IERRERIA =+−+=−+= 2211 IIIIIIIIERRERI +=+ ⇒ =+−=+−+ () 1 ERIIERA = ⇒ === 842 ()() IERRA =+=+== 16261882 ERIRIRRI =+=+⋅ ()

PRIMA PROVA IN ITINERE --- 9 MAGGIO 2008

ESERCIZIO E.1.: Del circuito mostrato in figura 1, si desidera determinare: a) la corrente IX; b) la potenza elettrica erogata dai tre generatori. Sono assegnati: R1 = 2 ΩΩΩΩ, R2 = 4 ΩΩΩΩ, R3 = 6 ΩΩΩΩ;

IS = 1 A; ES1 = 16 V; ES1 = 8 V.

a) Calcolo della corrente IX.

Si nominano, onde realizzare utili punti di riferimento per la successiva analisi, con le lettere αααα, βββ, e γγγγ tre dei β quattro nodi presenti nella rete di figura 1a mentre con I1 ed I2 si indicano, dotate dei rispettivi versi, le due correnti che circolano, rispettivamente, nelle due resistenze R1 ed R2. Risulta poi particolarmente utile impostare la soluzione della rete considerando che il lato di morsetti ααα-γγγγ, del quale si vuole conoscere la α corrente IX che circola in esso, realizza il bipolo corto circuito, cioè, come evidenzia l’ispezione diretta, si deve considerare:

Vα α αγγγγ = 0 V α

^.

L’applicazione della legge di Kirchhoff delle tensioni applicata alla maglia individuata dal generatore ES1 e dal lato ααααγγγγ consente di relazionare come segue:

E

_S1

= R I

_{1 1}

+ R I

_{3 1}

= ( R

₁

+ R

₃

) ⋅ I

₁

da cui si evince la scrittura che fornisce la corrente I1:

I E

R

^S

R A

1 1

1 3

16 2 6

18 8 2

= + =

+ = =

( ) ( )

La reiterazione della legge di Kirchhoff delle tensioni applicata alla maglia (ααααββββγγγγαααα), consente di calcolare la corrente I2 con la relazione seguente:

E R I I E

R A

S

S

2 2 2 2 2

2

8 4 2

= ⇒ = = =

Non resta altro che applicare ora la legge di Kirchhoff delle correnti alla superficie ΣΣ (supernodo ΣΣ di corrente) per impostare la relazione che lega la corrente IX alle correnti degli altri lati; più precisamente si ottiene la scrittura di seguito esplicitata:

I I I I I I I I E

R R E

R I

S X X S

S S

1 2 1 2 1 S

1 3

2 2

1

+ = + ⇒ = + − =

+ − + ( )

Operando le sostituzioni numeriche alle relative grandezze elettriche si conclude come segue:

I E

R R E

R I A

X

S S

=

S

+

¹

− + = − + =

1 3

2 2

2 2 1 1

OSSERVAZIONE

La relazione (1) altro non è che la legge di Kirchhoff delle correnti applicata al supernodo ΣΣΣΣ2

della figura 1a bis in cui si sono evidenziate le sorgenti trasformate equivalenti in corrente per i lati caratterizzati dalle originarie sorgenti in tensione come riportato nella iniziale figura 1. In siffatto contesto Il corto circuito realizzato dal bipolo di morsetti αααα-γγγγ consente di affermare che sono nulle le due correnti IA ed IB poiché, come in precedenza osservato, risulta

Vα α αγγγγ = 0 V α

. Atteso quanto premesso, si evince che al supernodo di corrente ΣΣΣΣ2 concorrono soltanto le correnti erogate dai tre generatori indipendenti di corrente che costituiscono appunto i soli lati attivi della

R2

R1

(figura - 1) R3

ı ++++

I

X

ES1

+ ++ +

−

−−

− IS

ES2

R2

R1

(figura - 1a) R3

ı ++++

I

X

ES1

+ + + +

−

−

−

− IS

ES2

α α α α

γγγγ

β β β β

I1

I2

ΣΣΣ Σ

rete in esame. Le trasformazioni fra le sorgenti di tensione in corrente sono regolate dalle relazioni seguenti

