1− 3 n n/2 b) lim n→∞ n2+ 3n− 7 n2+ 2n + 2 5n c) lim n→∞ n2+ 3n + en 2n d) lim n→∞ n23n πn e) lim n→∞ n 3n4+ 5 f ) lim n→∞ √4 n log n

SUCCESSIONI Esercizi proposti 1. Calcolare i seguenti limiti:

a) lim

n→∞

 1− 3

n

n/2

b) lim

n→∞

n²+ 3n− 7 n²+ 2n + 2

5n

c) lim

n→∞

n²+ 3n + eⁿ

2ⁿ d) lim

n→∞

n²3ⁿ πⁿ e) lim

n→∞

n

3n⁴+ 5 f ) lim

n→∞

√4

n log n +√

n(−1)ⁿ

√3

n² g) lim

n→∞n log n

n + 1 h) lim

n→∞



log(n²)− (log n)² i) lim

n→∞

n + sin n

log n + cos n ) lim

n→∞

√n + 1

n sin(n!) m) lim

n→∞

√n n

− 3ⁿ

n) lim

n→∞

nⁿ n!. 2. Verificare che per n→ ∞

a) log(n³+ sin n)∼ log(n³+ n²) b) (2n + 1)ⁿ ∼√

e 2ⁿnⁿ.

3. Calcolare la parte principale per n→ ∞ di

a) n⁴+ 3

n − n⁴+ 3n

n− 2 b) n√

n + 1 + sin n 3n^2/3+ log n . 4. Dire se esiste il limite per n→ ∞ della successione aⁿ= (−1)ⁿ+ _n¹. 5. Sia per n≥ 2,

a_n= (1 + sin α)ⁿ (1 + ^{sin α}_n )ⁿ. Calcolare lim_n→∞a_n al variare di α nell’intervallo [0, 2π).

Soluzioni

1. a) e^−3/2; b) e⁵; c) +∞; d) 0; e) 1; f) 0; g) −1; h) −∞; i) +∞; l) 0; m) +∞; n) +∞.

2. a) Si ha

log(n³+ sin n)

log(n³+ n²) = log n³

1 + ^{sin n}_n3

log

n³

1 + _n¹ = log(n³) + log

1 + ^{sin n}_n3

log(n³) + log

1 + _n¹ , da cui raccogliendo sopra e sotto log(n³) e passando al limite

nlim→∞

log(n³+ sin n)

log(n³+ n²) = lim

n→∞

1 + _log(n¹ 3)log

1 + ^{sin n}_n3

1 + _log(n¹ 3)log

1 + _n¹ = 1.

b)

(2n + 1)ⁿ 2ⁿnⁿ =

2n + 1 2n

n

=

 1 + 1

2n

n

→ e^1/2 =√ e.

3. a) −2n²; b) ^n5/6₃ .

4. Il limite proposto non esiste. Infatti la successione a_2n tende a 1, mentre a_2n+1 tende a −1.

5. Si ha

nlim→∞a_n =







+∞ se α ∈ (0, π) 0 se α ∈ (π, 2π) 1 se α = 0, π.