composizione di funzioni

♦

♦ Funzioni iniettive surgettive bigettive

♦

♦ Funzioni inverse e

composizione di funzioni

Rosalba Barattero

ESERCITAZIONE N.5 28 ottobre 2008

ESERCIZIO C 1.

Funzioni : attenti al domino e codominio!

Siano f:RxR→RxR definita da f(x,y)= (x+y, 3x-3y), g:ZxZ→ZxZ definita da g(x,y)= (x+y, 3x-3y)

a) Stabilire se f, g sono iniettive b) Stabilire se f, g sono surgettive

b) Partiamo dal caso RxR e proviamo a iniziare dallo studio della surgettività :

f(x,y)= (x+y, 3x-3y) è surgettiva se ∀ (a,b)∈RxR ( codo- minio) ∃ almeno una coppia (x,y) ∈RxR (dominio) t.c.

f(x,y)=(a,b).

Dalla definizione di f ricaviamo che si tratta di stabilire se il sistema

⎩ ⎨

⎧

=

−

= +

b y 3 3x

a y

x nelle incognite x, y ( con a , b consi-

derati termini noti) ha ALMENO una soluzione, qualunque siano a, b ∈R

Per riduzione :

⎩ ⎨

⎧

=

= +

b 3y - 3x

a y

x

3R

₁

+R

₂

:

6x =3a+b

⇒ _⎪

⎩

⎪ ⎨

⎧

+ =

= +

b 3y 6 -

b a 3 3

6 b a x 3

⇒

⎪⎩

⎪ ⎨

⎧

= +

= +

b 2 6y - b a

3 6

b a x 3

⇒ _⎪

⎩

⎪ ⎨

⎧

=

= +

6 b - y 3a

6 b a x 3

⇒ Per ogni (a,b)∈RxR ∃ ! (x,y)∈RxR t.c. f(x,y)=(a,b)

In questo caso il sistema è risolubile :

• l’esistenza di almeno una soluzione ci garantisce la surgettività di f ,

• l’unicità di tale soluzione ci garantisce l’iniettività di f.

C

ONCLUSIONE

: f è bigettiva ( iniettiva e surgettiva) N.B. Questo metodo è efficace nel caso di sistemi lineari ( = I° grado)

Ma nel caso della funzione g:ZxZ →ZxZ

la soluzione trovata _⎪

⎩

⎪ ⎨

⎧

=

= + 6

b - y 3a

6 b a x 3

non è una coppia di interi ,

per ogni scelta di a, b ∈Z .

Ciò succede se 3a+b e 3a-b non sono multipli di 6.

Se ad esempio a= 0, b=1 l’unica soluzione _⎪

⎩

⎪ ⎨

⎧

=

= + 6

b - y 3a

6 b a x 3

diventa _⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝ ⎛ − 6 1 6

1 , che non appartiene a ZxZ .

Così si ha : controimmagine g

^-1

(0,1) = ∅ e quindi g NON è surgettiva.

Poiché il sistema non è sempre risolubile in ZxZ, salta così la conclusione precedente riguardante la prova dell’iniet- tività tramite l’unicità della soluzione.

Procediamo in modo diverso, utilizzando la def. di funzio-

ne iniettiva:

g è iniettiva se

g(x,y)=g(z,w)⇒(x,y)=(z,w) per ogni coppia(x,y),(z,w)∈ZxZ

g(x,y) = (x+y, 3x-3y), g(z,w) = (z+w,3z-3w)

g(x,y)=g(z,w) ⇔

⎩ ⎨

⎧

−

=

− +

= +

3w 3z 3y 3x

w z y

x riduzione R

2

-3R

1

⇒

⎩ ⎨

⎧

−

=

−

+

= +

6w 6y

w z y x

⇒

⎩ ⎨

⎧

= +

= +

w y

w z y x

⇒

⎩ ⎨

⎧

=

= w y

z x

⇒ (x,y)=(z,w)

⇒ g:ZxZ→ZxZ iniettiva

Osservazione: Questa tecnica è la prova ′standard′

dell’iniettività di una funzione.

ESERCIZIO C 2.

E’ la funzione inversa ?

Sia f:RxR→RxR la funzione def. da f(x,y)=(x+y,3x-3y).