I E

R R A

G

S

1 1

1 3

16 2 6

16 8 2

= + =

+ = = R

_G1

= ( R

₁

+ R

₃

) ( = 2 6 + ) = 8 Ω

I E

R A

G

S

2 2

2

8 4 2

= = =

R

_G2

= R

₂

= Ω 4

Per quanto attiene alle correnti IA ed IB, di seguito si desidera esplicitare quanto già premesso, cioè verificare che:

I V R

V

R R A I V

R

V

R A

A

G

B

G

= =

+ = = = = = =

αγ αγ αγ αγ

1 1 3 2 2

0

8 0 0

4 0

( )

L’applicazione della legge di Kirchhoff delle correnti al supernodo ΣΣΣΣ2 consente di relazionare così come di seguito riportato:

I

_G1

+ I

_S

= I

_A

+ I

_B

+ I

_X

+ I

_G2

⇒ I

_X

= I

_G1

+ I

_S

− I

_G2

Sostituendo le espressioni delle correnti IG1 ed IG2 in precedenza calcolate si perviene alla scrittura conclusiva seguente:

I E

R R

E

R I

X

S S

=

S

+

¹

− +

1 3

2

( )

2

b) Calcolo della potenza elettrica erogata dai tre generatori.

Dato che si richiedono le potenze erogate dai tre generatori, si ritiene particolarmente utile il ricorso alla convenzione dei generatori per il calcolo delle potenze medesime.

Esplicitando la relazione costitutiva afferente la potenza elettrica ai morsetti di un bipolo e tenendo in considerazione che Vααααγγγγ = 0 V, si perviene alle scritture di seguito esplicitate:

P

_{I S}

= V

_αγ

⋅ I

_S

= 0 W

P

_ES

E

_S

I W

1

=

1

⋅

1

= 16 2 32 ⋅ =

potenza erogata

P

_ES

E

_S

I W

2

=

2

⋅

2

= ⋅ = 8 2 16

potenza erogata

Come conferma dei risultati conseguiti verifichiamo che è soddisfatto il teorema di Tellegen.

Calcoliamo a tale riguardo, con la convenzione degli utilizzatori, le tre potenze assorbite dai bipoli passivi costituiti dalle resistenze R1, R2 ed R3. Si esplicitano le seguenti relazioni:

P

_R1

= R

₁

⋅ I

₁²

= ⋅ 2 2

²

= ⋅ = 2 4 8 W

potenza assorbita

P

_R3

= R

₃

⋅ I

₁²

= ⋅ 6 2

²

= ⋅ = 6 4 24 W

potenza assorbita

P

_R2

= R

₂

⋅ I

₂²

= ⋅ 6 2

²

= ⋅ = 4 4 16 W

potenza assorbita Il teorema di Tellegen postula la tesi di seguito esplicitata:

P

_K

P P

k j jass k j K j erog

∑ = 0 ⇒ ∑ = ∑

_{( − ) ( − )} che nel nostro caso assume la forma:

P

_jass

P P P W

j R R R

∑ =

₁

+

₂

+

₃

= + 8 16 24 48 + =

P

_{k j erog}

P P W

k j ( ) ES ES

( − ) −

∑ =

₁

+

₂

= 32 16 48 + =

RG2

RG1

(figura - 1a bis)

IG1 IG2

IA

I

X

IS

α αα α

γγγγ Σ Σ Σ Σ2

IB

ESERCIZIO E.2.: Del bipolo mostrato in figura 2 si determini il circuito equivalente di Thévenin ai morsetti A-B. Si colleghi quindi il bipolo al resistore R3. In questa condizione, si determini la corrente IR3. Sono assegnati: µµµµ=10; ββββ=1/20; IS =1A; R1=10ΩΩ; RΩΩ 2 =R3=20ΩΩ. ΩΩ Il bipolo, di natura attivo, si caratterizza per la presenza di un generatore dipendente di tensione pilotato dalla tensione ai capi di R2, dal generatore dipendente di corrente pilotato dalla corrente circolante nella resistenza R1 e nel generatore pilotato in tensione citato in precedenza, nonché dalla sorgente indipendente di corrente IS. Si richiede di determinare il più semplice bipolo che sia elettricamente equivalente ai morsetti A e B del bipolo originario, così come mostrato in figura 2a.

