Fondamenti della matematica. Prima lezione 25/

Fondamenti della matematica

Prima lezione 25/26 - 02 - 2021

Programma del corso

• Modulo 1: Teoria ingenua degli insiemi

• Modulo 2: Gli insiemi numerici

• Modulo 3: Geometria del piano

• Modulo 4: Geometria dello spazio

• Modulo 5: Dati e previsioni

Orario Lezioni

25 febbraio (17-19.30) 8 Aprile (17-19.30) 26 febbraio (11-13.30) 9 Aprile (11-13.30) 4 marzo (17-19.30) 15 Aprile (17-19.30) 5 marzo (11-13.30) 16 Aprile (11-13.30) 11 marzo (17-19.30) 22 Aprile (17-19.30) 12 marzo (11-13.30) 23 Aprile (11-13.30) 18 marzo (17-19.30) 29 Aprile (17-19.30) 19 marzo (11-13.30) 30 Aprile (11-13.30) 25 marzo (17-19.30) 6 maggio (17-19.30) 26 marzo (11-13.30) 7 maggio (11-13.30)

Obiettivi del corso

• Approfondire e consolidare le conoscenze, abilità e competenze matematiche per fornire una base sicura su cui poggiare la futura attività di insegnanti nella scuola dell'infanzia e nella scuola primaria.

• Avviare ad un tipo di insegnamento che, partendo da situazioni concrete, faccia maturare gradualmente nei futuri allievi i concetti basilari della matematica elementare e li metta in condizione di utilizzarli nella vita di tutti i giorni.

• Fornire una base sicura per strutturare adeguatamente l'azione didattica, anche attraverso la proposta di argomenti che, pur essendo fuori dal curriculum della scuola primaria, costituiscono uno sfondo che dà prospettiva al discorso sull’insegnamento elementare

Trasmettere interesse e passione per una disciplina richiede in chi la insegna la consapevolezza del valore di quella disciplina. Per questo è necessario avere un quadro ampio, saperne di più rispetto a ciò che si insegna.

“Consapevolezza del valore di una

disciplina” significa sia stima per quella

materia in generale, sia stima per il valore

degli elementi specifici che verranno

insegnati.

Modulo 1

Teoria ingenua

degli insiemi

I contenuti del modulo non sono certamente parte della matematica che riguarda la scuola primaria, ma ci aiutano a costruire

sia dal punto di vista dei concetti che dal punto di vista del linguaggio.

Scopo di questo modulo infatti è: ottenere

una conoscenza adeguata del linguaggio e

della simbologia di insiemi e relazioni, in

quanto utilizzati in gran parte della

matematica .

Idea intuitiva di insieme: collezione di oggetti

Un insieme si assegna

1. per elencazione , fornendo cioè un elenco completo degli elementi

𝐴 = 𝑅𝑜𝑚𝑎, 𝐴𝑚𝑠𝑡𝑒𝑟𝑑𝑎𝑚, 𝑃𝑎𝑟𝑖𝑔𝑖, 𝐿𝑜𝑛𝑑𝑟𝑎 𝐵 = 2, 7 , 11, 43, 67, 100

2. per caratteristica, esplicitando la proprietà P che caratterizza gli elementi dell’insieme

𝐵 = 𝑥: 𝑥 = 2𝑛; 𝑛 ∈ 𝑁

𝐶 = 𝑥: 𝑥 è 𝑢𝑛𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑐𝑜𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑙𝑙^′𝑈𝑛𝑖𝑣𝑒𝑟𝑠𝑖𝑡à 𝑑𝑖 𝑀𝑎𝑐𝑒𝑟𝑎𝑡𝑎

Esercizi

1)Ognuno dei seguenti insiemi è assegnato per caratteristica; individuarne gli elementi:

𝐴 = 𝑥: 𝑥𝜖𝑁 𝑒 𝑥 è 𝑢𝑛 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑖 𝑛𝑜𝑛 𝑚𝑎𝑔𝑔𝑖𝑜𝑟𝑒 𝑑𝑖 20 𝐵 = 𝑥: 𝑥𝜖𝑍 𝑒 − 6 ≤ 𝑥 < 3

