Tutorato di Geometria 3 del 8-1-2013

Tutorato di Geometria 3 del 8-1-2013 (P. Salvatore)

(1) Costruire un rivestimento connesso a n fogli (la controimmagine di un punto ha cardinalit´ a n) degli spazi topologici rappresentati dalle lettere R, P, Q.

(2) Dire se la funzione f : C → C tale che f (z) = z

− 2z + 3 e le restrizioni g : C − {1} → C − {2}, h : C − {0, 2} → C − {3}. sono rivestimenti, e calcolare f

, g

, h

.

(3) Dati due rivestimenti f : X → Y, g : Y → Z, con g propria, dimostrare che la composizione gf : X → Z ` e un rivestimento.

(4) Descrivere esplicitamente dei generatori del gruppo fondamentale π

(C − {0, 1, i}, −1).

(5) Sia f una funzione continua suriettiva che soddisfa l’ipotesi seguente: ogni x ∈ X ha un intorno U

tale che f : U

→ f (U

) ` e un omeomorfismo. Si dica se f ` e un rivestimento. Viceversa, un rivestimento f soddisfa l’ipotesi?

(6) Dato un rivestimento p : E → B con p

(b) finito non vuoto per ogni b ∈ B, dimostrare che E ` e compatto Hausdorff se e solo se B ` e compatto Hausdorff. Mostrare che l’equivalenza non vale se p

(b) ` e infinito.

(7) Dimostrare che il gruppo fondamentale di R

− Q

non ` e numerabile.

(8) Sia X uno spazio topologico connesso per archi. Dimostrare che le classi di omotopia di funzioni S

→ X che non conservano il punto base corrispon- dono a classi di coniugio di elementi di π

(X).

(9) Dimostrare che le classi di omotopia di cammini [0, 1] → X tali che f (0) = x

e f (1) = x

, relative a {0, 1}, sono in corrispondenza biunivoca con il gruppo fondamentale di X. Trovare tali classi nel caso X = S

, x

=

−1, x

= 1.

(10) Calcolare il gruppo fondamentale di R

−Y e R

−Z, dove Y ` e l’unione delle circonferenze nel piano z = 0 di centri rispettivi (2, 0, 0), (−2, 0, 0) e raggio 1; Z ` e l’unione della circonferenza nel piano z = 0 centrata nell’origine di raggio 1, e della circonferenza nel piano y = 0 di centro (1, 0, 0) e raggio 1.

Dedurne che non esiste un omeomorfismo f : R

→ R

tale che f (Y ) = Z.