In sostanza bisogna determinare il generatore equivalente di Thevenin relativo al circuito di figura 2. Si osservi, poi, che la conoscenza del bipolo di figura 2a consente di individuare la formulazione controllata in corrente tramite la relazione che di seguito si riporta:

V = E

_TH

+ R

_TH

·I

. Si deve procedere, pertanto al calcolo dei parametri ETH ed RTH del bipolo equivalente di Thevenin.

a) Calcolo di ETH. È noto che la tensione equivalente di Thevenin ETH corrisponde alla tensione a vuoto del bipolo, ovvero con la tensione VAB che si manifesta fra i morsetti A e B del bipolo quando esso è posto a vuoto, come mostrato in figura 2b. Mediante ispezione diretta si evince che IA =0A (bipolo a vuoto) e che quindi anche la tensione ai capi di R1 è nulla, atteso che VR1 = R1·IA = 0 V. Ne deriva essere parimenti immediato asserire che:

⇒ essendo nulla la grandezza elettrica di comando rappresentata dalla corrente IA è pure nullo l’effetto del corrispondente generatore dipendente di corrente pilotato dalla stessa corrente IA, che pertanto va considerato spento, ovvero:

β β·I β β

A

= 0 A

;

⇒ l’applicazione della legge di Kirchhoff delle tensioni applicata alla maglia di ingresso non può che confermare la posizione che di seguito si esplicita:

E

_TH

− µ V

_B

= R I

_{1 A}

⇒ E

_TH

= V

_AB

= µ V

_B

⇒ l’applicazione della legge di Kirchhoff delle correnti al nodo δδδδ consente di esplicitare, per altra via, quando fornito dalla legge di Ohm per la resistenza R2, ovvero la scrittura seguente:

β ⋅ I

_A

+ I

_S

= I

₂

⇒ I

₂

= I

_S

= ( V

_B

R

₂

) ⇒ V

_B

= R

₂

⋅ I

_S

Ricordando l’espressione della tensione ETH ricavata in precedenza, si può concludere come segue:

E

_TH

= µ V

_B

= µ R I

_{2 S}

= 10 20 1 200 ⋅ ⋅ = V

b) Calcolo della resistenza RTH. Il circuito da esaminare è quello mostrato in figura 2c in cui viene evidenziata la presenza del generatore test VTX e lo spegnimento della sorgente interna IS.

(figura 2b) R1

IS

β β β βIA

IA

VB R2

µµ µµVB

+ + + +

−

−

−

− A

B ETH

δ δδ δ

I2

(figura - 2) R1

IS

βββ βIA

IA

VB R2

µ µµ µVB

++ ++

−−

−− A

B R3

RTH

ETH

A

B I

V

(figura 2a) R3

+ + + +

−

−

− IR3 −

Per ispezione diretta si osserva immediatamente che: ITX = IA e quindi anche che ββββ·IA =B·ITX.= I2. Il generatore test VTX garantisce la presenza del comando IA che attesta, così, l’efficacia del relativo generatore di corrente pilotato ββββIA; questi, a sua volta, abilita il comando espresso dalla tensione VB, sia l’efficacia del relativo generatore pilotato µµµµV_B. Ne consegue che i due generatori dipendenti sono da ritenersi entrambi attivi e, pertanto, influenti nel calcolo della resistenza equivalente RTH.

Sempre per ispezione diretta si evince quanto segue:

V

_B

=R

₂

·I

₂

= β β β·R β

2

·I

_A

= β β β β·R

2

·I

_TX.