𝐶 = 𝑥: 𝑥 è 𝑢𝑛𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑣𝑖𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑖𝑡𝑎𝑙𝑖𝑎𝑛𝑎 𝑐ℎ𝑒 𝑖𝑛𝑖𝑧𝑖𝑎 𝑐𝑜𝑛 𝐵

2) Ognuno dei seguenti insiemi è assegnato per

elencazione; individuarne la proprietà caratteristica:

𝐴 = 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27 𝐵 = 𝐴𝑁, 𝐴𝑃, 𝐹𝑀, 𝑀𝐶, 𝑃𝑈

𝐶 = 𝑑𝑖, 𝑎, 𝑑𝑎, 𝑖𝑛, 𝑐𝑜𝑛, 𝑠𝑢, 𝑝𝑒𝑟, 𝑡𝑟𝑎, 𝑓𝑟𝑎

Insieme vuoto

Nella teoria degli insiemi si indica con insieme

vuoto quel particolare insieme che non contiene alcun elemento.

E’ un concetto controintuitivo rispetto alla definizione ‘ingenua’, ma necessario.

Si indica con il simbolo

∅

Esercizio:

I sottoinsiemi

Dati gli insiemi A e B, B è sottoinsieme di A se ogni elemento di B appartiene ad A, cioè:

𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵: 𝑥 ∈ 𝐴

A B

Anche l’insieme vuoto e l’insieme A stesso

soddisfano la definizione, ma sono sottoinsiemi particolari, chiamati impropri.

Tutti gli altri che si possono formare sono detti sottoinsiemi propri.

L’insieme di tutti i possibili sottoinsiemi si

chiama insieme potenza (o insieme delle parti ) e si indica con

𝑃(𝐴)

Esempio:

Dato 𝐴 = 1; 2 , determinare tutti i sottoinsiemi di A.

• ∅ 𝐴 = 1; 2 𝐵 = 1 𝐶 = 2

𝑃 𝐴 = ∅, 1 , 2 , 1; 2 Domanda: Che differenza c’è tra 2 e 2 ? Esercizio:

a)Di ognuno dei seguenti insiemi determinare l’insieme potenza 𝐴 = 𝑎, 𝑏, 𝑐 ; 𝐵 = 0; 4; 8; 12

b) Si può ipotizzare una relazione tra il numero di elementi di un insieme e il numero di elementi del relativo insieme potenza?

Risposta: si, se n è il numero di elementi di un insieme, il suo insieme potenza ( cioè l’insieme di tutti i suoi

sottoinsiemi) ha 2^𝑛 elementi

Partizione di un insieme

Sia A un insieme. Due o più sottoinsiemi di A formano una partizione di A se soddisfano le seguenti condizioni:

• nessuno dei sottoinsiemi è vuota;

• comunque presi due sottoinsiemi la loro intersezione è vuota;

• l’unione di tutti i sottoinsiemi ricopre A

Esempio: 𝐴 = 𝑥: 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 0 ≤ 𝑥 ≤ 30 Gli insiemi:

𝐵 = 𝑥: 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑥 = 2𝑛, 0 ≤ 𝑛 ≤ 10

𝐶 = 𝑥: 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 0 ≤ 𝑥 ≤ 30 ∧ 𝑥 è 𝑑𝑖𝑠𝑝𝑎𝑟𝑖 𝐷 = 22, 24, 26, 28, 30

costituiscono una partizione dell’insieme A.

