1 Insiemi di generatori

(1)

Insiemi di generatori, dipendenza lineare e basi

July 4, 2015

1 Insiemi di generatori

Nel seguito V `e uno spazio vettoriale sul campo K.

Definizione. Una combinazione lineare di vettori v1, v2, . . . , vk in V `e un vettore in V della forma

k

X

j=1

c_jv_j = c₁v₁+ c₂v₂+ . . . + c_kv_k

con c₁, c₂, . . . , c_k scalari in K. La combinazione lineare si dice triviale se tutti i coefficienti c₁, c₂, . . . , c_k sono nulli, c₁= c₂ = . . . = c_k = 0, altrimenti, se non tutti i coefficienti sono nulli, ovvero se esiste almeno un indice j = 1, . . . , k, con c_j 6= 0, la combinazione lineare si dice non triviale.

Sia S un sottoinsieme non vuoto di V (finito o infinito). Un vettore v in V si dice una combinazione lineare di vettori di S se v è combinazione lineare di vettori v1, v2, . . . , vk tutti ap- partenenti ad S. Il vettore nullo 0 è combinazione lineare di vettori di un qualunque sottoinsieme non vuoto di V (0 è la somma della combinazione lineare triviale di un qualunque insieme finito di vettori). Denoteremo con hSi l’insieme di tutte le combinazioni lineari di vettori di S. Se S = {v1, v2, . . . , vk} porremo hv1, v2, . . . , vki al posto di h{v1, v2, . . . , vk}i. Ad esempio

h0i = {0}, hvi = {cv | c ∈ K}, hv, wi = {av + bw | a, b ∈ K}.

Se v 6= 0 è un vettore geometrico nello spazio, hvi è l’insieme di tutti i multipli (positivi o negativi) del vettore v ed individua la retta che dà la direzione del vettore. Se v, w sono due vettori non paralleli nello spazio, la regola del parallelogramma fa vedere che le combinazioni lineari dei due vettori individuano il piano che contiene i due vettori. (Ad esempio, se v = (1, 0, 0), w = (0, 1, 0), allora hv, wi = {(x, y, 0) | x, y ∈ R} `e il piano xy.)

Per l’insieme vuoto poniamo h∅i = {0}.

Proposizione. Sia S un sottoinsieme dello spazio vettoriale V . L’insieme hSi formato dalle combinazioni lineari di vettori di S `e un sottospazio di V . Se W `e un sottospazio di V contenente S, allora W contiene hSi.

dim. Se S = ∅, hSi = 0 che `e un sottospazio. Supponiamo S 6= ∅. Verifichiamo che hSi soddisfa le tre condizioni per essere un sottospazio.

1. 0 ∈ hSi perch´e, se S 6= ∅, esiste v ∈ S e da 0 = 0v segue che 0 `e combinazione lineare di vettori di S.

2. Se v, w sono vettori in hSi, allora v = a1v1+ . . . + apvp, w = b1w1+ . . . + bqwq con i vi, wj in S e v + w = a1v1+ . . . + apvp+ b1w1+ . . . + bqwq `e ancora una combinazione lineare di vettori di S e quindi v + w ∈ hSi .

3. Se v = a1v1+ . . . + apvp∈ hSi e c `e uno scalare, cv = c(a1v1+ . . . + apvp) = ca1v1+ . . . + capvp)

`e una combinazione lineare di vettori in S e quindi cv ∈ hSi.

Per dimostrare il secondo asserto, osserviamo che se W contiene S, ogni combinazione lineare di vettori di S è anche una combinazione lineare di elementi di W . Ma se W è un sottospazio di V , ogni combinazione lineare di elementi di W è un elemento di W : se w1, . . . , wp ∈ W e c1, . . . , cp∈ K, allora c1w1, . . . , cpwpsono vettori in W (per la terza proprietà che caratterizza un sottospazio) e quindi anche la loro somma c₁w₁+ . . . + c_pw_p è un vettore in W (per la seconda

(2)

proprietà: sapendo che la somma di due vettori di W è un vettore di W si ricava che la somma di un numero qualunque di vettori di W è un vettore di W , ad esempio se ho tre vettori x₁, x₂, x₃, allora x₁+ x₂+ x₃= (x₁+ x₂) + x₃ma x₁+ x₂sta in W e quindi sommando x₃si ottiene ancora un vettore di W ).

Definizione. Diremo che S `e un insieme di generatori per V se hSi = V , ovvero se ogni vettore in V `e combinazione lineare di vettori in S.

Esempi 1. Consideriamo V = Rⁿ. Siano v1, v2, . . . , vk ∈ Rⁿ (in colonna). Sia A = v₁ 2 · · · v_k la matrice n × k che ha per colonne i vettori v1, v2, . . . , vk. Allora una combinazione lineare dei vettori v1, v2, . . . , vk si pu`o scrivere

c1v1+ c2v2+ . . . + ckvk = Ac, c =





 c1

c2

... ck







Segue che {v1, v2, . . . , vk} `e un insieme di generatori di Rⁿ se e solo se il sistema Ax = b ha una soluzione qualunque sia b ∈ Rⁿ. Alla fine di questo capitolo avremo tutti gli strumenti per dare una risposta completa a questo problema. Per il momento osserviamo che se k = n e A `e una matrice invertibile, allora il sistema ha sempre la soluzione x = A⁻¹b.

Prendiamo S = {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)}. La matrice A =





1 1 0 1 0 1 0 1 1



 è invertibile (lo si può vedere riducendo a scala per righe la matrice e vedere che ha rango 3 oppure calcolare det A e vedere che è 6= 0). Quindi S `e un insieme di generatori di R³.

2. Consideriamo un’altra situazione. Consideriamo i polinomi x²+3x−2, 2x²+5x−3 e −x²−4x+4 in P2(R). Formano un insieme di generatori di P2(R)? Dato un qualunque polinomio ax²+ bx + c ∈ P2(R) `e possibile scriverlo come combinazione lineare dei polinomi dati?

c1(x²+ 3x − 2) + c2(2x²+ 5x − 3) + c3(−x²− 4x + 4) =

(c1+ 2c2− 3c3)x²+ (3c1+ 5c2− 4c3)x + (−2c1− 3c2+ 4c3) = ax²+ bx + c Quindi dobbiamo risolvere il seguente sistema nelle incognite c₁, c₂, c₃







c1+ 2c2− 3c3= a 3c1+ 5c2− 4c3= b

−2c1− 3c2+ 4c3= c

per ogni assegnata terna a, b, c. La matrice dei coefficienti del sistema





1 2 −3

3 5 −4

−2 −3 4





`e invertibile e quindi trovo una soluzione qualunque sia il polinomio ax²+ bx + c. Segue che l’insieme formato con i tre polinomi genera P₂(R).