Provare che g: RxR→RxR definita da g(a,b)= ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ + −

6 3 6

3 a b a b , è l’inversa di f.

Ricordiamo che :

• f:A →A è invertibile se ∃ g:A →A t.c. f○g=Id

_A

e g○f=Id

_A

dove Id

_A

indica la funzione identica, cioè t.c. Id

_A

(a)=a ∀a∈A

• Se f è invertibile allora l’inversa è unica (coincide con g).

C

OMPOSIZIONE DI FUNZIONI

Se f: A→B , g:B→C allora:

g○f : A→C è definita da (g○f)(a) = g(f(a)) ∀a∈A

Quindi per provare che g è l’inversa di f basta verificare che valgono le due condizioni f ○ g = Id

_A

e g ○ f = Id

_A

.

¾ f ○ g : RxR→ RxR f(g(a,b)) = f ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ + −

6 3 6

3 a b a b ,

= _⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

+ − + −

+

6 3 3 6 3 3 6 3 6

3 a b a b a b a b

, = (a,b)

⇒ f ○ g = Id

RxR(*)

¾ g ○ f = Id

_RxR

g(f(x,y)) = g(x+y,3x-3y)

= _⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ + + − + − −

6 3 3 3

6 3 3

3 ( ) ( )

) , (

)

( x y x y x y x y

= (x,y)

⇒ f ○ g = Id

RxR

OK

(*) IdRxR :RxR→RxR definita da (a,b)→(a,b) per ogni (a,b)∈RxR

ESERCIZIO C 3.

D

ETERMINAZIONE DELL

’

INVERSA

Provare che la funzione f:ZxZ → ZxZ definita da

f(x,y)=(x-1,2x+y) è invertibile e determinarne l’inversa.

Se mostriamo che la controimmagine di ogni elemento del co- dominio è un sottoinsieme del dominio costituito da un solo elemento (diverso dal vuoto) , proviamo che f è bigettiva e troviamo simultaneamente anche la definizione della funzione inversa.

Poniamo (x-1,2x+y) = (z,w). Deduciamo che

⎩ ⎨

⎧

= +

=

−

w y 2x

z 1

x

Supponiamo z,w noti, x,y incognite che ricaviamo:

⎩ ⎨

⎧

= +

= 2x - w y

1 z

x ⇒

⎩ ⎨

⎧

+

= +

=

1) 2(z - w y

1 z

x ⇒

⎩ ⎨

⎧

−

= +

=

2 2z - w y

1 z x

Per ogni (z,w)∈ZxZ codominio esiste una ed una sola soluzione

(x,y)∈ZxZ dominio tale che f(x,y) =(z,w) , per cui f è bigettiva e

la sua inversa è f

^-1

(z,w) = (z+1,w-2z-2).

ESERCIZIO 4.

Funzione f: RxR→RxR (eserc. scorsa)

Sia f:RxR→RxR definita da f(x,y)=(x-y,4x-4y).

Stabilire se f è surgettiva.

Avevamo già visto la volta scorsa che f non è surgettiva:

gli elementi (x-y,4x-4y) hanno la seconda componente quadrupla della prima e quindi ad es. (1,3)∉ Imf.

• Vediamo cosa succede se non ci accorgiamo di questa infor- mazione sulle componenti e procediamo, facendo uso della defini- zione di surgettività:

∀(a,b)∈RxR codom.∃ almeno un (x,y)∈RxR dom.t.c.f(x,y)=(a,b) ? Si ha f(x,y)= (x-y,4x-4y), quindi

f(x,y)=(a,b) ⇔ (x-y,4x-4y)= (a,b) ⇔

⎩ ⎨

⎧

=

−

=

−

b 4y 4x

a y x

La domanda è quindi: il sistema nelle incognite x, y ha ALME- NO una soluzione per ogni a, b∈R (a, b si possono considera- re come termini noti) ?

⎩ ⎨

⎧

=

−

=

−

b 4y 4x

a y

x ⇔ ( per sostituzione)

⎩ ⎨

⎧

=

− +

+

=

b 4y y) 4(a

y a

x

⇔ ⎩ ⎨ ⎧

=

− +

+

=

b 4y y 4 4a

y a

x ⇔

⎩ ⎨

⎧

= +

= b 4a

y a x

Quindi il sistema non è risolubile per qualunque scelta di a, b ∈R ma solo sotto la condizione che sia 4a=b. Scelto ad es. a=1, b=2 ( così 4a≠b ) il sistema NON ha soluzioni!