Esercizio: determinare un’altra partizione di A

Operazioni tra insiemi

• Unione (∪)

𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑥 ∶ 𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵

Cioè in 𝐴 ∪ 𝐵 ci sono tutti gli elementi di A, tutti gli elementi di B, senza ripetere due volte quelli comuni

Esempio: 𝐴 = 𝑎, 1, 3, 𝑏, 7, 𝑑, 𝑝 𝐵 = 1, 𝑐, 𝑑, 2, 7 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑎, 1, 3, 𝑏, 7, 𝑑, 𝑝, 𝑐, 2

∧: et ; ∨: vel

Operazioni tra insiemi

• Intersezione (∩)

𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑥 ∶ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵

Cioè in 𝐴 ∩ 𝐵 ci sono solo gli elementi che appartengono sia ad A che a B

Esempio: 𝐴 = 𝑎, 1, 3, 𝑏, 7, 𝑑, 𝑝 𝐵 = 1, 𝑐, 𝑑, 2, 7 𝐴 ∩ 𝐵 = 1, 𝑑, 7

N.B.: se 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅ i due insiemi si dicono disgiunti.

∧: et ; ∨: vel

Operazioni tra insiemi

• Differenza (-)

𝐴 − 𝐵 = 𝑥 ∶ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ 𝐵

Cioè in 𝐴 − 𝐵 ci sono tutti gli elementi di A che non sono elementi di B

Esempio: 𝐴 = 𝑎, 1, 3, 𝑏, 7, 𝑑, 𝑝 𝐵 = 1, 𝑐, 𝑑, 2, 7 𝐴 − 𝐵 = 𝑎, 3, 𝑏, 𝑝

∧: et ; ∨: vel

Proprietà delle operazioni

• Associativa: 𝑎 ∗ 𝑏 ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐)

• Commutativa: 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎 Esercizi

1)Verificare, usando i diagrammi di Venn, che

a) le operazioni di unione e intersezione godono di entrambe le proprietà

b) l’operazione differenza non gode di nessuna delle due proprietà

2) Che ruolo ha l’insieme vuoto nelle operazioni di unione e intersezione?

Risposta: 𝐴 ∪ ∅ = 𝐴; 𝐴 ∩ ∅ = ∅

Proprietà distributiva tra unione e intersezione

Si può verificare facilmente con i diagrammi di Venn che vale la proprietà distributiva dell’unione rispetto all’intersezione

𝐴 ∪ 𝐵 ∩ 𝐶 = 𝐴 ∪ 𝐵 ∩ 𝐴 ∪ 𝐶

e anche dell’intersezione rispetto all’unione

𝐴 ∩ 𝐵 ∪ 𝐶 = 𝐴 ∩ 𝐵 ∪ 𝐴 ∩ 𝐶

Insieme complementare

Dato un insieme A e un suo sottoinsieme 𝐵, l’insieme 𝐶 = 𝐴 − 𝐵

Si dice insieme complementare di B, rispetto ad A e si indica con 𝐵_𝐴

N.B.: B e 𝑩_𝑨 costituiscono una partizione di A

𝐵_𝐴

B

A

𝑩_𝑨

Esercizio

Dati gli insiemi:

𝐴 = 𝑥: 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑥 ≤ 30

𝐵 = 𝑥: 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜 𝑑𝑖 6 𝐶 = 𝑥: 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜 𝑑𝑖 4

• Rappresentare i tre insiemi con i diagrammi di Venn

• Determinare 𝐵_𝐴, 𝐵 ∩ 𝐶, 𝐵 ∪ 𝐶, 𝐵 − 𝐶, 𝐶 − 𝐵

Operazioni tra insiemi

Premessa: quando si scrive (a, b) si intende una coppia ordinata di elementi in cui è fissato l’ordine, a è il primo elemento, b è il secondo, cioè 𝑎, 𝑏 ≠ 𝑏, 𝑎 .

(invece 𝑎, 𝑏 = 𝑏, 𝑎 )

• Prodotto cartesiano^:

𝐴 × 𝐵 = 𝑥, 𝑦 : 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵

𝐴 × 𝐵 è l’insieme di tutte le possibili coppie che hanno

come primo un elemento di A e come secondo un elemento di B.

