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Avvertenza: Le domande e a volte le risposte, sono tratte dal corpo del messaggio delle mails in cui non si ha a dispo- sizione un editor matematico e quindi presentano una simbologia non corretta, ma comprensibile per questo scopo.
[…] ho un problema a concludere una dimostrazione per induzione...più precisamente la seconda dimostrazione del foglio di esercizi che ha pubblicato Lei on line.
La dimostrazione è la seguente: Per ogni n >= 1 (n^3) + 2n è divisibile per 3 Ho proceduto in questo modo:
Passo base: Provo con n = 1
1 + 2 = 3 è divisibile per 3 => la proprietà è Vera per n = 1
Passo induttivo: Se la proprietà è vera per un generico n (n >= 1) allora è vera anche per n + 1 Suppongo che la proprietà valga per n, n>=1: n^3 + 2n è divisibile per 3 (ipotesi induttiva) Mostriamo che vale anche per n + 1 (tesi)
Sostituisco n + 1 al posto di n e ottengo:
(n+1)^3 + 2(n+1) = (n^3 + 3n^2 + 3n + 1) + 2n + 2 = (n^3 + 2n) + 3n(n+1) + 3
Ora vengono i problemi perchè non so come terminare per dire che (n+1)^3 + 2(n+1) è multiplo di 3...
noi sappiamo che (n^3 + 2n) per ipotesi induttiva è multiplo di 3 però per 3n(n+1)+3 non riesco a capire come fare a dire che anche lui è multiplo di 3. Basta solo dire che 3n(n+1)+3 e' un multiplo in quanto si vede che lo è (c'è tutto moltiplicato per 3) oppure questa non è la strada giusta?
[…] mi è venuto un dubbio risolvendo l'esercizio n. 9
Arrivato alla fine mi trovo con l'uguaglianza (n+1)! [1 + (n+1) ] - 1 = [ (n+2)! ] - 1
Secondo le soluzioni è corretta questa uguaglianza ma non riesco a capire, risolvendo i calcoli, come riesco a passare dal primo al secondo membro.
C'è' per caso qualche regola per cui il primo membro e in particolare questa parte:
(n+1)! [1 + (n+1) ] si trasforma in [ (n+2)! ] ?
1. DOMANDASULL’INDUZIONE :NON SO CONCLUDEREL’ESERCIZION.2
RISPOSTA
RASSICURANTE
Sì va benone ! per essere più convincenti raccogliamo il 3 : 3n(n+1)+3 = 3 [n(n+1)+1]
fatto ! ora si vede perfettamente che abbiamo a che fare con un multiplo di 3 (come lei ha osservato).
2. DOMANDASULL’INDUZIONE :UN DUBBIO SUL FATTORIALE NELL’ESERCIZION.9
RISPOSTA Sì ! ancora un passetto e troviamo:
(n+1)! [1 + (n+1) ] = [(n+1)!] [n+2]
e ora [(n+1)!] [n+2] = [ (n+2)! ] per la definizione stessa di fattoriale.
Infatti :
(n+2)! è il seguente prodotto (n+2)(n+1)(n)(n-1)... (2)(1) (n+1)! è il seguente prodotto (n+1)(n)(n-1)... (2)(1) quindi
(n+2)! = (n+2) (n+1)!
2 […] A dire la verità ho anche qualche problema a provare con l'induzione affermazioni del tipo:
13 divide 4^(2n+1) + 3^(n+2) per ogni n>o=(maggiore o uguale) 0;
8^n + 6 è divisibile per 3 per ogni n > 0.
3. DOMANDASULL’INDUZIONE :AFFERMAZIONI DEL TIPO 13DIVIDE42N+1 + 3N+2 PER OGNI N≥ 0
RISPOSTA Nella mia soluzione della seconda affermazione ho evidenziato in rosso un possibile artificio che occorre usare per poter applicare l'ipotesi induttiva.
Anche l'altro esercizio ( di cui le allego la risposta tratta dalle dispense di G.
Niesi) richiede un espediente di calcolo e quindi entrambi non sono facili.
L'essenziale è che lei si sia impadronito della tecnica di dimostrazione per induzione, e ciò lo può verificare risolvendo per primi gli esercizi del mio foglio sull'induzione, che trova sulla mia homepage.