Esercizio1.
- Osserviamochea
n (1)=n
2
arctan 3
n 2
, pertanto,ricordandochearctan 3
n 2
3
n 2
,siottiene
lim
n!+1 n
2
arctan 3
n 2
= lim
n!+1 3n
2
n 2
=3:
- Per 2IR ,sihainvece
a
n
( )=n 2
arctan 3
n +1
8
>
>
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
>
>
: 3n
2
n +1
= 3
n 1
se > 1 ! (
+1 se >1,
3 se =1,
0 se 1< <1,
arctan3
n 2
se = 1 ! 0,
2n 2j j
se < 1 ! 0.
Concludendo,a
n
( )!0,per <1;a
n
(1)!3ea
n
( )!+1,per >1.
Esercizio2.
- Poiche
lim
x!0 +
f(x)=2=f(0) e lim
x!0
f(x)= lim
x!0 e
2x
1
2x
2=2
siottienesubitochef econtinuainx=0.
- Ovviamente, per x 6= 0 e x 6=1, lafunzione proposta e anche derivabile, in quanto composizione di
funzioniderivabili,edinoltresi ha
f 0
(x)= 8
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
: x
p
x 2
1
sex>1,
x
p
1 x 2
se0<x<1,
2xe 2x
e 2x
+1
x 2
sex<0 .
In ne
lim
x!1 f
0
(x)= 1 e lim
x!1 +
f 0
(x)=+1
pertanto x=1epuntodicuspide, mentre
lim
x!0 f
0
(x)= lim
x!0
2x(1+2x) (1+2x+2x 2
)+1
x 2
=2 e lim
x!0 +
f 0
(x)=0
pertanto x=0epuntoangoloso.
Esercizio3.
- Poiche
z 3
+2z 2
+5z=z(z 2
+2z+5)=0 () z=0 oppure z 2
+2z+5=0
() z=0 e z= 1+ p
1 5= 12i
siottienechel'equazionepropostahatre soluzioni: z=0; z= 1 2i; z= 1+2i.
- Perrisolverelasecondaequazione,poniamoz=a+ib,dacui
e 1
z+1
=1 () exp
a+1
2 2
exp
ib
2 2
=1:
8
>
<
>
: e
a+1
(a+1) 2
+b 2
=1
b
(a+1) 2
+b 2
=2k k2Z
() 8
<
:
a+1=0
1
b
=2k k2Z
() 8
<
: a= 1
b= 1
2k
k2Znf0g:
Lesoluzionicercatesonoun'in nitanumerabileesonodatedaz= 1 i
2k
,conk2Znf0g.
Domanda1.
- Perlade nizionedi successionemonotonastrettamente crescente,vedereil librodi testo. Un esempio
disuccessionemonotonastrettamentecrescenteedato a
n
=n,n2IN.
- Perl'enunciatodelteoremadiregolaritadellesuccessionimonotone,vedereillibroditesto.
Domanda2.
- Perl'enunciatodelcriteriodelrapporto,vedereil libroditesto.
- Consideriamoledueserie
+1
X
n=1 1
n e
+1
X
n=1 1
n 2
:
Inentrambi icasisihache
lim
n!+1 a
n+1
a
n
=1;
