Pisa, 15 Gennaio 2004
• Dire se le seguenti proposizioni sono vere o false:
Proposizione Vera Falsa
√2 ·√3 2 = √5
2 2 2
Se an→ 2004, allora √n
an→ 1 2 2
L’equazione x3 = sin x + 2004 ha almeno una soluzione reale 2 2
La funzione sin2(x + 3) `e periodica 2 2
(0, 0) `e un punto stazionario per f (x, y) = sin x + sin y 2 2
∀M ∈ R ∃K ∈ R tale che 7x ≥ M ∀x ≥ K 2 2
sin(sin x) = x + o(x) per x → 0 2 2
{na2n} → 2004 =⇒ P an converge 2 2
La sol. generale dell’eq. diff. u00+ 4u = 0 `e u(t) = ae2t+ be−2t 2 2
• Calcolare (indicare “N.E.” nel caso in cui le quantit`a richieste non esistono):
limx→0
2x + x2
3x + 5x2 = . . . lim
x→1
2x + x2
3x + 5x2 = . . . lim
x→+∞
2x + x2
3x + 5x2 = . . . . max {3 + |x − 3| : x ∈ [1, 4]} = . . . .
Z +∞
0
e−2xdx = . . . .
• Siano
f (x, y) = e2xy+√
sin 2, A =(x, y) ∈ R2 : −1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ |x| . Calcolare:
∂2f
∂x∂y(0, 0) = . . . .
Z
A
3 dx dy = . . . .
Pisa, 15 Gennaio 2004
• Dire se le seguenti proposizioni sono vere o false:
Proposizione Vera Falsa
log4(21000) = 500 2 2
Se an> 0 per ogni n ∈ N e an+1/an→ 8, allora √n
an→ +∞ 2 2
L’equazione e−x= arctan x ha esattamente una soluzione reale 2 2
La funzione sin2(x3) `e dispari 2 2
f (x, y) = x20− y40 ha un minimo relativo in (0, 0) 2 2
∃x ∈ R tale che x sin x ≥ 2004 2 2
ex− 1 = o(x) per x → 0 2 2
Se 0 < an < bn ∀n ∈ N e P an converge, allora P bn converge 2 2 u(t) = −7e2t `e la sol. del problema di Cauchy u0 = 2u, u(0) = −7 2 2
• Calcolare (indicare “N.E.” nel caso in cui le quantit`a richieste non esistono):
x→−∞lim 2x
arctan x = . . . lim
x→0
2x
arctan x = . . . lim
x→+∞
2x
arctan x = . . . . inf {x ∈ R : log(7 + x) ≥ 0} = . . . .
Z +∞
2
dx
x2 = . . . .
• Siano
f (x, y) = (x + y)3+ log 5, A =(x, y) ∈ R2 : x2+ y2 ≤ 1, x ≥ 0 . Calcolare:
∂2f
∂x∂y(1, 1) = . . . .
Z
A
3 dx dy = . . . .
Pisa, 7 Febbraio 2004
• Dire se le seguenti proposizioni sono vere o false:
Proposizione Vera Falsa
arcsin(1/2) = 5π/6 2 2
Se an→ +∞ e bn→ 0−, allora an/bn → −∞ 2 2 La funzione f (x) = x3+ 3x `e strettamente crescente in R 2 2
La funzione sin x · cosh x `e pari 2 2
Se f (x, y) = xy, allora ∇f (1, 2) = (2, 1) 2 2
∀M ∈ R ∃x ∈ R tale che x ≥ M e sin x = 0 2 2
sin(2x) = 2x + o(x2) per x → 0 2 2
{√
nan} → 2004 =⇒ P an converge 2 2
L’equazione differenziale u00+ tu0 + t2u = 0 `e lineare 2 2
• Calcolare (indicare “N.E.” nel caso in cui le quantit`a richieste non esistono):
x→−∞lim
sin(3x)
2x − x2 = . . . lim
x→0
sin(3x)
2x − x2 = . . . lim
x→1
sin(3x)
2x − x2 = . . . . infn
5 + e−x2 : x ∈ Ro
= . . . .
inf (
α ∈ R :
∞
X
n=0
n6+ 3
nα+ 7 converge )
= . . . .