3. Vediamo un esempio con le matrici in M₂(R).

S =1 1 1 0

,1 1

0 1

,1 0

1 1

,0 1

1 1

Data la matricea11 a12

a21 a22

cerchiamo gli scalari c1, c2, c3, c4 tali che

c1

1 1 1 0

+ c2

1 1 0 1

+ c3

1 0 1 1

+ c4

0 1 1 1

=a11 a12

a21 a22

Questa equazione si trasforma nel sistema











c1+ c2+ c3= a11

c1+ c2+ c4= a12

c1+ c3+ c4= a12

c2+ c3+ c4= a22

(3)

la cui matrice dei coefficienti `e







1 1 1 0

1 1 0 1

1 0 1 1

0 1 1 1







ed `e invertibile. Segue come nei casi precedenti che S genera M₂(R).

2 Dipendenza lineare

Definizione. Un sottoinsieme S di uno spazio vettoriale V si dice linearmente indipendente se per ogni sequenza {v₁, v₂, . . . , v_p} di vettori distinti di S l’unica combinazione lineare nulla dei vettori v₁, v₂, . . . , v_p`e quella triviale: se c₁v₁+c₂v₂+. . .+c_pv_p= 0, allora c₁= c₂= . . . = c_p = 0.

Definizione. Un sottoinsieme S di V si dice linearmente dipendente se S non `e linearmente indipendente (che vuol dire che esistono in S sequenze di vettori distinti {v₁, v₂, . . . , v_p} una cui combinazione lineare non triviale `e nulla: esistono scalari c₁, c₂, . . . , c_p non tutti nulli tali che c1v1+ c2v2+ . . . + cpvp= 0). ¹

Definizione. Sia S un sottoinsieme di V . Diremo che il vettore v dipende linearmente da S se v `e combinazione lineare di vettori in S, ovvero se v appartiene al sottospazio hV i.

Se S ⊂ V `e linearmente indipendente, ogni vettore v in hSi si pu`o rappresentare in un solo modo come combinazione lineare di vettori di S. Infatti, supponiamo di avere due combinazioni che rappresentano v

v =

m

X

j=1

a_jv_j+

p

X

h=1

c_hu_h=

m

X

j=1

b_jv_j+

q

X

k=1

d_kw_k

dove i v_j, u_h e w_k sono tutti vettori in S e dove si sono messi in evidenza i vettori comuni alle due combinazioni. Segue che

0 = v − v =



 X

j

a_jv_j+X

h

c_hu_h



−



 X

j

b_jv_j+X

k

d_kw_k



=

X

j

(aj− bj)vj+X

h

chuh+X

k

(−dk)wk.

Poich´e S `e linearmente indipendente, non esistono combinazioni lineari non triviali di vettori di S e quindi aj− bj = 0, j = 1, . . . m, ch = 0, h = i, . . . , p, dk = 0, k = 1, . . . , q da cui segue appunto che aj= bj e che le due rappresentazioni devono coincidere.

Esempi 1. Se l’insieme S contiene il vettore nullo, allora S `e linearmente dipendente. Infatti, c0 = 0, per qualunque c 6= 0, `e una combinazione lineare non triviale nulla di vettori di S.

2. Se S = {v} contiene un solo vettore, S `e linearmente indipendente se e solo se v `e non nullo.

Infatti, se v = 0, allora S `e linearmente dipendente per quanto visto qui sopra, mentre se v 6= 0, da cv = 0 segue che c = 0 e quindi S `e linearmente indipendente (le combinazioni lineari di vettori in S = {v} sono le espressioni cv con c 6= 0).

3. Due vettori non nulli v, w in V si dicono proporzionali se esiste uno scalare c tale che v = cw (nel qual caso c 6= 0 e w = c⁻¹v e quindi la relazione di proporzionalità è simmetrica). Se S = {v, w} è un insieme formato da due vettori non nulli, S è linearmente dipendente se e solo se i vettori v e w sono proporzionali. Infatti, se v = cw, c 6= 0, v, w 6= 0, allora v − cw = 0 è una combinazione lineare non triviale dei vettori in S e quindi S è linearmente dipendente. Viceversa, se av + bw = 0 è una combinazione lineare non triviale di v e w (non nulli), allora gli scalari a e b non sono entrambi nulli e quindi entrambi non nulli (se, ad esempio, fosse a 6= 0 e b = 0, allora si avrebbe av = 0 e quindi, dividendo per a, v = 0, contro l’ipotesi che v sia non nullo). Da av + bw = 0 segue allora v = −^b_aw. Poiché −b/a 6= 0, i vettori v e w sono proporzionali.

4. Consideriamo V = Rⁿ. Siano v₁, v₂, . . . , v_k ∈ Rⁿ (in colonna). Sia A = v₁ 2 · · · v_k

1Per dire che l’insieme S ⊂ V `e indipendente (risp. dipendente) diremo anche che i vettori di S sono linearmente indipendenti (risp. dipendenti).

(4)

la matrice n × k che ha per colonne i vettori v1, v2, . . . , vk. Allora una combinazione lineare dei vettori v₁, v₂, . . . , v_k si pu`o scrivere

c₁v₁+ c₂v₂+ . . . + c_kv_k = Ac, c =





 c₁ c₂ ... ck







Segue che S = {v1, v2, . . . , vk} è un insieme linearmente indipendente se e solo se il sistema lineare omogeneo Ax = 0 ha la sola soluzione triviale. Dal Teorema di Rouché-Capelli segue che, se k > n, l’insieme S è linearmente dipendente perché in tal caso il sistema ha più incognite che equazioni.

Invece se k ≤ n il sistema ha un’unica soluzione e quindi S `e linearmente indipendente se e solo se rango A = k. In particolare se k = n, S `e linearmente indipendente se e solo se rango A = n, se e solo se det A 6= 0.

Il lettore avr`a osservato, confrontando con gli esempi della sezione precedente, come sia pi`u semplice controllare che un insieme sia linearmente dipendente o indipendente piuttosto che stabilire che sia un insieme di generatori.

5. Prendiamo V = R⁴ ed S = {(1, 0, 0, −1), (0, 1, 0, −1), (0, 0, 1, −1), (0, 0, 0, 1)}. La matrice for- mata dai vettori messi in colonna `e

A =







1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

−1 −1 −1 1







che `e triangolare inferiore ed ha det A = 1. Segue che S `e linearmente indipendente.

6. Ancora V = R⁴, con S = {v₁= (1, 3, −4, 2), v₌(2, 2, −4, 0), v₃= (1, −3, 2, −4), v₄= (−1, 0, 1, 0)}

A =







1 2 1 −1

3 2 −3 0

−4 −4 2 1

2 0 −4 0







∼







1 2 1 −1 0 4 6 −3

0 0 0 1

0 0 0 0





 .

Segue che A ha rango 3 e quindi S `e linearmente dipendente. Retro-sostiituendo si trova una soluzione (tra le infinite): x4 = 0, 2x2+ 3x3 = 0 e posso prendere x3 = 2, x2 = −3 e infine da x1+ 2x2+ x3= 0 ricavo x1= 4. Quindi trovo la combinazione lineare non triviale

4v1− 3v2+ 2v3+ 0v4= 0.