Atteso ciò che è stato premesso, l’applicazione della legge di Kirchhoff delle tensioni alla maglia d’ingresso consente di relazionare come segue:

V

_TX

− µ V

_B

= R I

_{1 A}

⇒ V

_TX

= µ V

_B

+ R I

_{1 A}

Ricordando l’espressione già ricavata di VB e la relazione di congruità ITX = IA, si può modificare la scrittura precedente nella forma di seguito evidenziata:

V

_TX

= µ V

_B

+ R I

_{1 A}

= µβ R I

_{2 TX}

+ R I

_{1 TX}

= ( R

₁

+ µβ R

₂

) I

_TX

Ricordando che la Resistenza Equivalente di Thevenin RTH sentita fra i morsetti A e B è definita dal rapporto seguente:

R V

N

I

TX TX I S

=

=0

; si ottiene la scrittura di seguito riportata:

R V

I

R R I

I R R

N TX

TX

TX TX

= = + ⋅

= + = + ⋅ ⋅ =

( )

( )

1 2

1 2

10 10 1

20 20 20

µβ µβ Ω

Il bipolo equivalente di Thevenin, a cui corrisponde la formulazione controllata in corrente, per il bipolo di figura 2 è, pertanto, espressa dalla seguente relazione costitutiva:

V = E

_TH

+ R

_TH

I = µ R I

_{2 S}

+ ( R

₁

+ µβ R

₂

) ⋅ I ⇒ V = 200 20 +

c) Calcolo diretto. In ossequio alla definizione costitutiva per un bipolo controllato in corrente, si collega fra i morsetti A e B una sorgente esterna indipendente di corrente I e si ricerca, se esiste, il modello costitutivo del bipolo esplicitandolo con la relazione V = ƒƒƒ(I). Il circuito da esaminare viene ƒ mostrato in figura 2d dal quale si evince per ispezione diretta che I = IA. Poi la legge di Kirchhoff delle tensioni che si applica alla maglia d’ingresso del bipolo consente di relazionare come segue:

V − µ V

_B

= R I

₁

( ) 2

L’applicazione della legge di Kirchhoff delle correnti al nodo δδδδ porge la scrittura seguente:

S B

B S

S

A I I I I V R V R I R I

I + = ₂ ⇒ β ⋅ + = ₂ ⇒ = β ⋅ ₂ + ₂ β

Sostituendo l’espressione di VB ora trovata nella precedente relazione (2), si perviene alla scrittura:

V − µ β ( R I

₂

+ R I

_{2 S}

) = R I

₁

⇒ V = µβ R I

₂

+ µ R I

_{2 S}

+ R I

₁

(figura 2c) R1

β β β βIA

IA

VB R2

µ µ µ µVB

+ + + +

−

−

−

− A

B VTX

δ δδ δ

I2

+ + + +

−

−

−

−

(figura 2d) R1

IS

β β β βIA

IA

VB R2

µµ µµVB

+ + + +

−

−

−

− A

B

δδ δ δ

I2

I V

ovvero, dopo i dovuti passaggi algebrici:

V = µ R I

_{2 S}

+ ( R

₁

+ µβ R

₂

) ⋅ I ( ) 3

Il legame analitico espresso dalla (3) definisce la relazione costitutiva del bipolo equivalente mostrato in figura 2e, del tutto coincidente con l’iniziale figura 2a per la quale proprio come già asserito vale il modello matematico

V = E

TH

+ R

TH

·I

.

Dal confronto si evince che:

E

_TH

= µ R I

_{2 S}

= 200 V R

_TH

= ( R

₁

+ µβ R

₂

) = 20 Ω

Quanto di anzi ottenuto attesta la correttezza dei risultati in precedenza conseguiti.

Per quanto si riferisce alla richiesta del calcolo della corrente IR3, il circuito da esaminare è quello mostrato con la figura 2f in cui il bipolo equivalente di Thevenin viene connesso ai morsetti A e B

con la resistenza R3.

L’applicazione della legge di Kirchhoff delle tensioni applicata alla unica maglia costituente la rete, consente di relazionare come segue:

E

_TH

= R

_{TH R}

I

₃

+ R I

_{3 R3}

⇒ E

_TH

= ( R

_TH

+ R

₃

) ⋅ I

_R3

Per tanto, la corrente IR3 viene definita con la seguente relazione:

I E

R R A

R TH

3 TH

3

200 20 20

200 40 5

= + =

+ = =

ESERCIZIO E.3.: Del circuito riportato in figura 3, si determini la tensione VX con il metodo dell’analisi nodale (eventualmente modificata), considerando il minore numero possibile di incognite e quindi di equazioni. ES = 4 V; IS = 6 A; R1 = 1 ΩΩΩ; RΩ 2 = 4 ΩΩ; RΩΩ 3 = 2 ΩΩΩ; rΩ m = 2.ΩΩΩ Ω

La traccia impone, come procedura risolutiva, il ricorso al principio dei potenziali di nodo. Si nominano, onde realizzare utili riferimento per la successiva analisi, con le lettere A, B, e C tre dei quattro nodi presenti nella rete di figura 3 i cui potenziali VA, VB e VC si intendono riferiti al nodo connesso a terra, cioè a potenziale zero.