• Siano
f (x, y) = sin(ey+ 2x), A =(x, y) ∈ R2 : x2+ y2 ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0 . Calcolare:
∂2f
∂x2(0, 0) = . . . .
Z
A
2x dx dy = . . . .
Pisa, 21 Febbraio 2004
• Dire se le seguenti proposizioni sono vere o false:
Proposizione Vera Falsa
√3 ·√3 3 = √6
3 2 2
Se an → 0+ e bn→ −∞, allora an/bn→ −∞ 2 2
L’equazione x30= sin x + 2004 ha esattamente una soluzione reale 2 2
La funzione x3− arctan x `e dispari 2 2
L’insieme {(x, y) ∈ R2 : x2+ 3y2 ≤ 7} `e limitato 2 2
∀M ∈ R ∃x ∈ R tale che x − 7x2 ≥ M 2 2
cosh x − cos x = o(x) per x → 0 2 2
Il raggio di convergenza della serie di potenzeP∞
n=0(7n+ 3)xn `e 7 2 2 u00− 5u0+ 7u = sin t, u(0) = 4, u0(4) = 0 `e un problema di Cauchy 2 2
• Calcolare (indicare “N.E.” nel caso in cui le quantit`a richieste non esistono):
x→−∞lim
2x + 3
x − 1 = . . . lim
x→0
2x + 3
x − 1 = . . . lim
x→1+
2x + 3
x − 1 = . . . . inf {x ∈ R : sin x ≤ 0} = . . . .
sup
α ∈ R : Z 1
0
x + 5
x3α dx converge
= . . . .
• Siano
f (x, y) = x
sin(y + 3) + 5x2, A =(x, y) ∈ R2 : 1 ≤ x2+ y2 ≤ 4, y ≥ 0 . Calcolare:
∂2f
∂x2(0, 0) = . . . .
Z
A
2 dx dy = . . . .
Pisa, 8 Giugno 2004
• Dire se le seguenti proposizioni sono vere o false:
Proposizione Vera Falsa
cos 2x = sin2x − cos2x per ogni x ∈ R 2 2 (log70n)/70√
n → +∞ 2 2
L’equazione x = |x − 27| ha almeno due soluzioni reali 2 2
La funzione f (x) = e|x| `e pari 2 2
(0, 0) `e un punto stazionario per f (x, y) = cos x − cos y 2 2
∀ε > 0 ∃δ > 0 tale che cos x > 1 − ε ∀x ∈ (−δ, δ) 2 2 arctan(x + x3) = x + x3+ o(x3) per x → 0 2 2 P∞
n=0n2(n4+ 3)−1 converge 2 2
L’equazione differenziale u0 = 7 + sin u `e autonoma 2 2
• Calcolare (indicare “N.E.” nel caso in cui le quantit`a richieste non esistono):
x→−∞lim sin3x
2x3 = . . . lim
x→0
sin3x
2x3 = . . . lim
x→π
sin3x
2x3 = . . . . maxe3 sin x : x ∈ R = . . . .
Z 2 0
√dx
x = . . . .
• Siano
f (x, y) = x
y + 3+ 75, A =(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1, −x2 ≤ y ≤ 0 . Calcolare:
∂2f
∂x∂y(0, 0) = . . . .
Z
A
2x dx dy = . . . .
