Esercizi di Statistica della 4a settimana (Corso di Laurea in Biologia Molecolare, Universit`a degli Studi di Padova).
Esercizio 1. La vita di un nuovo asciugacapelli ha distribuzione normale con media 40 mesi e deviazione standard 8 mesi. La garanzia legale in Italia dura 2 anni (e in caso di guasto `e obbligatoria la sostituzione o il rimborso), mentre il costruttore intende garantire l’apparecchio per un altro anno, per un totale di 3 anni.
1. Quale proporzione di asciugacapelli non rientrer`a nella garanzia legale?
2. Quale proporzione non rientrer`a nella garanzia del produttore?
3. Su una produzione annuale di 10000 apparecchi, qual `e la probabilit`a che almeno 500 di questi non superino la garanzia legale?
4. Sulla stessa produzione annuale, qual `e la probabilit`a che almeno 1000 di questi non superino la garanzia del produttore?
Esercizio 2. Un docente sa dall’esperienza passata che il punteggio all’esame finale degli studenti del suo corso `e distribuito con media 77 e deviazione standard 15. Attualmente egli ha due classi diverse, una da 64 e una da 25 studenti.
1. Quanto vale la probabilit`a che la media aritmetica dei punteggi (o punteggio medio) della classe di 25 studenti sia compresa tra 72 e 82?
2. E per l’altra classe?
3. Quanto vale approssimativamente la probabilit`a che il punteggio medio della classe da 25 superi quello della classe da 64?
Esercizio 3. In alcuni telefilm polizieschi, si sente dire “il criminale ha questa inusuale caratteristica . . . trovare questa persona e avrete il vostro uomo”. Supponiamo che ogni dato individuo abbia questa inusuale caratteristica con probabilit`a 10−7 indipendentemente dagli altri individui, e che la citt`a in questione abbia 107 abitanti.
1. Calcolare il numero medio di tali individui nella citt`a.
2. Supponendo che l’ispettore trovi una tale persona, calcolare la probabilit`a che ce ne sia almeno un’altra.
3. Supponendo che l’ispettore ne trovi due, calcolare la probabilit`a che ce ne sia almeno un’altra ancora.
Esercizio 4. Il cosiddetto ”test del DNA” non fa altro che misurare la lunghezza di K geni, senza controllare le basi azotate che li compongono. Per ognuno di tali geni, la probabilit`a che due dati individui presentino una lunghezza uguale viene assunta come pari a 1/10. Un’altra ipotesi che viene comunemente fatta `e che le lunghezze di geni diversi siano indipendenti l’una dall’altra.
Supponiamo di misurare la lunghezza di K = 7 geni da un campione di DNA trovato su una
”scena del crimine”.
1. Calcolare la probabilit`a che un dato individuo abbia la lunghezza dei suoi geni uguali a quella del campione.
2. Supponendo di avere un database di n = 101905 individui, calcolare la probabilit`a che almeno uno di questi individui abbia le lunghezze dei suoi geni uguali a quelle del campione incriminato.
3. Calcolare la probabilit`a che almeno due di questi individui abbiano le lunghezze dei loro geni uguali a quelle del campione incriminato.
4. Supponendo di aver trovato un individuo con le lunghezze dei geni uguali a quelle del campione incriminato, calcolare la probabilit`a che ce ne sia almeno un altro.