7. Ora prendiamo V = M₂, S =

A₁=1 −1

2 0

, A₂=2 1 0 3

, A₃=1 −1

2 1

. Una combinazione lineare nulla c₁A₁+c₂A₂+c₃A₃= 0 equivale al sistema lineare omogeneo sovradeterminato











c1+ 2c2+ c3= 0

−c₁+ c₂− c₃= 0 2c1+ 2c3= 0 3c₂+ c₃= 0 che ha matrice dei coefficienti







1 2 1

−1 1 −1

2 0 2

0 3 1







∼







1 2 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0







di rango tre, uguale al numero delle incognite. Segue che il sistema ha la sola soluzione triviale c₁= c₂= c₃= 0. Segue che S `e linearmente indipendente.

8. Ora V = M_2×3, S =

B₁= 1 −3 2

−4 0 5

, B₂=−3 7 4

6 −2 −7

, B₃=−2 3 11

−1 −3 2

. Una combinazione lineare nulla a1B1+ a2B2+ a3B3 = 0 equivale al sistema lineare omogeneo

(5)

sovradeterminato











a1− 3a2− 2a3= 0

−3a1+ 7a2+ 3a3= 0 2a1+ 4a2+ 11a3= 0

−4a1+ 6a2− a3= 0

−2a2− 3a3= 0 5a1− 7a2+ 2a3= 0 che ha matrice dei coefficienti







1 −3 −2

−3 7 3

2 4 11

−4 6 −1

0 −2 −3

5 −7 2







∼







1 −3 −2

0 2 3

0 0 0







di rango due, minore del numero delle incognite. Segue che il sistema ha infinite soluzioni, una delle quali si calcola facilmente retro-sostituendo: a₃= −2, a₂ = 3, a₁ = 5 che ci d`a una combinazione lineare non triviale di B₁, B₂, B₃

5B₁+ 3B₂− 2B₃= 0.

Segue che S `e linearmente dipendente.

9. Ora un esempio con i polinomi, V = Pn(R),

S = {pk(x) = x^k+ x^k+1+ . . . + xⁿ | k = 0, 1, 2, . . . , n}.

Una combinazione lineare dei polinomi pk(x)

c₀p₀(x) + c₁p₁(x) + . . . + c_np_n(x) = c₀(1 + x + . . . + xⁿ) + c₁(x + x²+ . . . + xⁿ) + . . . + c_nxⁿ= c0+ (c0+ c1)x + (c0+ c1+ c2)x²+ . . . + (c0+ c1+ . . . + cn)xⁿ= 0

`e nulla se e solo se c0 = 0, c0+ c1 = 0, c0+ c1+ c2 = 0, . . . , c0+ c1+ c2+ . . . + cn = 0 e quindi c0= c1= . . . = cn= 0. Segue che l’insieme S `e linearmente indipendente.

10. Esiste un utile criterio, detto criterio wronskiano per stabilire se un numero finito di funzioni

`e linearmente indipendente. Sia I ⊆ R un intervallo. Siano f1, f2, . . . , fk in C^k−1(I), lo spazio vettoriale sul campo R delle funzioni derivabili k − 1 volte con derivate continue nell’intervallo I.

Il wronskiano di f1, f2, . . . , fk `e definito da

W (f1, f2, . . . , fk)(x) = det







f₁(x) f₂(x) · · · f_k(x) f₁⁰(x) f₂⁰(x) · · · f_k⁰(x)

... ... . .. ... f₁^(k−1)(x) f₂^(k−1(x) · · · f_k^(k−1)(x)







ed il criterio dice che se W (f1, f2, . . . , fk)(x0) 6= 0 per qualche x0 ∈ I, allora l’insieme S = {f1, f2, . . . , fk} ⊂ C^k−1(I) `e linearmente indipendente. La dimostrazione `e facile. Si parte da una combinazione lineare nulla c1f1+ c2f2+ . . . + ckfk = 0 delle funzioni, ove i coefficienti c1, c2, . . . , ck

sono costanti reali indeterminate. Si deriva l’espressione successivamente k − 1 volte. Poich´e (c1f1+ c2f2+ . . . + ckfk)⁰ = c1f₁⁰ + c2f₂⁰ + . . . + ckf_k⁰ = 0⁰ = 0 , (c1f₁⁰ + c2f₂⁰ + . . . + ckf_k⁰)⁰ = c₁f₁⁰⁰+ c₂f₂⁰⁰+ . . . + c_kf_k⁰⁰= 0 , . . . , c₁f₁^(k−1)+ c₂f₂^(k−1)+ . . . + c_kf_k^(k−1)= 0 , per ogni x ∈ I si ottiene il sistema lineare omogeneo k × k











c1f1(x) + c2f2(x) + . . . + ckfk(x) = 0 c1f₁⁰(x) + c2f₂⁰(x) + . . . + ckf_k⁰(x) = 0 . . . . c1f₁^(k−1)(x) + c2f₂^(k−1)(x) + . . . + ckf_k^(k−1)(x) = 0

la cui matrice dei coefficienti ha determinante proprio W (f1, f2, . . . , fk)(x). Se, per qualche x0∈ I,

`e W (f1, f2, . . . , fk)(x0) 6= 0, il sistema ha la sola soluzione triviale c1= c2 = . . . = ck = 0. Segue che se W (f1, f2, . . . , fk)(x) 6= 0 per qualche x0 ∈ I, allora S `e linearmente indipendente. Nulla

(6)

dice il criterio se W (f1, f2, . . . , fk)(x) = 0 per ogni x ∈ I. Vediamo qualche esempio concreto.

a) Poniamo S = {f₁(x) = sin x, f₂(x) = cos x} ⊂ C^∞(R). `E W (f1, f2)(x) =

sin x cos x cos x − sin x

= − sin²x − cos²x = −1 e quindi S `e linearmente indipendente.

b) V = P(R) ⊂ C^∞(R), S = {f₁(x) = x, f₂(x) = x², f₃(x) = x³}. `E

W (f1, f2, f3)(x) =

x x² x³ 1 2x 3x²

0 2 6x

= x

2x 3x² 2 6x

−

x² x³ 2 6x

= x(12x²− 6x²) − (6x³− 2x³) = 2x³

che è diverso da zero per ogni x 6= 0. Segue che S è linearmente indipendente. In questo caso sarebbe stato più semplice scrivere la combinazione lineare c₁f₁(x) + c₂f₂(x) + c₃f₃(x) = c₁x + c2x²+ c3x³ = 0 e osservare che il polinomio c1x + c2x²+ c3x³ è il polinomio nullo se e solo se c1= c2= c3= 0.

c) Poniamo f1(x) = x, f2(x) = x + x², f3(x) = 2x − x². Il wronskiano `e uguale a

W (f₁, f₂, f₃)(x) =

x x + x² 2x − x² 1 1 + 2x 2 − 2x

0 2 −2

= x

1 + 2x 2 − 2x

2 −2

−

x + x² 2x − 2x²

2 −2

=

x − 2(1 + 2x) − 2(2 − 2x) = 0.

