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x2+ y2− 3x + xy

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Academic year: 2021

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(1)

Esercizio 1. Sia

f (x, y) = x2+ y2− 3x + xy.

(1) Determinare i massimi e minimi relativi di f (x, y).

(2) Determinare il massimo e il minimo assoluti di f (x, y) nel do- minio D = {(x, y) | x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 2}.

Esercizio 2. Sia V il solido:

V = {(x, y.z) ∈ R3 : x2+ 4y2 ≤ z ≤ 3 + 2x}.

Disegnare V e trovarne il volume.

(Suggerimento: trasformare la proiezione di V sul piano z = 0 con il cambio di variabili x − 1 = r cos θ; 2y = r sin θ.)

Esercizio 3. Si consideri il campo vettoriale:

F = x

x2+ 2y2 − 1i + 2y

x2+ 2y2− 1j.

(1) Determinare se F è conservativo e in caso affermativo trovarne un potenziale..

(2) Calcolare il lavoro compiuto dal campo lungo l’arco di circon- ferenza x2+ y2 = 4, con x ≥ 0 percorso in verso antiorario.

Esercizio 4. Sia V il solido definito da:

V = {(x, y, z) ∈ R3 : x2+ y2 ≤ 3z; x2+ y2+ z2 ≤ 4}.

Calcolare il flusso totale di F = x2i + (y + z)j + (z + x)k uscente da V ed il flusso uscente attraverso ogni superficie che delimita V .

Esercizio 5. Si consideri il campo vettoriale F = xi + xyj + (z + x)k e sia C la curva intersezione delle due superfici

S1 = {(x, y, z) ∈ R3 : z =p

x2+ y2}, S2 = {(x, y, z) ∈ R3 : z = 1−p

x2+ y2} percorsa in verso antiorario se vista dall’alto

(1) Parametrizzare la curva C e trovare il lavoro di F lungo tale curva.

(2) Calcolare il rotore di F e verificare il risultato ottenuto mediante la formula di Stokes.

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