N.B.: Il prodotto cartesiano non gode della proprietà

commutativa proprio per il significato di coppia ordinata

∧: et ; ∨: vel

Esempio

𝐴 = 𝑎, 𝑏, 𝑐 𝐵 = 1, 2

𝐴 × 𝐵 = 𝑎, 1 , 𝑎, 2 , 𝑏, 1 , 𝑏, 2 , 𝑐, 1 , (𝑐, 2) 𝐵 × 𝐴 = 1, 𝑎 , 2, 𝑎 , 1, 𝑏 , 2, 𝑏 , 1, 𝑐 , (2, 𝑐)

Relazioni

Una relazione è una corrispondenza tra due insiemi.

Esempio:

Sono dati i seguenti insiemi:

• 𝐴 = 𝑥: 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑥 < 30

• 𝐵 = 𝑏: 𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜 𝑑𝑖 6

• 𝐶 = 𝑐: 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜 𝑑𝑖 15

Si consideri la relazione tra B e C così definita:

𝑏 ∈ 𝐵 è in relazione con 𝑐 ∈ 𝐶 se e solo se 𝑏 ≤ 𝑐

𝑅 = 0,0 ; 0,15 ; 6,15 ; 12,15 Si consideri ora 𝐵 × 𝐶

0,0 0,15 6,0 6,15 12,0 12,15 18,0 18, 15 24,0 24,15 Si può vedere che : 𝑅 ⊂ 𝐵 × 𝐶

0 6 12 18 24

0 15

Definizioni

1) Si dice relazione (binaria), definita da un insieme A verso un insieme B, ogni proposizione che associa elementi di A ad elementi di B, tale che, comunque si prendano 𝑥 ∈ 𝐴 ed 𝑦 ∈ 𝐵, sia possibile stabilire se 𝑥 è associato ad 𝑦 o se non lo è.

2) Dati gli insiemi 𝐴 e 𝐵, una relazione da 𝐴 a 𝐵 ( 𝐴 𝐵) è un sottoinsieme di 𝐴 × 𝐵.

La proposizione che definisce la relazione stabilisce il criterio con cui vengono individuate le coppie del sottoinsieme. Tale sottoinsieme può essere anche chiamato grafico della relazione

R

Il sottoinsieme di A, formato dalle 𝑥 associate dalla R a qualche 𝑦 di B, si chiama dominio della relazione.

A sua volta l’insieme B si definisce codominio della relazione; in particolare il sottoinsieme di B, formato dalle 𝑦 associate dalla R a qualche 𝑥 di A, si chiama immagine di R.

Esempio

• Dominio: 𝐴, 𝐵, 𝐷, 𝐹

• Codominio: 1,2, 3, 4,5

• Immagine: 1, 2, 3, 5

A B C D E F

1 2 3 4 5

Relazioni: rappresentazione

𝑅 = 0,0 ; 0,15 ; 6,15 ; 12,15

Rappresentazione sagittale

Tabella a doppia entrata (rappresentazione

matriciale)

0 15

0 x x

6 x

12 x

18 24

Rappresentazione cartesiana

Caso particolare: A≡B

Esempio:

consideriamo l’insieme A={1, 2, 3, 4, 5} e la relazione R, definita da A verso A, nel modo seguente:

𝐺 = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (3,1)}

1 2 3 4 5

1 X X X

2 X X

3 X

4 5

Una possibile proposizione

esplicativa di R è : 𝑥𝑅𝑦 ↔ 𝑥 + 𝑦 ≤ 4

La rappresentazione sagittale può essere fatta nel seguente modo:

Si tratta di indicare con “pallini” gli elementi dell’insieme A e di collegare con un arco (o una freccia) orientato da a verso b ogni coppia tale che aRb.

Ogni elemento che è in relazione con se stesso, è collegato con se medesimo da un cappio.

Si ottiene così un insieme di “archi orientati” che, congiunto ai cappi, costituisce la rappresentazione grafica cercata: si chiama rappresentazione sagittale.