In questo caso il criterio wronskiano non ci dice nulla. Calcoliamo la combinazione lineare nulla dei tre polinomi

c1x + c2(x + x²) + c3(2x − x²) = (c1+ c2+ c3)x + (c2− c3)x²= 0 che porta al sistema lineare omogeneo

(c1+ c2+ 2c3= 0 c₂− c3= 0

che ha soluzioni non triviali, ad esempio c₁= −3, c₂= c₃= 1. Segue che −3f₁+ f₂+ f₃= 0 `e una combinazione lineare nulla dei tre polinomi che sono quindi linearmente dipendenti.

d) Prendiamo f1= x³, f2= |x|³. Le due funzioni sono derivabili in tutto R e

W (f₁, f₂)(x) =











x³ x³ 3x² 3x²

= 0, per x ≥ 0,

x³ −x³ 3x² −3x²

= 0, per x ≤ 0.

Il criterio wronskiano non ci dice nulla. Calcoliamo la combinazione lineare c1f1+ c2f2= 0

c1f1(x) + c2f2(x) =

(c1x³+ c2x³= (c1+ c2)x³= 0, per x ≥ 0, c₁x³− c₂x³= (c₁− c₂)x³= 0, per x ≤ 0.

Segue che c1f1+ c2f2= 0 se e solo se

(c1+ c2= 0

c1− c2= 0 , se e solo se c1= c2= 0. Segue che le due funzioni sono linearmente indipendenti, considerate come funzioni in C¹(R). Se le considero invece come funzioni in C¹([0, +∞[) sono linearmente dipendenti: f1− f2= 0 . Lo stesso se le considero come funzioni in C¹(] − ∞, 0]): f1+ f2= 0 .

3 Basi e dimensione

Definizione. Un insieme di generatori minimale dello spazio vettoriale V è un insieme di generatori con la proprietà che nessun suo sottoinsieme proprio ²è un insieme di generatori.

2I sottoinsiemi propri di un insieme X sono i sottoinsiemi Y ⊂ X con Y 6= X.

(7)

Definizione. Un insieme indipendente massimale di V `e un sottoinsieme linearmente indipendente tale che nessun sottoinsieme che lo contiene propriamente `e linearmente indipendente.

Lemma. (1) Se v `e un vettore in S e v ∈ hS \ {v}i, allora hSi = hS \ {v}i, il vettore v `e un generatore “superfluo”.

(2) Un insieme minimale di generatori `e linearmente indipendente.

(3) Un insieme indipendente massimale `e un insieme di generatori.

dim. (1) Se v = P

jajvj con i vj in S \ {v}, allora in ogni combinazione lineare di vettori di S dove compare, si pu`o sostituire v con P

jajvj e quindi ogni elemento di hSi `e combinazione lineare di vettori di S \ {v}.

(2) Sia S un insieme minimale di generatori. SiaP

jcjvj = 0 una combinazione lineare nulla di vettori distinti di S e supponiamo che ck6= 0 per qualche indice k. Segue che vk= −c⁻¹_k P

j6=kcjvj. Da (1) segue che V = hS \ {vk}i contro l’ipotesi che S sia un insieme di generatori minimale.

(3) Sia S un insieme indipendente massimale e supponiamo che hSi 6= V . Allora esiste v ∈ V \ hSi.

Facciamo vedere che allora S ∪ {v} `e linearmente indipendente. Se cos`ı non fosse esistereb- bero v1, . . . , vm in S e scalari c, c1, . . . , cm tali che cv +P

jcjvj = 0. Se fosse c 6= 0, allora v = P

j(−c⁻¹cj)vj ∈ hSi, assurdo. Dunque c = 0 e quindi P

jcjvj = 0. Essendo S linearmente indipendente i cj sono tutti nulli. Segue che S ∪ {v} `e linearmente indipendente. Ma S

`e indipendente massimale e quindi non esistono insiemi linearmente indipendenti che contengono propriamente S. Segue che hSi = V .

Definizione. Sia V uno spazio vettoriale. Una base per V `e un inseme β ⊂ V che soddisfa le seguenti condizioni

• β `e un insieme di generatori di V ,

• β `e linearmente indipendente.

Diremo che lo spazio vettoriale V ha dimensione finita se V ha una base finita (ovvero contenente un numero finito di vettori). Se V non ha una base finita diremo che ha dimensione infinita.

lLo spazio vettoriale nullo , V = {0}, sar`a considerato uno spazio di dimensione finita con base ∅.

Un sottoinsieme β di V `e una base di V se e solo se ogni vettore di V ha una ed una sola rappresentazione come combinazione lineare di elementi di β.

Dal Lemma segue che sia gli insiemi di generatori minimali che gli insiemi indipendenti massimali sono basi di V .

Definizione. Uno spazio vettoriale V si dice finitamente generato se contiene un insieme finito di generatori.

Proposizione. (1) Sia V uno spazio vettoriale finitamente generato. Allora da ogni insieme finito di generatori di V si pu`o estrarre una base di V . In particolare V ha dimensione finita.

(2) Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita. Allora ogni insieme finito linearmente indipendente di V pu`o essere completato ad una base di V .

dim. (1) Sia S un insieme finito di generatori e numeriamo i suoi vettori S = {v1, v2, . . . , vN}.

Chiamiamo un vettore vh della sequenza inessenziale o superfluo se vh dipende linearmente da {v1, v2, . . . ,vh−1}, l’insieme dei vettori che lo precedono, ed essenziale altrimenti. Questa classificazione dei vettori di S chiaramente dipende dall’ordine scelto nella numerazione. Dal punto (1) del Lemma segue che un vettore inessenziale dipende linearmente dai vettori essenziali che lo precedono. Fatto questo, si rimuovono i vettori inessenziali da S. Rimangono solo i vettori essenziali. Sempre per il punto (1) del Lemma, i vettori essenziali generano V e sono linearmente indipendenti. Quindi formano una base di V .

(2) Sia {u1, u2, . . . , uk} un insieme linearmente indipendente e sia {v1, v2, . . . , vn} una base di V . Consideriamo la sequenza {w₁, w₂, . . . , w_k+n} con wj = u_j per j = 1, . . . , k e w_k+h = v_h per h = 1, . . . , n. La sequenza {w₁, w₂, . . . , w_k+n} genera V perch´e contiene la base {v₁, v₂, . . . , v_n} di V . Ora rimuoviamo i vettori inessenziali dalla sequenza. Otteniamo una base che contiene i vettori iniziali u₁, . . . u_k che, essendo linearmente indipendenti, sono tutti essenziali.

