1
Avvertenza: Le domande e a volte le risposte, sono tratte dal corpo del messaggio delle mails in cui non si ha a dispo- sizione un editor matematico e quindi presentano una simbologia non corretta, ma comprensibile per questo scopo.
[…] per l’esercizio che chiede di provare per induzione che per n≥1 si ha 1⋅2⋅3+2⋅3⋅4+3⋅4⋅5+…+n(n+1)(n+2) =
4
3) 2)(n 1)(n
n(n + + +
ho fatto così la base : n = 1
1 ( 1+1 )( 1+2 ) = [1 ( 1+1 )( 1+2 )( 1+3 )] / 4 ( frazione) => 6 = 24 / 4
=> 6 = 6
Poi per il Passo so che per ipotesi : 1⋅2⋅3+2⋅3⋅4+3⋅4⋅5+…+n(n+1)(n+2) =
4
3) 2)(n 1)(n
n(n + + +
e devo provare che 1⋅2⋅3+2⋅3⋅4+3⋅4⋅5+…+(n+1)(n+2)(n+3) =
4
4) 3)(n 2)(n 1)(n
(n + + + +
ma non mi vengono i calcoli ! […]
1. D
OMANDAS
ULL’
INDUZIONE: L’
ESERCIZIOD’
ESAME DIG
ENNAIO2008
R
ISPOSTASì la base dell’induzione va bene e anche l’impostazione del Passo ! Ed è quasi finito l’esercizio, basta non moltiplicare , ma fare il raccoglimento a fattor comune !
1⋅2⋅3+2⋅3⋅4+3⋅4⋅5+…+n(n+1)(n+2)+(n+1)(n+2)(n+3)
= ( per l’ipotesi induttiva )
4
3) 2)(n 1)(n
n(n + + + +(n+1)(n+2)(n+3)
= [riducendo allo stesso denominatore e raccogliendo al numeratore la quantità (n+1)(n+2)(n+3) ]
4
4) 3)(n 2)(n 1)(n
(n + + + + fatto !
2
[…] ho un problema a concludere una dimostrazione per induzione...più precisamente la seconda dimostrazione del foglio … che ha pubblicato Lei on line:
per ogni n≥1 il numero n
3+2n è divisibile per 3.
La dimostrazione è la seguente: Per ogni n >= 1 (n^3) + 2n è divisibile per 3 Ho proceduto in questo modo:
Passo base: Provo con n = 1
1 + 2 = 3 è divisibile per 3 => la proprietà è Vera per n = 1
Passo induttivo: Se la proprietà è vera per un generico n (n >= 1) allora è vera anche per n + 1 Suppongo che la proprietà valga per n, n>=1: n^3 + 2n è divisibile per 3 (ipotesi induttiva) Mostriamo che vale anche per n + 1 (tesi)
Sostituisco n + 1 al posto di n e ottengo:
(n+1)^3 + 2(n+1) = (n^3 + 3n^2 + 3n + 1) + 2n + 2 = (n^3 + 2n) + 3n(n+1) + 3
Ora vengono i problemi perchè non so come terminare per dire che (n+1)^3 + 2(n+1) è multiplo di 3...
noi sappiamo che (n^3 + 2n) per ipotesi induttiva è multiplo di 3 però per 3n(n+1)+3 non riesco a capire come fare a dire che anche lui è multiplo di 3. Basta solo dire che 3n(n+1)+3 e' un multiplo in quanto si vede che lo è (c'è tutto moltiplicato per 3) oppure questa non è la strada giusta?
[…] mi è venuto un dubbio risolvendo l'esercizio …
Arrivato alla fine mi trovo con l'uguaglianza (n+1)! [1 + (n+1) ] - 1 = [ (n+2)! ] - 1
Secondo le soluzioni è corretta questa uguaglianza ma non riesco a capire, risolvendo i calcoli, come riesco a passare dal primo al secondo membro.
C'è' per caso qualche regola per cui il primo membro e in particolare questa parte:
(n+1)! [1 + (n+1) ] si trasforma in [ (n+2)! ] ?
2. D
OMANDAS
ULL’
INDUZIONE:
NON SO CONCLUDEREL’
ESERCIZIO: n3+2n è divisibile per 3
R
ISPOSTARASSICURANTE
Sì va benone ! per essere più convincenti raccogliamo il 3 : 3n(n+1)+3 = 3 [n(n+1)+1]
fatto ! ora si vede perfettamente che abbiamo a che fare con un multiplo di 3 (come lei ha osservato).
3. D
OMANDAS
ULL’
INDUZIONE:
UN DUBBIO SUL FATTORIALE
R
ISPOSTASì ! ancora un passetto e troviamo:
(n+1)! [1 + (n+1) ] = [(n+1)!] [n+2]
e ora [(n+1)!] [n+2] = [ (n+2)! ] per la definizione stessa di fattoriale.
Infatti :
(n+2)! è il seguente prodotto (n+2)(n+1)(n)(n-1)... (2)(1) (n+1)! è il seguente prodotto (n+1)(n)(n-1)... (2)(1) quindi
(n+2)! = (n+2) (n+1)!
R
ISPOSTA3 […] A dire la verità ho anche qualche problema a provare con l'induzione affermazioni del tipo:
13 divide 4^(2n+1) + 3^(n+2) per ogni n>o=(maggiore o uguale) 0;
8^n + 6 è divisibile per 3 per ogni n > 0.
4. D
OMANDAS
ULL’
INDUZIONE:
AFFERMAZIONI DEL TIPO13
DIVIDE42
N+1 + 3
N+2
PER OGNI N≥ 0