Esame di Geometria 1 — 13 Febbraio 2018

Esame di Geometria 1 — 13 Febbraio 2018

NOME, COGNOME e MATRICOLA...

Autorizzo la pubblicazione in rete del risultato dell’esame. Firma...

 Mi avvalgo dell’esonero Firma...

1. Nello spazio affine reale A

, siano dati i seguenti punti:

A = (1, 2, 1, 0), B = (1, 0, 0, 0), C

= (2, 1, 1 − `, ` − `

), A

= (1, 2, 2, −1), B

= (2, 0, 0, 0), C

= (−2, 1, ` − 1, `

− `), con ` ∈ R parametro.

Si considerino le rette: a passante per i punti A e A

, b passante per i punti B e B

, e c

passante per i punti C

e C

; sia inoltre H

:= b ∪ c

il pi` u piccolo sottospazio affine contenente le rette b e c

.

(a) Al variare del parametro `, si determini dim H

, e la posizione relativa di a e H

. (b) Per ` = 0, si determini H

, esprimendolo in forma cartesiana.

(c) Per ` = 0, si determini l’unica retta r, che interseca le tre rette a, b e c

, esprimendola in forma parametrica.

2. Sia V := R

[x] lo spazio dei polinomi a coefficienti reali di grado al massimo 2. Per ogni k ∈ R, si considerino i polinomi

p

(x) = (k − 1)x

+ x − 1, p

(x) = x

− 1, p

(x) = 1,

q

(x) = kx − k, q

(x) = x

− k, q

(x) = (k − 1)x

, e sia F

: V → V l’endomorfismo di V tale che F (p

(x)) = q

(x) per i = 1, 2, 3.

(a) Si determini per quali k KerF

e ImF

sono in somma diretta.

(b) Si calcoli il polinomio caratteristico dell’endomorfismo F

. (c) Per k = 0, k = 1 si discuta la diagonalizzabilit` a di F

.

(d) Si stabilisca per quali k esistono delle basi B e D di V per cui

M

(F

) = diag(0, 1, 2) 3. Sia Z := M

(R) lo spazio delle matrici 2×2 a coefficienti reali. Si considerino il sottospazio

U

:=  1 0 2 1



,  1 1 0 σ + 2

 ,

 σ σ

σ + 1 σ



,  2 2 0 2



, e il sottoinsieme

W

:=



A =  a

a

a

a



∈ Z |

A = A, a

= (θ + 3)a

+ (θ + 2)

 , con σ, θ ∈ R parametri.

(a) Al variare di σ ∈ R, si stabilisca la dimensione di U

e se ne determini una base.

(b) Si stabilisca per quali valori del parametro θ W

` e un sottospazio vettoriale; per tali θ, si determinino, al variare di σ, le dimensioni di W

, U

∩ W

, U

+ W

.

(c) Per σ = −1 e θ = −2, si determini una base F di U

∩ W

, la si completi a una base G di U

+ W

, e si completi quest’ultima a una base H di Z.

Cuori

Esame di Geometria 1 — 13 Febbraio 2018

NOME, COGNOME e MATRICOLA...

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 Mi avvalgo dell’esonero Firma...

1. Nello spazio affine reale A

, siano dati i seguenti punti:

A = (2, 1, 0, 1), B = (0, 0, 0, 1), C

= (1, 1 − `, ` − `

, 2), A

= (2, 2, −1, 1), B

= (0, 0, 0, 2), C

= (1, ` − 1, `

− `, −2), con ` ∈ R parametro.

Si considerino le rette: a passante per i punti A e A

, b passante per i punti B e B

, e c

passante per i punti C

e C

; sia inoltre H

:= b ∪ c

il pi` u piccolo sottospazio affine contenente le rette b e c

.

(a) Al variare del parametro `, si determini dim H

, e la posizione relativa di a e H

. (b) Per ` = 0, si determini H

, esprimendolo in forma cartesiana.

(c) Per ` = 0, si determini l’unica retta r, che interseca le tre rette a, b e c

, esprimendola in forma parametrica.

2. Sia V := R

[x] lo spazio dei polinomi a coefficienti reali di grado al massimo 2. Per ogni k ∈ R, si considerino i polinomi

p

(x) = k − 1 + x − x

, p

(x) = 1 − x

, p

(x) = x

, q

(x) = kx − kx

, q

(x) = 1 − kx

, q

(x) = k − 1, e sia F

: V → V l’endomorfismo di V tale che F (p

(x)) = q

(x) per i = 1, 2, 3.

(a) Si determini per quali k KerF

e ImF

sono in somma diretta.

(b) Si calcoli il polinomio caratteristico dell’endomorfismo F

. (c) Per k = 0, k = 1 si discuta la diagonalizzabilit` a di F

.

(d) Si stabilisca per quali k esistono delle basi B e D di V per cui

M

(F

) = diag(0, 1, 2) 3. Sia Z := M

(R) lo spazio delle matrici 2×2 a coefficienti reali. Si considerino il sottospazio

U

:=  1 0 2 1



,  σ + 2 1

0 1

 ,

 σ σ

σ + 1 σ



,  2 2 0 2



, e il sottoinsieme

W

:=



A =  a

a

a

a



∈ Z |

A = A, a

= (θ + 3)a

+ (θ + 2)

 , con σ, θ ∈ R parametri.

(a) Al variare di σ ∈ R, si stabilisca la dimensione di U

e se ne determini una base.

(b) Si stabilisca per quali valori del parametro θ W

` e un sottospazio vettoriale; per tali θ, si determinino, al variare di σ, le dimensioni di W

, U

∩ W

, U

+ W

.

