F₁−→

i ₁ + F₂−→ i ₂,

−

→F ∈ C¹(A), con A insieme aperto contenente T e il sostegno di Γ

Formule di Gauss-Green (1)

ZZ T

∂F₂

∂x dxdy =

I

Γ F₂ dy (2) −

ZZ T

∂F₁

∂y dxdy =

I

Γ F₁ dx (3)

ZZ T

Ã∂F₂

∂x − ∂F₁

∂y

!

dxdy =

I

ΓF₁ dx + F₂ dy

Casi particolari

1.Area di una regione piana Area(T ) =

I

Γx dy

(segue da (1) con F₂(x, y) = x) Area(T ) = −

I

Γy dx

(segue da (2) con F₁(x, y) = y)

Area(T ) = 1 2

I

Γ(x dy − y dx)