Esercizi di Probabilit` a e Statistica Francesco Caravenna
Foglio 3. (11–15 febbraio 2008)
Esercizio 1. 120 studenti sono suddivisi in 3 gruppi di 16, 40 e 44 studenti rispet- tivamente.
a) Scelgo un gruppo a caso e indico con Y il numero di studenti nel gruppo scelto.
Determinare distribuzione e valore atteso di Y . [pY(36) = pY(40) = pY(44) = 13, E(Y ) = 40]
b) Scelgo uno studente a caso e indico con X il numero di studenti nello stesso gruppo dello studente scelto. Determinare distribuzione e valore atteso di X.
[pX(x) = 120x per x = 36, 40, 44, E(X) = 120830 ' 40.27 > 40]
Esercizio 2 (es. 63 delle dispense). Si consideri la seguente classica strategia per il gioco della roulette. Gioco sempre sul rosso. Alla prima giocata punto un dollaro. Se perdo raddoppio la giocata, se vinco smetto. In ogni caso, dato che il mio capitale iniziale `e 1023 dollari, se perdo 10 volte di seguito devo smettere. Sia X la differenza tra il mio capitale alla fine del gioco e il capitale iniziale. Calcolare E(X).
Esercizio 3 (es. 65 delle dispense). In un concorso vengono assegnate le idoneit`a per un dato servizio. Si assuma che ogni partecipante, indipendentemente dagli altri, abbia probabilit`a p = 34 di ottenere l’idoneit`a. Al termine del concorso, a 10 tra gli idonei viene assegnato un posto di lavoro (se gli idonei sono meno di 10 vengono assegnati tanti posti di lavoro quanti sono gli idonei). Supponiamo che al concorso partecipino 15 persone, e sia X il numero dei partecipanti che ottengono l’idoneit`a ma non il posto di lavoro.
a) Determinare la distribuzione di X.
b) Calcolare E(X).
Esercizio 4 (analogo all’es. 51 delle dispense). Ho k monete di cui l’i-esima d`a testa con probabilit`a ki, per i = 1, . . . , k. Scelgo una moneta a caso e la lancio ripetutamente.
a) Qual `e la probabilit`a di ottenere n teste nei primi n lanci? [Pk
i=0(ki)n 1k] b) Se ottengo n teste nei primi n lanci, qual `e la probabilit`a (condizionata) di
ottenere testa anche nell’(n + 1)-esimo lancio? [ Pk
i=0(ki)n/ Pki=0(ki)n+1]
c) Si determini il limite per k → ∞ (con n fissato) delle risposte ai punti prece- denti. [a) n+11 b) n+1n+2]
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