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1 + 2 = 3 è divisibile per 3 => la proprietà è Vera per n = 1

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Academic year: 2021

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Avvertenza: Le domande e a volte le risposte, sono tratte dal corpo del messaggio delle mails in cui non si ha a dispo- sizione un editor matematico e quindi presentano una simbologia non corretta, ma comprensibile per questo scopo.

[…] ho un problema a concludere una dimostrazione per induzione...più precisamente la seconda dimostrazione del foglio di esercizi che ha pubblicato Lei on line.

La dimostrazione è la seguente: Per ogni n >= 1 (n^3) + 2n è divisibile per 3 Ho proceduto in questo modo:

Passo base: Provo con n = 1

1 + 2 = 3 è divisibile per 3 => la proprietà è Vera per n = 1

Passo induttivo: Se la proprietà è vera per un generico n (n >= 1) allora è vera anche per n + 1 Suppongo che la proprietà valga per n, n>=1: n^3 + 2n è divisibile per 3 (ipotesi induttiva) Mostriamo che vale anche per n + 1 (tesi)

Sostituisco n + 1 al posto di n e ottengo:

(n+1)^3 + 2(n+1) = (n^3 + 3n^2 + 3n + 1) + 2n + 2 = (n^3 + 2n) + 3n(n+1) + 3

Ora vengono i problemi perchè non so come terminare per dire che (n+1)^3 + 2(n+1) è multiplo di 3...

noi sappiamo che (n^3 + 2n) per ipotesi induttiva è multiplo di 3 però per 3n(n+1)+3 non riesco a capire come fare a dire che anche lui è multiplo di 3. Basta solo dire che 3n(n+1)+3 e' un multiplo in quanto si vede che lo è (c'è tutto moltiplicato per 3) oppure questa non è la strada giusta?

[…] mi è venuto un dubbio risolvendo l'esercizio n. 9

Arrivato alla fine mi trovo con l'uguaglianza (n+1)! [1 + (n+1) ] - 1 = [ (n+2)! ] - 1

Secondo le soluzioni è corretta questa uguaglianza ma non riesco a capire, risolvendo i calcoli, come riesco a passare dal primo al secondo membro.

C'è' per caso qualche regola per cui il primo membro e in particolare questa parte:

(n+1)! [1 + (n+1) ] si trasforma in [ (n+2)! ] ?

1. DOMANDASULLINDUZIONE :NON SO CONCLUDEREL’ESERCIZION.2

RISPOSTA

RASSICURANTE

Sì va benone ! per essere più convincenti raccogliamo il 3 : 3n(n+1)+3 = 3 [n(n+1)+1]

fatto ! ora si vede perfettamente che abbiamo a che fare con un multiplo di 3 (come lei ha osservato).

2. DOMANDASULLINDUZIONE :UN DUBBIO SUL FATTORIALE NELLESERCIZION.9

RISPOSTA Sì ! ancora un passetto e troviamo:

(n+1)! [1 + (n+1) ] = [(n+1)!] [n+2]

e ora [(n+1)!] [n+2] = [ (n+2)! ] per la definizione stessa di fattoriale.

Infatti :

(n+2)! è il seguente prodotto (n+2)(n+1)(n)(n-1)... (2)(1) (n+1)! è il seguente prodotto (n+1)(n)(n-1)... (2)(1) quindi

(n+2)! = (n+2) (n+1)!

(2)

2 […] A dire la verità ho anche qualche problema a provare con l'induzione affermazioni del tipo:

13 divide 4^(2n+1) + 3^(n+2) per ogni n>o=(maggiore o uguale) 0;

8^n + 6 è divisibile per 3 per ogni n > 0.

3. DOMANDASULLINDUZIONE :AFFERMAZIONI DEL TIPO 13DIVIDE42N+1 + 3N+2 PER OGNI N≥ 0

RISPOSTA Nella mia soluzione della seconda affermazione ho evidenziato in rosso un possibile artificio che occorre usare per poter applicare l'ipotesi induttiva.

Anche l'altro esercizio ( di cui le allego la risposta tratta dalle dispense di G.

Niesi) richiede un espediente di calcolo e quindi entrambi non sono facili.

L'essenziale è che lei si sia impadronito della tecnica di dimostrazione per induzione, e ciò lo può verificare risolvendo per primi gli esercizi del mio foglio sull'induzione, che trova sulla mia homepage.

8

n

+ 6 è divisibile per 14 per ogni n > 0.

Base induzione: per n=1 la proprietà diventa '8+6 è divisibile per 14' , che è vera.

Passo induzione:

Ipotesi : 8

n

+ 6 è divisibile per 14 per ogni n > 0 Tesi: 8

n+1

+ 6 è divisibile per 14 per ogni n > 0

Partiamo dal numero della tesi 8

n+1

+ 6 , dobbiamo fare in modo di 'manipolarlo' in modo da far intervenire il numero 8

n

+ 6 dell'ipotesi. Un modo è questo:

Usiamo intanto le proprietà delle potenze : 8

n+1

+ 6 = 8⋅8

n

+ 6

E poi aggiungendo e togliendo ... possiamo scrivere 8⋅8

n

+ 6 = 8 (8

n

+6) - 8⋅6 +6.

A questo punto si può usare l'ipotesi induttiva:

8 (8

n

+6) - 8⋅6 +6 = 8(14k)- 42 con k ≥ 1 = 8(14k)- (14)(3)

= 14( 8k -3) <--- questo è un multiplo di 14

( 8k-3 è un numero naturale: k≥1 ⇒ 8k-3≥5) .

OK !

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