α ( t )=( t sin t,t,t cos t ) ,t ∈ [0 , 2 π ]Risultato:Calcoli:1 γ ⊂ R diparametrizzazione Esercizio1 (7punti)Sicalcolino,puntoperpunto,versoretangente,versorenormaleecurvaturadell’arcodicurvaregolare 23giugno2014 ComplementidiAnalisiMatematica COGNOMENOM

COGNOME NOME Matr.

Complementi di Analisi Matematica

23 giugno 2014

Esercizio 1 (7 punti) Si calcolino, punto per punto, versore tangente, versore normale e curvatura dell’arco di curva regolare γ ⊂ R³ di parametrizzazione

α(t) = (t sin t, t, t cos t), t∈ [0, 2π]

Risultato:

Calcoli:

1

Esercizio 2 (8 punti)

Si calcolino le coordinate (x^G, yG, zG) del baricentro di un cono C = {(x, y, z) ∈ R³ : 0 ≤ z ≤ 1 −√

x²+ y²} di densit`a ρ(x, y, z) = z²

Risultato:

Calcoli:

2

Esercizio 3 (8 punti)

Si calcoli l’area della superficie Σ ⊂ R³ grafico della funzione f : D ⊂ R² → R f(x, y) = x²− 2x + y²+ 2y

dove D = {(x, y) ∈ R² : (x − 1)²+ (y + 1)² ≤ 2}.

Risultato:

Calcoli:

3

Esercizio 4 (7 punti)

Da un alfabeto composto da n lettere viene formata una parola di lunghezza k scegliendo ogni lettera a caso e in maniera indipendente l’una dall’altra. Si fissi un i, con 1 ≤ i ≤ n.

Qual `e la probabilit`a che la i-esima lettera venga usata almeno una volta?

Qual `e la probabilit`a che la i-esima lettera venga usata una sola volta?

Risultato:

Calcoli:

4