(c) Per σ = −1 e θ = −2, si determini una base F di U

∩ W

, la si completi a una base G di U

+ W

, e si completi quest’ultima a una base H di Z.

Quadri

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 Mi avvalgo dell’esonero Firma...

1. Nello spazio affine reale A

, siano dati i seguenti punti:

A = (1, 0, 1, 2), B = (0, 0, 1, 0), C

= (1 − `, ` − `

, 2, 1), A

= (2, −1, 1, 2), B

= (0, 0, 2, 0), C

= (` − 1, `

− `, −2, 1), con ` ∈ R parametro.

Si considerino le rette: a passante per i punti A e A

, b passante per i punti B e B

, e c

passante per i punti C

e C

; sia inoltre H

:= b ∪ c

il pi` u piccolo sottospazio affine contenente le rette b e c

.

(a) Al variare del parametro `, si determini dim H

, e la posizione relativa di a e H

. (b) Per ` = 0, si determini H

, esprimendolo in forma cartesiana.

(c) Per ` = 0, si determini l’unica retta r, che interseca le tre rette a, b e c

, esprimendola in forma parametrica.

2. Sia V := R

[x] lo spazio dei polinomi a coefficienti reali di grado al massimo 2. Per ogni k ∈ R, si considerino i polinomi

p

(x) = (k − 1)x

+ x − 1, p

(x) = x

− 1, p

(x) = 1,

q

(x) = kx − k, q

(x) = x

− k, q

(x) = (k − 1)x

, e sia F

: V → V l’endomorfismo di V tale che F (p

(x)) = q

(x) per i = 1, 2, 3.

(a) Si determini per quali k KerF

e ImF

sono in somma diretta.

(b) Si calcoli il polinomio caratteristico dell’endomorfismo F

. (c) Per k = 0, k = 1 si discuta la diagonalizzabilit` a di F

.

(d) Si stabilisca per quali k esistono delle basi B e D di V per cui

M

(F

) = diag(0, 1, 2) 3. Sia Z := M

(R) lo spazio delle matrici 2×2 a coefficienti reali. Si considerino il sottospazio

U

:=  1 2 0 1



,  1 0 1 σ + 2



,  σ σ + 1

σ σ



,  2 0 2 2



, e il sottoinsieme

W

:=



A =  a

a

a

a



∈ Z |

A = A, a

= (θ + 3)a

+ (θ + 2)

 , con σ, θ ∈ R parametri.

(a) Al variare di σ ∈ R, si stabilisca la dimensione di U

e se ne determini una base.

(b) Si stabilisca per quali valori del parametro θ W

` e un sottospazio vettoriale; per tali θ, si determinino, al variare di σ, le dimensioni di W

, U

∩ W

, U

+ W

.

(c) Per σ = −1 e θ = −2, si determini una base F di U

∩ W

, la si completi a una base G di U

+ W

, e si completi quest’ultima a una base H di Z.

Fiori

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Autorizzo la pubblicazione in rete del risultato dell’esame. Firma...

 Mi avvalgo dell’esonero Firma...

1. Nello spazio affine reale A

, siano dati i seguenti punti:

A = (0, 1, 2, 1), B = (0, 1, 0, 0), C

= (` − `

, 2, 1, 1 − `), A

= (−1, 1, 2, 2), B

= (0, 2, 0, 0), C

= (`

− `, −2, 1, ` − 1), con ` ∈ R parametro.

Si considerino le rette: a passante per i punti A e A

, b passante per i punti B e B

, e c

passante per i punti C

e C

; sia inoltre H

:= b ∪ c

il pi` u piccolo sottospazio affine contenente le rette b e c

.

(a) Al variare del parametro `, si determini dim H

, e la posizione relativa di a e H

. (b) Per ` = 0, si determini H

, esprimendolo in forma cartesiana.

(c) Per ` = 0, si determini l’unica retta r, che interseca le tre rette a, b e c

, esprimendola in forma parametrica.

2. Sia V := R

[x] lo spazio dei polinomi a coefficienti reali di grado al massimo 2. Per ogni k ∈ R, si considerino i polinomi

p

(x) = k − 1 + x − x

, p

(x) = 1 − x

, p

(x) = x

, q

(x) = kx − kx

, q

(x) = 1 − kx

, q

(x) = k − 1, e sia F

: V → V l’endomorfismo di V tale che F (p

(x)) = q

(x) per i = 1, 2, 3.

(a) Si determini per quali k KerF

e ImF

sono in somma diretta.

(b) Si calcoli il polinomio caratteristico dell’endomorfismo F

. (c) Per k = 0, k = 1 si discuta la diagonalizzabilit` a di F

.

(d) Si stabilisca per quali k esistono delle basi B e D di V per cui

M

(F

) = diag(0, 1, 2) 3. Sia Z := M

(R) lo spazio delle matrici 2×2 a coefficienti reali. Si considerino il sottospazio

U

:=  1 2 0 1



,  σ + 2 0

1 1



,  σ σ + 1

σ σ



,  2 0 2 2



, e il sottoinsieme

W

:=



A =  a

a

a

a



∈ Z |

A = A, a

= (θ + 3)a

+ (θ + 2)

 , con σ, θ ∈ R parametri.

(a) Al variare di σ ∈ R, si stabilisca la dimensione di U

e se ne determini una base.

(b) Si stabilisca per quali valori del parametro θ W

` e un sottospazio vettoriale; per tali θ, si determinino, al variare di σ, le dimensioni di W

, U

∩ W

, U

+ W

.

(c) Per σ = −1 e θ = −2, si determini una base F di U

∩ W

, la si completi a una base G di U

+ W

, e si completi quest’ultima a una base H di Z.

Picche