Segue subito da questa Proposizione che uno spazio vettoriale ha dimensione finita se e solo se

`e finitamente generato. L’argomento della dimostrazione del punto (2) della Proposizione si pu`o formalizzare nel seguente utile

(8)

Lemma. Sia S = {v1, v2, . . . , vN} una sequenza di vettori non nulli in V . Se S `e linearmente dipendente, allora esiste un vettore v_j nella sequenza che `e combinazione lineare dei vettori v₁, v₂, . . . , v_j−1 che lo precedono.

dim. Se cos`ı non fosse, tutti i vettori della sequenza sarebbero essenziali e la sequenza sarebbe linearmente indipendente.

Esempi 1. Base standard di Kⁿ.

Definizione: il vettore e_j, j = 1, 2, . . . , n, ha tutti gli elementi uguali a zero tranne il j-esimo che `e uguale ad 1. I vettori e₁, . . . , e_n si dicono i vettori standard di Kⁿ. Il vettore (a₁, a₂, . . . , a_n) si rappresenta in modo unico come combinazone lineare degli ej:

(a1, a2, . . . , an) = a1e1+ a2e2+ . . . + anen=

n

X

j=1

ajej

Segue che l’insieme {e₁, e₂, . . . , e_n} `e una base di Kⁿ, detta base standard, che ha quindi dimensione finita. Stessa cosa se scrivo i vettori come righe o come colonne.

2. Base standard di M_m×n(K)

Definizione: la matrice Eij ha tutti gli elementi nulli tranne quello di posto ij che `e uguale ad 1.

Le matrici Eij si dicono le matrici standard di Mm×n(K). La matrice A = (aij) si scrive in modo unico come combinazione lineare delle matrici Eij:

A = a11E11+ a12E12+ . . . + a1nE1n+ a21E21+ . . . + a2nE2n+ am1Em1+ . . . + amnEmn=X

ij

aijEij. Abbiamo scritto gli addendi seguendo l’ordine lessicografico (ordine alfabetico, le lettere sono 1, 2, . . . , max{m, n} nell’ordine naturale). Segue che {E_ij | i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n} `e una base di Mm×n(K), detta base standard, che ha quindi dimensione finita.

3. Base standard di P(K).

Ogni polinomio si scrive in modo unico come combinazione lineare dei monomi 1, x, x², . . . che si dicono i monomi standard di P(K). Quindi {1, x, x², . . .} (sequenza infinita) è una base, detta base standard di P(K). Questo è un esempio di base infinita. Può uno spazio con una base infinita avere una base finita?. La risposta è no, come vedremo tra poco.

4. Base standard di Pn(K).

Ogni polinomio di grado ≤ n si scrive in modo unico come combinazione lineare dei monomi 1, x, x², . . . , xⁿ. Segue che {1, x, x², . . . , xⁿ} `e una base, detta base standard, di Pn(K) che quindi ha dimensione finita.

5. Sia S = {(2, −3, 5), (8, −12, 20), (1, 0, −2), (0, 2, −1), (7, 2, 0)} ⊂ R³ e sia V = hSi il sottospazio generato da W . Cerchiamo i vettori essenziali in S tenendo i vettori nell’ordine scritto. Il primo vettore (2, −3, 5) è essenziale perché è 6= 0. Il secondo vettore (8, −12, 20) è un multiplo del primo (8, −12, 20) = 4(2, −3, 5) e dunque è inessenziale. Il terzo vettore (1, 0, −2) non è un multiplo del primo e quindi è essenziale. Vediamo se il quarto vettore (0, 2, −1) è combinazione lineare del primo e del terzo. Conviene verificare se sono linearmente dipendenti o indipendenti. Formiamo la matrice A che ha per colonne i tre vettori e (riduciamola a scala per righe o) calcoliamone il determinante

A =





2 1 0

−3 0 2

5 −2 −1



, det A = 15 6= 0

Segue che i tre vettori sono linearmente indipendenti e quindi il quarto vettore è essenziale. L’ultimo vettore è inessenziale perché posso risolvere il sistema A



 x y z



=



 7 2 0



. Segue che i vettori primo, terzo e quarto formano una base di V ( che quindi coincide con R³).

6. Sia S = {(1, 0, 1), (2, 1, −1)} ⊂ R³. Il secondo vettore non `e multiplo del primo e dunque S `e linearmente indipendente. Completiamo S ad una base di R³. Consideriamo la sequenza (1, 0, 1), (2, 1, −1), (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} e togliamo i vettori inessenziali. I primi due sono essenziali perch´e sono linearmente indipendenti. La matrice che ha per colonne i primi tre vettori ha det





1 2 1

0 −1 0 1 −1 0



 = 1 e quindi i vettori sono linearmente indipendenti e quindi essenziali. E adesso facile verificare che il quarto ed il quinto vettore sono inessenziali. Segue che` {1, 0, 1), (2, 1, −1), (1, 0, 0)} `e una base di R che completa S.

(9)

Teorema. Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita. Se V ha una base contenente m vettori, allora ogni insieme di n vettori con n > m `e linearmente dipendente.

dim. Sia {v₁, v₂, . . . , v_m} la base e sia {u1, u₂, . . . , u_n} un insoeme con n > m vettori. Vogliamo dimostrare che {u₁, u₂, . . . , u_n} è linearmente dipendente. Poiché {v₁, v₂, . . . , v_m} è una base posso scrivere i vettori u_j come combinazioni lineari dei vettori v_i (attenzione agli indici!)











u1= a11v1+ a21v2+ . . . + am1vm

u₂= a₁₂v₁+ a₂₂v₂+ . . . + a_m2v_m . . . . u_n= a_1nv₁+ a_2nv₂+ . . . + a_mnv_m

Per dimostrare che {u₁, u₂, . . . , u_n} `e linearmente dipendente bisogna far vedere che esistono scalari c₁, c₂, . . . , c_n non tuttti nulli tali che

c1u1+ c2u2+ . . . + cnun= 0.

Sostituendo in questa equazione le espressioni degli uj troviamo

c1(a11v1+a21v2+. . .+am1vm)+c2(a12v1+a22v2+. . .+am2vm)+. . .+cn(a1nv1+a2nv2+. . .+amnvm) =











a11c1+ a12c2+ . . . + a1ncn= 0 a₂₁c₁+ a₂₂c₂+ . . . + a_2nc_n= 0 . . . . a_m1c₁+ a_m2c₂+ . . . + a_mnc_n= 0

Questo è un sistema lineare omogeneo di m equazioni in n incognite. Poiché n > m il sistema ha infinite soluzioni non triviali e pertanto trovo una combinazione lineare non triviale degli uj. Segue che {u1, u2, . . . , un} è linearmente dipendente.

Corollario. Se V `e uno spazio vettoriale di dimensione finita, allora tutte le basi di V sono finite e contengono lo stesso numero di vettori.

dim. Sia β una base con m vettori. Se γ `e un’altra base che contiene pi`u di m vettori, allora contiene almeno m + 1 vettori linearmente indipendenti, e quindi troverei un insieme linearmente indipendente con m + 1 vettori, contro quanto stabilito dal Teorema. Segue che γ deve essere finita e contenere n ≤ m vettori e quindi n = m vetttori.