1)Considerati gli insiemi 𝐴 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝑁, 0 < 𝑥 ≤ 7} e

𝐵 = {𝑦|𝑦 ∈ 𝑁, 0 ≤ 𝑦 < 10}, trovare l’insieme delle coppie

individuate dalla relazione R: 𝑥 → 𝑦 = 2𝑥, definita da A verso B, e darne una rappresentazione matriciale, sagittale, cartesiana.

2) Considerato l’insieme 𝐴 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝑁, 0 ≤ 𝑥 ≤ 10}, trovare il grafico della relazione “𝑥 + 𝑦 è un numero primo”, definita da A in A, e darne una rappresentazione matriciale.

3) Nell’insieme 𝐴 = 𝑥 𝑥 ∈ 𝑁, 0 ≤ 𝑥 ≤ 7 sono definite le seguenti relazioni:

𝑅1: “𝑥 ∙ 𝑦 è 𝑝𝑎𝑟𝑖”; 𝑅2: “𝑥 ∙ 𝑦 è 𝑑𝑖𝑠𝑝𝑎𝑟𝑖”;

𝑅3: “𝑥 ∙ 𝑦 è 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒 𝑑𝑖 60”;

Dare di ognuna rappresentazione matriciale e cartesiana

Esercizi

4)Considerare l’insieme 𝐴 = {1, 2, 3, 4, 5} e le relazioni, definite da A in A, individuate dai seguenti sottoinsiemi:

𝐺1 = {(3,1), (4,2), (5,3)};

𝐺2 = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5)};

𝐺3 = {(2,1), (3,1), (4,1), (5,1), (3,2), (4,2), (5,2), (4,3), (5,3), (5,4)};

𝐺4 = {(1,1), (1,3), (1,5), (3,1), (3,3), (3,5), (5,1), (5,3), (5,5)};

𝐺5 = {(1,2), (1,4), (2,1), (2,3), (2,5), (3,2), (3,4), (4,1), (4,3), (4,5), (5,2), (5,4)}.

Provare ad enunciare, per ciascun insieme, una proposizione che definisca la relazione e darne una rappresentazione.

5) Considerato l’insieme D(12) = {x | x∈N, x è un divisore di 12}, trovare il grafico della relazione “è divisore”, definita da D(12) in D(12), e darne una rappresentazione matriciale ed una sagittale.

6)

a) Costruire la rappresentazione matriciale.

b) Che parentela c’è tra l’elemento e e l’elemento c?

Il grafo rappresenta la relazione «x è

padre di y»

Relazione inversa

Riprendiamo l’esempio Iniziale

• 𝐴 = 𝑥: 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑥 < 30

• 𝐵 = 𝑏: 𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜 𝑑𝑖 6

• 𝐶 = 𝑐: 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜 𝑑𝑖 15

Si consideri la relazione da B a C così definita:

𝑏 ∈ 𝐵 è in relazione con 𝑐 ∈ 𝐶 se e solo se 𝑏 ≤ 𝑐 𝑅 = 0,0 ; 0,15 ; 6,15 ; 12,15

Scambiando i termini dentro le coppie otteniamo la relazione inversa

𝑅⁻¹ = 0,0 ; 15, 0 ; 15, 6 ; 15,12 E’ la relazione da C a B così definita:

𝑐 ∈ 𝐶 è in relazione con 𝑏 ∈ 𝐵 se e solo se 𝑐 ≥ 𝑏

Esercizi

1) Determinare la relazione inversa della relazione definita nell’es. 1, slide 29

2)Di ognuna delle relazioni dell’es. 4, slide 30 determinare la relazione inversa, scrivendo l’insieme delle coppie e la proposizione che la definisce.

3) Cosa si può dire delle relazioni inverse delle relazioni definite nell’es.3, slide 29? Perché?

Il concetto di funzione

Data una relazione R dall’insieme A all’insieme B, se si verifica che ogni elemento di A ha uno e un solo corrispondente in B, allora tale relazione è una funzione.

Non è una funzione È una funzione

• L’insieme A è quindi il dominio della funzione 𝑓

• L’insieme B è il codominio di 𝑓

• Il sottoinsieme di B formato dagli 𝑦 associati dalla f a qualche 𝑥 di A, si chiama immagine di 𝑓.

