Universita’ degli Studi di Roma ”Tor Vergata”
CCS - STM
Prova di Esame - Geometria I Modulo - Febbraio 2020 VI Appello I Modulo per a.a. 2018/19
Docente I Modulo: F. Flamini - Docente II Modulo: G. Marini
SVOLGIMENTO
Esercizio 1. [10 punti] Sia V lo spazio vettoriale delle matrici quadrate M (2, 2, R) e sia A = 1 0
3 0
!
∈ V . Sia W il sottoinsieme di V definito da
W := {M ∈ V | AM −
tA
tM = O}.
(i) Verificare che W e’ un sottospazio di V . (ii) Determinare dimensione ed una base di W .
Esercizio 2. [10 punti] Sia V = R[x]
≤2lo spazio vettoriale dei polinomi in un’indeterminata x e di grado al piu’ 2. Si considerino i sottospazi
U := Span{x, x
2} e W := {a
0+ a
1x + a
2x
2∈ V | a
0= 0 = a
1− a
2}.
(i) Determinare dimensione di U e di W . (ii) Determinare i sottospazi U ∩ W e U + W .
(iii) Determinare un sottospazio K ⊂ V che sia supplementare a W in V , descrivendo esplicitamente una base di K.
Esercizio 3 [10 punti]. Sia R
3spazio vettoriale munito di base canonica e. Si consideri L ∈ End(R
3) definito dalle seguenti due condizioni:
(a) λ
1= −2 e’ un autovalore di L con relativo autospazio
V
2(L) = Span
u
1=
1 0 2
, u
2=
0 1 1
(b) λ
2= 1 e’ un autovalore di L con relativo autovettore u
3=
1 0 1
(i) Determinare M
e,e(L), i.e. la matrice rappresentativa dell’operatore L nella base canonica e.
(ii) Stabilire se L e’ un automorfismo di R
3. (iii) Motivare il fatto che L e’ diagonalizzabile.
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