Esercizi di Probabilit` a e Statistica Francesco Caravenna
Foglio 1. (28 gennaio–1 febbraio 2008)
Esercizio 1. Ho una moneta A che `e regolare e una moneta B che `e truccata, per cui la probabilit`a di ottenere testa vale 34. Scelgo una moneta a caso, con uguale probabilit`a, e la lancio. Se esce testa, qual `e la probabilit`a che la moneta scelta sia stata B? [35]
Esercizio 2. Una coppia ha due figli(e). Assumiamo che il sesso dei due figli possa essere descritto dallo spazio campionario S = {(M M ), (M F ), (F M ), (F F )} (dove (ab) indica che il primogenito `e di sesso a e il secondogenito di sesso b) munito della probabilit`a uniforme, cio`e P (M M ) = P (M F ) = P (F M ) = P (F F ) = 14.
a) Se sappiamo che il primogenito `e maschio, qual `e la probabilit`a che entrambi i figli siano maschi? [12]
b) Se sappiamo che il secondogenito `e maschio, qual `e la probabilit`a che entrambi i figli siano maschi? [12]
c) Se sappiamo che almeno un figlio `e maschio, qual `e la probabilit`a che entrambi i figli siano maschi? [13]
Esercizio 3 (Paradosso di Monty Hall). Vi propongo di scegliere tra tre buste chiuse, una delle quali contiene un premio mentre le altre due sono vuote. Una volta effet- tuata la scelta, io guardo di nascosto il contenuto delle due buste rimaste e ve ne mostro una vuota (tra le mie due buste ce n’`e almeno una vuota, dunque lo posso sempre fare). A questo punto vi propongo di cambiare la vostra busta con quella che mi `e rimasta in mano. Vi conviene cambiare? [S`ı, la probabilit`a passa da 13 a 23]
Supponiamo ora che io cambi il mio comportamento: dopo che voi avete scelto una busta, io ne apro a caso una delle due restanti. Se la busta aperta contiene il premio, il gioco finisce. Se la busta aperta risulta invece vuota, vi offro la possibilit`a di cambiare la vostra busta con quella che mi `e restata in mano. Vi conviene cambiare?
[`E indifferente: la probabilt`a (condizionale) di trovare il premio, cambiando o non cambiando, `e sempre 12]
Teorema 4. Fissato un evento B di uno spazio di probabilit`a discreto (Ω, P ) con P (B) > 0, la probabilit`a condizionata P ( · |B) `e l’unica probabilit`a Q( · ) su Ω che soddisfi le seguenti propriet`a:
(1) Q(B) = 1;
(2) ∀E, F ⊆ B con P (F ) > 0, si ha Q(F ) > 0 e Q(E)Q(F ) = P (E)P (F ).
1
2
Dimostrazione. `E immediato verificare che P ( · |B) soddisfa le propriet`a (1) e (2).
Viceversa, supponiamo che una probabilit`a Q su Ω soddisfi tali propriet`a. Dato un evento A possiamo scriverlo come unione disgiunta
A = (A ∩ B) ∪ (A ∩ Bc) ,
per cui Q(A) = Q(A ∩ B) + Q(A ∩ Bc). Dato che A ∩ Bc ⊆ Bc, grazie a (1) si ha ( 0 ≤ ) Q(A ∩ Bc) ≤ Q(Bc) = 1 − Q(B) = 0 ,
per cui Q(A) = Q(A ∩ B). Dato che A ∩ B ⊆ B, possiamo applicare la propriet`a (2) con E = A ∩ B, F = B: dato che Q(B) = 1, si ha che
Q(A) = Q(A ∩ B) = Q(A ∩ B)
Q(B) = P (A ∩ B)
P (B) =: P (A|B) .
Abbiamo dunque mostrato che Q deve necessariamente coincidere con la probabilit`a
condizionata P ( · |B).