Definizione. La dimensione di uno spazio vettoriale di dimensione finita `e la cardinalit`a³ di una sua qualunque base. Se V = {0}, porremo dim V = 0.

Se V `e uno spazio vettoriale non nullo, allora dim V > 0. Infatti V contiene un vettore v 6= 0.

L’insieme {v} è linearmente indipendente e si può completare ad una base di V che ha quindi cardinalità > 0.

Corollario. Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita n. Un insieme di generatori per V contiene almeno n vettori

dim. Sia S un insieme di generatori. Se S contenesse meno di n vettori, allora potremmo estrarre da S una base che conterrebbe meno di n vettori.

Teorema. Sia V spazio vettoriale di dimensione n finita. Sia S un insieme di n vettori in V . Gli asserti seguenti sono equivalenti.

(1) S `e una base per V .

(2) S `e un insieme linearmente indipendente.

(3) S `e un insieme di generatori per V .

dim. Dalla definizione di base sappiamo che (1) ⇒ (2) e (3).

(2) ⇒ (1) Se S è linearmente indipendente, allora lo si può completare ad una base β per V . Segue che β contiene n elementi distinti e poiché anche S ⊆ β contiene n elementi, deve essere S = β e quindi S è una base per .

3La cardinalit`a di un insieme finito X `e il numero degli elementi contenuti nell’insieme. La si denota con #(X).

Ricordo che gli elementi di un insoeme sono supposti sempre distinti, non vi sono ripetizioni.

(10)

(3) ⇒ (1) Se S è un insieme di generatori per V , allora da S si può estrarre una base γ per V . Segue che γ ha lo stesso numero n di vettori di S e quindi γ = S ed S è una base per V .

Da quanto visto a proposito delle basi standard ricaviamo

dim Kⁿ = n, dim Mm×n(K) = mn, dim Pn(K) = 1 + n.

4 Dimensione dei sottospazi

Teorema. Sia U un sottospazio dello spazio vettoriale V . Se V ha dimensione finita anche U ha dimensione finita e dim U ≤ dim V . Se dim U = dim V , allora U = V .

dim. Supponiamo che dim V = n < ∞. Se U non avesse dimensione finita, allora, per ogni intero N ≥ 0, troveremmo insiemi linearmente indipendenti in U contenenti N vettori. Questi insiemi sarebbero linearmente indipendenti anche in V ma in V non esistono insiemi linearmente indipendenti con pi`u di n vettori. Dunque U ha dimensione finita. Se dim U = m, allora una base di U contiene m vettori linearmente indipendenti che sono linearmente indipendenti anche in V e quindi m ≤ n. Se m = n, allora una base di U `e una base di V per il Teorema precedente e quindi U = V .

Definizione. Sia U un sottospazio dello spazio vettoriale V di dimensione finita. Un sottospazio W di V si dice complementare del sottospazio U se V = U ⊕ W .

Corollario. Per ogni sottospazio U di uno spazio vettoriale V di dimensione finita esistono sottospazi W complementari di U .

dim. Supponiamo che dim V = n. Se U = V , W = {0}, seU = {0}, W = V . Sia dim U = m <

n, e sia {u1, . . . , um} una base di U . Completiamo la base ad una base {u1, . . . , um, w1, . . . , wn−m} di V e poniamo W = hw1, . . . , wn−mi. Segue che V = U ⊕ W .

Esempi 1. Calcoliamo una base e la dimensione del soottospazio di R³delle soluzioni dell’equazione x − 2y + z = 0.

Dal punto di vista geometrico, l’equazione rappresenta un piano nello spazio ed ha quindi dimensione due. Per trovare una base, osserviamo che l’equazione si pu`o scrivere x = 2y − z e pensare y e z come parametri liberi. Una base si ottiene prendendo y = 1, z = 0 e y = 0, z = 1 e quindi {(2, 1, 0), (−1, 0, 1)} `e una base.

2. Calcoliamo una base e la dimensione del sottospazio V = {A ∈ M_n(K) | A = A^t}. delle matrici simmetriche n × n.

Poich´e a_ji= a_ij, usando la base standard, una matrice simmetrica si scrive in modo unico come

A =

n

X

i=1

aiiEii+X

i<j

aij(Eij+ Eji)

Segue che una base di V è data da {E_ii}i∪ {Eij+ E_ji}i<j. Segue che la dimensione di V è uguale alla cardinalità dell’insieme delle coppie di numeri interi (i, j) tali che 1 ≤ i ≤ j ≤ n che è

1 + 2 + . . . + n = n(n + 1) 2

3. Similmente si vede che una base per il sottospazio delle matrici antisimmetriche di ordine n `e data dall’insieme {E_ij− Eji}i<j che ha cardinalit`a 1 + 2 + . . . + (n − 1) = ⁽ⁿ⁻¹⁾ⁿ₂ .

4. Se I ⊆ R `e un intervallo, allora F (I, R) e tutti gli spazi vettoriali C^k(I) hanno dimensione infinita perch´e tutti contengono P(R che ha dimensione infinita.

5 Formula di Grassmann

Teorema. Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita e siano U e W sottospazi di V . Allora dim(U + W ) + dim(U ∩ W ) = dim U + dim W

(11)

dim. Poniamo p = dim(U ∩ W ) e sia U ∩ W = hv1, . . . , vpi. Completiamo la base di U ∩ W ad una base di U e ad una base di W , U = hv₁, . . . , v_p, u_p+1, . . . , u_ri, r = dim U , W = hv1, . . . , v_p, w_p+1, . . . , w_si, s = dim W . Se u ∈ U , u = P

ja_jv_j+P

hb_hu_h. Se w ∈ W , w = P

jc_jv_j+P

kd_kw_k. Segue che u + w =X

j

ajvj+X

h

bhuh+X

j

cjvj+X

k

dkwk =X

j

(aj+ cj)vj+X

h

bhuh+X

k

dkwk

e quindi {v1, . . . , vp, , up+1, . . . , ur, wp+1, . . . , ws} `e un insieme di generatori di U + W . Facciamo vedere che questi r + s − p vettori sono linearmente indipendenti. Supponiamo che

(1) X

j

ajvj+X

h

bhuh+X

k

ckwk= 0

e facciamo vedere che tutti i coefficienti sono uguali a zero. Poniamo z =P

jajvj+P

hbhuh =

−P

kc_kw_k. Segue che z `e un vettore in U ∩ W e quindi lo posso rappresentare come combinazione lineare dei vettori v_j, z =P

jd_jv_j. Segue che z =P

ja_jv_j+P

hb_hu_h=P

jd_jv_j e quindi X

j

(aj− dj)vj+X

h

bhuh= 0

Poich´e i vettori vj, uh sono linearmente indipendenti, `e aj = dj, per ogni j e bh = 0, per ogni h.

