Formule di Gauss-Green

(1)

Formule di Gauss-Green

Riccarda Rossi

Universit` a di Brescia

Analisi II

Riccarda Rossi (Universit`a di Brescia) Gauss-Green Analisi II 1 / 44

(2)

Richiami di teoria

• Γ curva chiusa in R ² , regolare a tratti, percorsa in senso antiorario

• T ⊂ R ² regione “interna” a Γ

• − →

F : A ⊂ R ² → R ² , − →

F = F ₁ − →

i ₁ + F ₂ − → i ₂ , − →

F ∈ C ¹ (A), A insieme aperto contenente T e il sostegno di Γ

(1) Z Z

T

∂F ₂

∂x dxdy = I

Γ

F ₂ dy = I

Γ

(0 − →

i ₁ + F ₂ − → i ₂ ) · d Γ

(2) − Z Z

T

∂F 1

∂y dxdy = I

Γ

F 1 dx = I

Γ

(F 1

−

→ i 1 + 0 − → i 2 ) · d Γ

(3) Z Z

T

∂F ₂

∂x − ∂F 1

∂y

dxdy = I

Γ

F 1 dx + F 2 dy =

I

Γ

−

→ F · d Γ

(3)

• T NON semplicemente connesso:

Z Z

T

∂F ₂

∂x − ∂F ₁

∂y

dxdy = I

Γ

1

−

→ F · d Γ ₁ −

n

X

k=2

I

Γ

k

−

→ F · d Γ _k

(4)

Casi particolari

1.Area di una regione piana Area(T ) =

I

Γ

x dy

Area(T ) = − I

Γ

y dx

Area(T ) = 1 2

I

Γ

(x dy − y dx )

(5)

Calcolare l’area di E =

(x , y ) ∈ R ² : x ² a ² + y ²

b ² ≤ 1

, dove a > 0, b > 0 sono fissati.

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(10)

Es. 2.

I

Γ

(x ³ − xy ³ ) dx + (y ² − 2xy ) dy

dove Γ ` e il perimetro del quadrato D = [0, 2] × [0, 2] percorso in senso antiorario.

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Es. 3.

I = I

Γ

(e ^x

⁴

− y ) dx + [x ³ + sinh(3y ² )] dy

dove Γ ` e l’ellisse 9x ² + 4y ² = 36 percorso due volte in senso orario.

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Es. 4.

Sia A = Q ∪ D, con



 

 

Q = [0, 1] × [0, 1]

D = {(x , y ) ∈ R ² : (x − 1) ² + (y − 1) ² ≤ 1, 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1}

e sia Γ il bordo di A, orientato positivamente. Si calcoli l’integrale I

Γ

(x ³ − y ) dx + (x + y ) dy

• Non conviene calcolare direttamente l’integrale curvilineo: dovrei

“spezzarlo” in 4 integrali, essendo Γ = Γ 1 ∪ Γ ₂ ∪ Γ ₃ ∪ Γ ₄ .

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(32)

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Es. 5.

Sia Γ la curva bordo del quadrato Q = [0, 1] × [0, 1], orientata in senso orario. Si calcoli

I

Γ

x

1 + y dx − (sin(y ) + x ² y ) dy

• Conviene applicare la formula di Gauss-Green “al rovescio” per evitare di parametrizzare i 4 lati del quadrato.

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Formule di Gauss-Green

Formule di Gauss-Green

Riccarda Rossi

Universit` a di Brescia

Analisi II

Richiami di teoria

• Γ curva chiusa in R 2 , regolare a tratti, percorsa in senso antiorario

• T ⊂ R 2 regione “interna” a Γ

• − →

F : A ⊂ R 2 → R 2 , − →

F = F 1 − →

i 1 + F 2 − → i 2 , − →

F ∈ C 1 (A), A insieme aperto contenente T e il sostegno di Γ

(1) Z Z

T

∂F 2

∂x dxdy = I

Γ

F 2 dy = I

Γ

(0 − →

i 1 + F 2 − → i 2 ) · d Γ

(2) − Z Z

T

∂F 1

∂y dxdy = I

Γ

F 1 dx = I

Γ

(F 1

−

→ i 1 + 0 − → i 2 ) · d Γ

(3) Z Z

T

 ∂F 2

∂x − ∂F 1

∂y



dxdy = I

Γ

F 1 dx + F 2 dy =

I

Γ

−

→ F · d Γ

• T NON semplicemente connesso:

Z Z

T

 ∂F 2

∂x − ∂F 1

∂y



dxdy = I

Γ

−

→ F · d Γ 1 −

n

X

k=2

I

Γ

−

→ F · d Γ k

Casi particolari

1.Area di una regione piana Area(T ) =

I

Γ

x dy

Area(T ) = − I

Γ

y dx

Area(T ) = 1 2

I

Γ

(x dy − y dx )

Calcolare l’area di E =



(x , y ) ∈ R 2 : x 2 a 2 + y 2

b 2 ≤ 1

 , dove a > 0, b > 0 sono fissati.

• Γ curva chiusa in R ² , regolare a tratti, percorsa in senso antiorario

• T ⊂ R ² regione “interna” a Γ

F : A ⊂ R ² → R ² , − →

F = F ₁ − →

i ₁ + F ₂ − → i ₂ , − →

F ∈ C ¹ (A), A insieme aperto contenente T e il sostegno di Γ

∂F ₂

F ₂ dy = I

i ₁ + F ₂ − → i ₂ ) · d Γ

∂F ₂

∂F ₂

∂x − ∂F ₁

→ F · d Γ ₁ −

→ F · d Γ _k

(x , y ) ∈ R ² : x ² a ² + y ²

b ² ≤ 1

, dove a > 0, b > 0 sono fissati.

(x ³ − xy ³ ) dx + (y ² − 2xy ) dy

(e ^x

− y ) dx + [x ³ + sinh(3y ² )] dy

dove Γ ` e l’ellisse 9x ² + 4y ² = 36 percorso due volte in senso orario.

D = {(x , y ) ∈ R ² : (x − 1) ² + (y − 1) ² ≤ 1, 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1}

(x ³ − y ) dx + (x + y ) dy

“spezzarlo” in 4 integrali, essendo Γ = Γ 1 ∪ Γ ₂ ∪ Γ ₃ ∪ Γ ₄ .

1 + y dx − (sin(y ) + x ² y ) dy