N.B.: la relazione inversa di una funzione

non è, in generale, una funzione

Funzione iniettiva

Data una funzione 𝑓 da X in Y, se ogni elemento dell’immagine di 𝑓 è in corrispondenza con un solo elemento del dominio, allora la funzione si dice iniettiva.

Funzione suriettiva

Data una funzione 𝑓 da X in Y, se ogni elemento del codominio di 𝑓 è in corrispondenza con

almeno un elemento del dominio, allora la funzione si dice suriettiva.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

a.

b.

c.

Funzione biettiva

Una funzione che è contemporaneamente iniettiva e suriettiva si dice biettiva o

corrispondenza biunivoca; ad ogni elemento del primo insieme corrisponde uno ed un solo

elemento del secondo insieme e viceversa. Ne consegue che l’inversa di una funzione biettiva è ancora una funzione e sicuramente biettiva.

N.B.: La corrispondenza biunivoca è alla base dell’operazione del contare

Esercizi

1) Tra tutte le relazioni definite negli esercizi delle slide 29, 30, 31 individuare quali sono funzioni.

2) Si consideri la relazione 𝑅: 𝑁 𝑁 che fa corrispondere ad ogni 𝑛 ∈ 𝑁 il suo quadrato.

a)

b)

Relazioni di un insieme in sé stesso:

proprietà

Data una relazione R definita nell’insieme A, essa gode della:

• proprietà riflessiva

se ogni elemento di A è in relazione con se stesso

∀𝑥𝜖𝐴 𝑥𝑅𝑥

• proprietà antiriflessiva

se nessun elemento di A è in relazione con se stesso

∀𝑥𝜖𝐴 𝑥𝑅𝑥

• proprietà simmetrica

Se l’elemento x è in relazione con l’elemento y anche l’elemento y è in relazione con l’elemento x

∀𝑥, 𝑦𝜖𝐴 𝑥𝑅𝑦 → 𝑦𝑅𝑥

• Proprietà antisimmetrica

per ogni coppia tale che se 𝑥 è in relazione con 𝑦 e 𝑦 è in relazione con 𝑥, allora 𝑥 = 𝑦

∀𝑥, 𝑦𝜖𝐴 𝑥𝑅𝑦 𝑒 𝑦𝑅𝑥 → 𝑥 = 𝑦

• Proprietà transitiva

Dati tre elementi di A 𝑥, 𝑦, 𝑧 se 𝑥 è in relazione con 𝑦 e 𝑦 è in relazione con 𝑧, allora anche 𝑥 è in relazione con 𝑧

∀𝑥, 𝑦, 𝑧𝜖𝐴 𝑥𝑅𝑦 𝑒 𝑦𝑅𝑧 → 𝑥𝑅𝑧

Nota bene

Come stabilire se una relazione gode di una certa proprietà?

• Per dimostrare che una proprietà è vera, bisogna far vedere che è vera sempre.

• Per dimostrare che una proprietà è falsa, basta trovare un controesempio, cioè un esempio

per cui quella proprietà non vale

Esercizi

1) Stabilire di quali proprietà godono le seguenti relazioni:

a) nell’insieme dei cittadini italiani: ‘risiedere nella stessa provincia di’

b) Nell’insieme dei libri della biblioteca di Scienze della formazione:

B1)‘avere un numero di pagine uguale a ‘ B2) ‘avere un numero di pagine minore di’

B3) ‘avere un numero di pagine maggiore o uguale a’

2) Si considerino le seguenti relazioni date nell’insieme 𝐴 = 𝑥 𝑥 ∈ 𝑁, 0 ≤ 𝑥 ≤ 7

𝑅1: “𝑥 ∙ 𝑦 è 𝑝𝑎𝑟𝑖”; 𝑅2: “𝑥 ∙ 𝑦 è 𝑑𝑖𝑠𝑝𝑎𝑟𝑖”;

𝑅3: “𝑥 ∙ 𝑦 è 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒 𝑑𝑖 60”.

a) Di quali proprietà gode ognuna di esse?

b) Si può dire la stessa cosa se l’insieme su cui sono definite le relazioni è l’insieme dei numeri naturali?

