Tutorato di Geometria 3 del 18-12-2012

Tutorato di Geometria 3 del 18-12-2012 (P. Salvatore)

(1) Determinare il gruppo fondamentale degli spazi topologici rappresentati dalle lettere R, X, B, A.

(2) Si consideri il quoziente Q di un triangolo per la relazione di equivalenza che identifica i lati, percorsi nello stesso verso. Si calcoli il gruppo fondamentale di Q. Si dica se Q ` e una superficie.

(3) Dimostrare che R

e R

non sono omeomorfi se n > 2. Suggerimento:

provare a togliere un punto da entrambi.

(4) Si consideri il quoziente della sfera S

/ ∼ per la relazione di equivalenza che identifica il polo nord e il polo sud. Si calcoli π

(S

/ ∼).

(5) Dimostrare che la funzione f : S

→ S

data da f (z) = z

non ` e un’equivalenza omotopica. Suggerimento: considerare l’omomorfismo indotto sul gruppo fondamentale.

(6) Calcolare l’omomorfismo indotto sul gruppo fondamentale da g : (C − 0, i) → (C − 0, i) tale che g(z) = −iz

z

.

(7) Dato un gruppo finitamente presentato G, costruire uno spazio topologico X tale che π

(X) = G. Suggerimento: si consideri una circonferenza per ogni generatore, e un disco per ogni relazione.

(8) Si consideri la superficie con bordo M

, il toro privato di un disco aperto.

Si dimostri che il bordo S non ` e un retratto di M

. Suggerimento: di- mostrare l’asserzione a livello di gruppi fondamentali.

(9) Costruire una funzione f : C − {0, 1} → C − {0, 1} che induca a livello del gruppo fondamentale π

(C−{0, 1}), libero su generatori x, y, l’omomorfismo tale che f

(x) = x

y e f

(y) = y

.

(10) Si consideri la proiezione f : T → Q del toro T = I

/ ∼ sul quoziente per

la relazione (x, y) ∼ (x + 1/2, 1 − y), dove x ∈ [0, 1/2]. Dimostrare che Q ` e

una bottiglia di Klein e calcolare f

: π

(T ) → π

(Q).