Da (1) segue allora cheP

jajvj+P

kckwk = 0 e quindi, per l’indipendenza lineare dei vettori vj, wk, aj = 0, per ogni j e ck= 0, per ogni k.

Dunque dim(U + W ) = r + s − p = dim U + dim W − dim(U ∩ W ).

6 Somma diretta generalizzata

Abbiamo definito la somma diretta di due sottospazi. Generalizziamo ora questa nozione ad un numero finito qualunque di sottospazi. Diremo che lo spazio vettoriale V `e somma diretta dei sottospazi W1, W2, ...., Wr e scriveremo

V = W1⊕ W2⊕ . . . ⊕ Wr

se ogni vettore v in V si pu`o scrivere in uno ed un solo modo come v = w₁+ w₂+ . . . + w_r con w₁ in W₁, w₂ in W₂, ...,w_r in W_r.

Teorema. Se V = W₁⊕ W₂⊕ . . . ⊕ W_r ed S_k `e un insieme linearmente indipendente di W_k, per ogni k = 1, 2, . . . , r, allora

(1) l’unione S = S1∪ S2∪ · · · ∪ Sr`e linearmente indipendente,

(2) se ogni Sk `e una base di Wk, allora S = S1∪ S2∪ · · · ∪ Sr `e una base di V , (3) dim V = dim W1+ dim W2+ . . . + dim Wr.

dim. (1) Supponiamo Sk = {wk1, . . . , wkr_k} linearmente indipendente e mostriamo che S = S

kSk `e linearmente indipendente. Da X

k,j_k

a_kj_kw_kj_k = X

k

X

j_k

a_kj_kw_kj_k = 0 =X

k

0

segue che P

j_kakj_kwkj_k = 0, per ogni k = 1, . . . , r, e quindi, poiché ciascun Sk è linearmente indipendente, a_kj_k= 0 per ogni k ed ogni j_k. Segue che S è linearmente indipendente.

(2) Se ciascun S_k è una base di W_k, allora S è linearmente indipendente e inoltre S genera V = W₁+ . . . W_r. Segue che S è una base di V .

(3) `E conseguenza diretta di (2).

Teorema. Nelle notazioni del Teorema precedente, se V = W₁ + W₂ + . . . + W_r e dim V = dim W1+ dim W2+ . . . + dim Wr, allora V = W1⊕ W2⊕ . . . ⊕ Wr.

(12)

dim. Se Sk`e base di Wk, allora S genera V = W1+. . .+Wr. Segue che dim V = dim(W1+. . .+

W_r) ≤ dim W₁+ . . . + dim W_r= dim V . Segue che S `e base di V e quindi V = W₁⊕ . . . ⊕ Wr. Terminologia

Combinazione lineare di vettori. Combinazione lineare triviale e non triviale. Insieme di generatori.

Insiemi linearmente indipendenti e dipendenti. Dipendenza lineare. Vettori proporzionali. Wron- skiano e criterio wronskiano. Insieme di generatori minimale. Insieme linearmente indipendente massimale. Base per uno spazio vettoriale. Spazio vettoriale di dimensione finita. Spazio vettoriale finitamente generato. Spazio vettoriale di dimensione infinita. Vettori essenziali ed inessenziali.

Vettori standard. Matrici standard. Monomi standard. Basi standard. Ordine lessicografico.

Dimensione. Cardinalit`a. Sottospazio complementare. Formula di Grassmann. Somma diretta generalizzata.

Saper fare

• Riconoscere se un dato insieme di vettori

`

e un insieme di generatori.

• Rionoscere se un dato insieme di vettori `e linearmente indipendente o linearmente dipendente.

• Saper trovare una combinazione lineare nulla per un insieme linearmente dipendente.

• Riconoscere se due vettori sono o non sono proporzionali.

• Saper estrarre da una sequenza di vettori un insieme linearmente indipendente.

• Usare il criterio wronskiano per riconoscere l’indipendenza lineare di funzioni.

• Riconoscere se un sottoinsieme di un dato spazio vettoriale `e una base.

• Saper costruire una base per un dato spazio vettoriale.

• Saper completare una base di un sottospazio ad una base dello spazio.

• Conoscere le basi standard degli spazi fondamentali: n-uple, matrici e polinomi.

• Saper calcolare la dimensione di uno spazio vettoriale.

• Conoscere la relazione tra le dimensioni di intersezione e somma di due sottospazi.

Vero o Falso?

• Uno spazio vettoriale possiede un unico minimo insieme di generatori.

• L’insieme delle colonne di una matrice 3 × 5 `e linearmente dipendente.

• L’insieme delle colonne di una matrice 5 × 3 `e linearente indipendente.

• Se un vettore di un insieme di vettori S

`

e combinazione lineare degli altri vettori di S, allora S `e linearmente dipendente.

• Se un insieme di vettori contiene un insieme linearmente dipendente, allora S

`

e linearmente dipendente.

• Tre vettori non nulli sono linearmente dipendenti se e solo se i vettori sono a due a due proporzionali.

• Se il wronskiano di un insieme di funzioni `e identicamente nullo, allora le funzioni sono linearmente dipendenti.

• Un insieme di generatori di uno spazio vettoriale `e una base di V .

• Uno spazio vettoriale reale ha infinite basi distinte.

• Ogni insieme di cardinalit`a m di uno spazio vettoriale V di dimensione n con m > n `e un insieme di generatori di V .

• Tre polinomi distinti in P3(R) devono essere linearmente indipendenti.

• Sei polinomi in P4(R) devono essere linearmente dipendenti.

• Se V è uno spazio vettoriale n- dimensionale, allora ogni insieme di car- dinalità m < n di vettori in V si può completare ad una base di V .

• Se V `e uno spazio vettoriale di dimensione n, allora V ha uno ed un dolo sottospazio di dimensione 0 ed uno ed un solo sottospazio di dimensione n.

(13)

• Se {v1, v2, . . . , vn} è linearmente indipendente ed A è una matrice invertibile, allora {Av₁, Av₂, . . . , Av_n} è linearmente indipendente.

• Se {v₁, v₂, . . . , v_n} `e un insieme linearmente indipendente di V e v ∈/ hv1, v2, . . . , vni, allora hv + v1, v + v2, . . . , v + vni `e linearmente indipendente.

• Se S = {p1(x), p2(x), . . . , pk(x)} ⊂ sf P

`

e un insieme di polinomi con gradi tutti diversi uno dall’altro, allora S `e linearmente indipendente.

• Ogni insieme di generatori di uno spazio vettoriale V di dimensione finita contiene una base di V .

• Se due sottospazi U e W di uno spazio vettoriale di dimensione finita hanno la stessa dimensione, allora U = W .

• Ogni sottospazio di Rⁿ ha una base for- mata da vettori standard.

• Sia S un insieme di cardinalit`a k in Rⁿ. Discutere quale degli asserti seguenti `e vero o falso nei casi k < n, k = n, k > n.