Pisa, 28 Giugno 2004
• Dire se le seguenti proposizioni sono vere o false:
Proposizione Vera Falsa
27· 28 = 215 2 2
La successione (5n+ 6n)7−n tende a +∞ 2 2
cos x + 3 ≥ arctan x per ogni x ∈ R 2 2
La funzione cos(cosh x) `e periodica 2 2
Esiste min{9x + 7y : x2+ y2 = 2004} 2 2
∀M ∈ R ∃x ∈ R tale che x2 = M 2 2
sin x2− x2 = o(x5) per x → 0 2 2
La serie di potenze P∞
n=0nnxn converge solo per x = 0 2 2 Se u0 = tu + u2 e u(0) = 5, allora u0(0) = 25 2 2
• Calcolare (indicare “N.E.” nel caso in cui le quantit`a richieste non esistono):
x→0lim
2x + 5
|x − 1| = . . . lim
x→1−
2x + 5
|x − 1| = . . . lim
x→+∞
2x + 5
|x − 1| = . . . .
sup
x ∈ R : x + 3 4 − x > 0
= . . . .
Z +∞
0
sin x dx = . . . .
• Siano
f (x, y) = log(x + y2), A =(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ π . Calcolare:
∂2f
∂x∂y(4, 1) = . . . .
Z
A
2x sin y dx dy = . . . .
Pisa, 19 Luglio 2004
• Dire se le seguenti proposizioni sono vere o false:
Proposizione Vera Falsa
log 8 · log 5 = log 13 2 2
La successione (arctan n)/n tende a 0 2 2
L’equazione x + 2x = 2004 non ha soluzioni reali 2 2
La funzione sinh x · cos x `e pari 2 2
{(x, y) ∈ R2 : x ∈ [0, 1], 0 ≤ y ≤ x} = {(x, y) ∈ R2 : y ∈ [0, 1], y ≤ x ≤ 1} 2 2
∀M ∈ R ∃K ∈ R tale che x − x2 ≤ M ∀x ≤ K 2 2
arctan x2 − x2 = o(x6) per x → 0 2 2
La serieP∞
n=0(−1)narctan n converge 2 2
La sol. generale dell’eq. diff. u0 = −7u `e u(t) = ce−7t 2 2
• Calcolare (indicare “N.E.” nel caso in cui le quantit`a richieste non esistono):
lim
x→0+
2√ x + x
√x − 3x = . . . lim
x→1
2√ x + x
√x − 3x = . . . lim
x→+∞
2√ x + x
√x − 3x = . . . .
supn
x ≥ 0 : √
x + 3 ≥ 29o
= . . . .
infn√
x + 3 : x ≥ 0o
= . . . .
• Siano
f (x, y) = log(y + 2x), A =(x, y) ∈ R2 : x2+ y2 ≤ 22, y ≥ 0 . Calcolare:
∂2f
∂x∂y(1, 1) = . . . .
Z
A
2x dx dy = . . . .
Pisa, 21 settembre 2004
• Dire se le seguenti proposizioni sono vere o false:
Proposizione Vera Falsa
(x + 3)20= 1 =⇒ x = −2 2 2
n2004 ≥ 2n definitivamente 2 2
Esiste min{x70+ 3 sin x70: x ∈ R} 2 2
La funzione |ex| `e pari 2 2
Se f (x, y) = x2+ y2, allora ∇f (2, 2) = (2, 2) 2 2
∃K ∈ N tale che (−2)n+ 2004 ≥ 0 ∀n ≥ K 2 2
cos(2x2) = 1 − 2x4+ o(x7) per x → 0 2 2
0 < an< 1/n ∀n ≥ 1 =⇒ P an converge 2 2
La sol. gener. dell’eq. diff. u00− 2u0+ 2u = 0 `e u(t) = et(a cos t + b sin t) 2 2
• Calcolare (indicare “N.E.” nel caso in cui le quantit`a richieste non esistono):
lim
x→0+
log x
5x = . . . lim
x→1
log x
5x = . . . lim
x→+∞
log x
5x = . . . . maxx ∈ R : arctan(x − 3)7 ≤ 0 = . . . .
sup (
α ∈ R :
∞
X
n=0
(α − 5)n converge )
= . . . .
• Siano
f (x, y) = e2x+3y, A =(x, y) ∈ R2 : y ∈ [0, 1], 0 ≤ x ≤ y . Calcolare:
∂2f
∂x∂y(0, 0) = . . . .
Z
A
2 dx dy = . . . .