In altre parole f

^-1

(1,2) = ∅⇒ f NON è surgettiva.

vincolo su a,b

ESERCIZIO 5.

Funzione f: RxR→R

Sia f:RxR→R definita da f(x,y)=x

²

+y

³

. a) Stabilire se f è iniettiva

b) Stabilire se f è surgettiva

a) (1,0)≠(0,1), ma f(1,0)=1=f(0,1). Quindi f NON è IN.

b) f SU ⇔ ∀ a∈R ∃ (x,y)∈RxR t.c. f(x,y)=a ⇔ ∀ a∈R ∃ (x,y)∈RxR t.c. x

²

+y

³

=a

Qui abbiamo una sola equazione nelle due incognite x,y , con termine noto a.

Non c’è una formula risolutiva ! Nell’ambito reale, se ci sono soluzioni, per trovarne una, si assegna un valore ad es. ad y e poi si ricava x in funzione di a , se esiste ! Così facendo l’equazione diventa di II° grado in una sola incognita .

• Fissiamo ad es. y=0 ⇒

x

²

=a , se a≥0 ha soluzioni x = ± a , ma se a<0 l’equazione x

²

=a NON ha soluzioni !

Così non funziona !

• Allora fissiamo ad es. x=0 ⇒ y

³

=a , equazione di

III° grado nell’incognita y, che in R ha l’unica solu-

zione y=

³

a ⇒ ∃ (0,

³

a )∈RxR t.c. f(0,

³

a )=a

Conclusione f è surgettiva.

ESERCIZIO 6.

Ancora funzioni f: RxR→R

Siano date le funzioni:

f: RxR→RxR definita da f(x,y)=(x

²

-y,2x-2y), g: RxR→RxR definita da g(x,y)=(x

²

+y,3x+y).

a) Stabilire se f, g sono iniettive b) Stabilire se f, g sono surgettive

a) (0,0) ≠(1,1) ma f(0,0)= f(1,1)=(0,0) ⇒f Non è IN Un po’ meno spontanea la ricerca per g.

Se necessario, è di aiuto impostare la condizione g(x,y)=g(z,w):

g(x,y) = (x

²

+y,3x+y) , g(z,w)= (z

²

+w,3z+w) ⇒

⎩ ⎨

⎧

+

= +

+

= +

w 3z y 3x

w z y

x

^{2 2}

⇒

⎩ ⎨

⎧

+

= +

−

=

−

w 3z y 3x

3z z 3x

x

^{2 2}

⇒ ⎩ ⎨ ⎧

=

−

=

−

y - w z) - 3(x

3) z(z 3) x(x

⇒ … tra le possibili soluzioni: x=3, z=0 ; w=9, y=0 ⇒ (3,0) ≠(0,9), ma g(3,0)=g(0,9)=(9,9)

⇒ g NON è IN

 Utile esercizio : trovare f

^-1

(0,0) e g

^-1

(0,0) (la meta è: (x,y) = (z,w) ?) ⇒

il confronto è tra x e z, y e w : sottraz.

b) f: RxR→RxR definita da f(x,y)=(x

²

-y,2x-2y) è SU ?

f SU ⇔∀(a,b)∈RxR ∃ (x,y)∈RxR t.c. f(x,y)=(a,b) ⇔∀(a,b)∈RxR ∃ (x,y)∈RxR t.c.

⎩ ⎨

⎧

=

−

=

−

b 2y 2x

a y x

²

(2R

1

-R

2

) 2x

²

-2x=2a-b

2.

b 2y 2x

1.

0 b) 2a ( 2x x

²

⎩ ⎨

⎧

=

−

= +

− +

−

⇒ ad es. se a=0, b= 2 la 1. non ha sol.reali ⇒ f

^-1

(0,2) =∅

⇒ f NON è SU

 Per g: RxR→RxR definita da g(x,y)=(x

²

+y,3x+y) si segue procedimento analogo e si trova ( provare per e- sercizio) che ad es.

g

^-1

(-3,0) =∅ ⇒ g NON è SU

se in 1. risulta Δ = 1-(-2a+b)<0 ⇒ ∃ x∈R soluzione