(1) S è linearmente dipendente. (2) S è linearmente indipendente. (3) S è una base.

• Se v non `e combinazione lineare di S ⊂ V , allora v ∪ S `e linearmente indipendente.

• Se S = {v1, v2, . . . , vr} e S \ {vi} `e linearmente indipendente per ogni i = 1, . . . , r, allora S `e linearmente indipendente.

• Un sottoinsieme infinito di uno spazio vettoriale non pu`o essere linearmente indipendente.

• Se uno spazio vettoriale contiene un insieme finito linearmente dipendente, allora lo spazio vettoriale ha dimensione finita.

• L’insieme delle matrici 2 × 2 in cui esat- tamente due elementi sono uguali a 0 e i rimanenti due sono uguali ad 1 `e linearmente indipendente.

• Se A una matrice n × n, n ≥ 2 tale che A³= 0 ma A²6= 0, allora l’insieme {1, A, A²} `e linearmente indipendente.

Esercizi

Esercizio Determinare quale degli insiemi seguenti `e linearmente indipendente. Per gli insiemi linearmente dipendenti, scrivere uno dei vettori come combinazione lineare degli altri vettori.

1. {(−2, 4, −6), (3, −6, 9)} 2. {(1, 2, 3), (2, 1, 0), (5, 1, 9)} 3. {(1, −1, 2), (2, 1, 0)}

4. {(1, 2, 3), (0, 4, 5), (0, 0, 6), (1, 1, 1)} 5. {(1, −1, 2, 3), (2, −1, 1, −1), (−1, 1, 1, 1)}

6. {(2, −1, 0, 1), (1, 0, −1, 2), (0, 3, 1, 2)}

Esercizio Determinare tutti i valori dello scalare k per i quali l’insieme {(1, 1, k), (0, 2, k), (1, k, 6)}

`e linearmente dipendente.

Esercizio Determinare tutti i valori dello scalare k per i quali l’insieme

{(1, 0, 1, k), (−1, 0, k, 1), (2, 0, 1, 3)} `e linearmente indipendente.

Esercizio Determinare se il dato insieme di vettori in M₂(R) `e linearmente indipendente.

1. A =2 −1

3 4

, B =−1 2

1 3

, 2. A =1 1 0 1

, B =2 −1

0 1

, C =3 6 0 4

. Esercizio Determinare un insieme linearmente indipendente di vettori che genera lo stesso sottospazio di V generato dal dato insieme di vettori.

1. V = R³, {(1, 1, 1), (1, −1, 1), (1, −3, 1), (3, 1, 2)}.

2. V = R⁴, {(1, 1, −1, 1), (2, −1, 3, 1), (1, −3, 1), (1, 1, 2, 1), (2, −1, 2, 1)}.

3. V = M2(R),

1 2 3 4

,−1 2

5 7

,3 2

1 1

. 4. V = P2(R), {2 + x², 4 − 2x + 3x², 1 + x}.

Esercizio Usare il criterio wronskiano per verificare se i seguenti insiemi di funzioni in C^∞(I) sono linearmente indipendenti.

1. {sin x, cos x, tan x}, I =] −^π₂,^π₂[, 2. {1, 3x, x²− 1}, I = R, 3. {e^2x, e^3x, e^−x}, I = R.

(14)

Esercizio Calcolare il wronskiano delle funzioni f1(x) = e^ax, f2(x) = e^bx, f3(x) = e^cxe determinare le condizioni su a, b, c affinch´e {f₁, f₂, f₃} sia linearmente indipendente.

Esercizio Calcolare il wronskiano dell’insieme {1, x, x², . . . , xⁿ} ⊂ P(R).

Esercizio Sia c ∈ R e sia W = {p(x) ∈ P_n(R) | p(c) = 0}. Verificare che W `e un sottospazio di P_n(R) e calcolarne la dimensione.

Esercizio Determinare se i dati insiemi di vettori formano una base di Rⁿ, n = 3, 4.

1. {(1, 2, 1), (3, −1, 2), (1, 1, −1)}, 2. {1, 1, 0, 2), (2, 1, 3, −1), (−1, 1, 1, −2), (2, −1, 1, 2)}.

Esercizio Determinare tutti i valori della costante k per i quali l’insieme

{(0, −1, 0, k), (1, 0, 1, 0), (0, 1, 1, 0), (k, 0, 2, 1)} `e una base per R⁴.

Esercizio Sapendo che i vettori v1 = (2, −3, 1), v2 = (1, 4, −2), v3 = (−8, 12, −4), v4 = (1, 37, −17), v5= (−3, −5, 8) generano R³, estrarre da {v1, v2, v3, v4, v5} una base per R³. Esercizio Sia W il sottospazio di R³formato dai vettori che soddisfano l’equazione x − 2y + z = 0.

Determinare una base per W e calcolare dim W .

Esercizio Sia W = {u, u − −2v, 3v − 5u) | u, v ∈ R}. Far vedere che W `e un sottospazio di R³, trovarne una base e calcolarne la dimensione.

Esercizio Sia W l’insieme delle matrici triangolari superiori n × n. Far vedere che W `e un sost- tospazio di M_n, trovarne una base e calcolarne la dimensione.

Esercizio Consideriamo le matrici A₁=−1 1

0 1

, A₂= 1 3

−1 0

, A₃=1 0 1 2

, A₄=0 −1

2 3

.

Far vedere che {A1, A2, A3, A4} `e una base di M2(R) ed esprimere la matrice5 6 7 8

come combinazione lineare della base.

Esercizio Sia A =





1 1 −1 1

2 −3 5 −6

5 0 2 −3



, v1=







−2 7 5 0





 ,v2=







−2 7 5 0







. Far vedere che β = {v1, v2}

`e una base per N(A), lo spazio nullo di A. Utilizzando la base β, esprimere un vettore arbitrario di N(A).

Esercizio Sia

A =





1 2 2 0 5

2 4 3 1 8

3 6 1 5 5



, v =







−8 1 3 3 0





 .

Verificare che v ∈ N(A) e completare {v} ad una base di N(A).

Esercizio Determinare se l’insieme T = {(2, 3, 2), (1, 1, −1)} `e o non `e una base per lo spazio generato dall’insieme S = {(1, 2, 3), (5, 8, 7), (3, 4, 1)}.

Esercizio Sia {v₁, v₂, v₃, v₄} un insieme linearmente indipendente in V . Calcolare la dimensione dei seguenti sottospazi.

1. hv1+ v2, v2+ v3, v3+ v4, v4+ v1i, 2. hv1− v2, v2− v3, v3− v1i.

Esercizio Sia V = M2(R) e U =a b

c a

∈ V

a, b, c ∈ R

, W = 0 d

−d e

∈ V

d, e ∈ R

.

Verificare che U e W sono sottospazi di V e calcolare dim U , dim W , dim(U + W ) e dim(U ∩ W ).