Relazione di equivalenza

Se una relazione 𝑅 definita in un insieme A gode delle proprietà

• riflessiva

• simmetrica

• transitiva

allora 𝑅 è una relazione di equivalenza.

Esercizi

1)Quale o quali delle relazioni delle slide 43 e 44 sono relazioni di equivalenza?

2) Nell’insieme delle rette del piano si consideri la relazione di parallelismo così definita:

«Due rette sono parallele se non hanno punti comuni o se coincidono».

Verificare che tale relazione è di equivalenza.

3) Di quali proprietà gode la relazione di perpendicolarità tra rette del piano?

4) La relazione di congruenza tra figure piane è una relazione di equivalenza?

Se consideriamo tutte le rette del piano, la relazione di parallelismo ‘le organizza’ in sottoinsiemi di rette tutte parallele tra loro: ogni sottoinsieme individua una direzione del piano; ogni retta appartiene ad uno ed uno solo di questi sottoinsiemi.

Questo accade sempre: ogni relazione di equivalenza divide l’insieme su cui opera in sottoinsiemi ( classi di equivalenza) tali che a due a due sono disgiunti e ognuno di essi è non vuoto.

Si può allora parlare di un nuovo insieme (insieme quoziente) i cui elementi sono le classi.

Ad esempio, nel caso della relazione di parallelismo, l’insieme quoziente è l’insieme delle direzioni.

Nel caso della relazione: ‘risiedere nella stessa provincia di’ l’insieme quoziente è l’insieme delle provincie ( dal punto di vista degli abitanti)

Insieme quoziente

In sintesi

• è dato un insieme A e una relazione di equivalenza R su A.

• R divide A in classi di equivalenza; si ottiene cioè una partizione dell’insieme A, perché ogni elemento di A sta in una e una sola classe

• l’insieme di queste classi si chiama insieme quoziente di A rispetto ad R e si indica con A/R

Relazione d’ordine

Se una relazione 𝑅 definita in un insieme A gode delle proprietà

• antisimmetrica

• transitiva

allora 𝑅 è una relazione d’ordine.

Se 𝑅 è anche riflessiva, allora è di ordine largo;

Se è antiriflessiva, allora è di ordine stretto.

Nota bene

Proprietà antiriflessiva e proprietà antisimmetrica, considerate insieme, possono essere sostituite dalla:

proprietà asimmetrica: se 𝑥 è in relazione con 𝑦 allora 𝑦 non è in relazione con 𝑥

∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴 𝑥𝑅𝑦 → 𝑦𝑅𝑥

Come compare in alcuni testi, allora si può dire che:

una relazione è di ordine stretto se gode della proprietà asimmetrica e transitiva.

Esercizi

1)Quale o quali delle relazioni delle slide 43 e 44 sono relazioni d’ordine?

2)Si consideri la relazione di inclusione (⊆) tra insiemi; verificare che è una relazione d’ordine.

3) Nell’insieme dei numeri naturali si consideri la relazione ‘multiplo’; verificare che è una

relazione d’ordine.

Ordine parziale e totale

Sia R una relazione d’ordine nell’insieme A; se comunque presi due elementi 𝑥 e 𝑦 di A si può sempre stabilire o che 𝑥𝑅𝑦 o che 𝑦𝑅𝑥, allora R è una relazione d’ordine totale, altrimenti è una relazione d’ordine parziale.

Esercizio: quali delle relazione d’ordine fin qui individuate sono relazioni di ordine totale? E di ordine parziale?

Esercizi

1)Verificare che, nell’insieme dei numeri naturali

• ≤ è una relazione d’ordine largo totale

• < è una relazione d’ordine stretto totale

2) Le relazioni degli es. 2 e 3 della slide 52 sono di ordine totale o parziale?