In conformità a tale impostazione, per ispezione diretta della rete di figura 3a si evince quanto segue:

V

_X

= V

_B

V

_A

− V

_B

= E

_S

V

_C

= r I

_{m X}

La legge di Ohm applicata ai morsetti della resistenza R3, consente di concludere come di seguito esplicitato:

V

_X

= V

_B

= − R I

_{3 X}

⇒ I

_X

= − ( V

_X

R

₃

)

Stabiliti i versi delle correnti I1 ed I2, come mostrato in figura 3a, è possibile esplicitare le relazioni che danno le correnti dei lati di interesse della rete, ottendo quanto di seguito riportato:

I V V

R I V

R

E V R

A C A S X

1 1 2

2 2

= −

= = +

( )

Sostituendo le espressioni di VA e di VC si ottiene:

I E V r I

R

S X m X

1 1

= ( + − )

relazione che può esprimersi, per comodità, nella forma che di seguito si esplita:

(R1+µµµβµβββR2)

β ββ βR2IS

A

B I

V

(figura 2e) +

+ + +

−

−

−

−

RTH

ETH

A

B (figura 2f)

IR3

+ R + + +

−

−

−

−

(figura - 3)

R2

+ + + + ı

ES

R1

R3

VX

IX

rmIX

++ ++ ı

IS

C

A B

(figura 3a)

R2

++ ++ ı

ES

R1

R3

VX

IX

rmIX

+ + + + ı

IS

I2

I1

Γ Γ

Γ Γ

I E V r I

R E V r V

R R

S X m X

S X m X

1 1 3 1

= + − 1

=  + +

  

  ⋅

( )

L’applicazione della legge di Kirchhoff delle correnti al supernodo ΓΓ di tensione consente poi di ΓΓ relazione come segue:

I

₁

+ I

₂

+ I

_S

= I

_X

Procedendo con le dovute sostituzioni ed operando i relativi necessari passaggi algebrici si perviene alle seguenti scritture:

E V

R

r V R R

E V

R I V

R

S X m X S X

S X

+ + + +

+ = −

1 1 3 2 3

1 1 1 1 1

1 2 1 1 3 2 3

R R E I

R

r

R R R R V

S S m

+

X



  

  ⋅ + = −  + + +

  

  ⋅

( R

₁

+ R

₂

) R E

_{3 S}

+ R R R I

_{1 2 3 S}

= − ( R R

_{2 3}

+ R R

_{1 3}

+ R R

_{1 2}

+ r R

_{m 2}

) ⋅ V

_X

In conclusione si perviene alla relazione richiesta e che di seguito si esplicita:

V R R R E R R R I R R R R R R r R

X S S

m

= − + +

+ + +

( )

( )

1 2 3 1 2 3

2 3 1 3 1 2 2

La sostituzione dei valori forniti dalla traccia per i singoli bipoli consente di determinare il potenziale VX, ovvero il potenziale del nodo B; si ottiene quanto segue:

V R R R E R R R I R R R R R R r R

V

X S S

m

= − + +

+ + + = − + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =

= − +

+ + + = − = −

( )

( )

[( ) ] ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 2 3 1 2 3

2 3 1 3 1 2 2

1 4 2 4 1 4 2 6 4 2 1 2 1 4 2 4 40 48

8 2 4 8

88

22 4

Noto il potenziale del nodo B, cioè la tensione VX, il calcolo della corrente IX, come già constatato in precedenza, viene effettuato mediante la scrittura seguente:

V V R I I V

R A

B

=

X

= −

X

⇒

X

=

X

= −  −

  

  =

3 3

4

2 2